Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 58 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 4: monom înmulțit cu o expresie

   Calculează $2x(3x + 4)$.

   Arată rezolvarea

   $2x(3x + 4)$

   $= 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4$

   $= 6x^2 + 8x$

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 5: distributivitate cu semn minus

   Calculează $-3a(2a - 5)$.

   Arată rezolvarea

   $-3a(2a - 5)$

   $= -3a \cdot 2a - 3a \cdot (-5)$

   $= -6a^2 + 15a$

   $-3a$ înmulțit cu $-5$ dă $+15a$: minus înmulțit cu minus dă plus.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 6: împărțirea monomilor

   Calculează $12x^3 : 3x$, pentru $x \ne 0$.

   Arată rezolvarea

   $12x^3 : 3x$

   $= (12:3)x^{3-1}$

   $= 4x^2$

   Mențiunea $x \ne 0$ este necesară, pentru că împărțitorul $3x$ nu poate fi $0$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 7: puterea unui monom

   Calculează $(2x)^3$.

   Arată rezolvarea

   $(2x)^3$

   $= 2^3 x^3$

   $= 8x^3$

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 8: puterea unui monom cu coeficient negativ

   Calculează $(-3a^2)^2$.

   Arată rezolvarea

   $(-3a^2)^2$

   $= (-3)^2 (a^2)^2$

   $= 9a^4$

   Puterea $2$ e pară, deci $(-3)^2 = 9$, nu $-9$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 9: ordinea operațiilor

   Calculează $2x + 3x^2 \cdot 2$.

   Arată rezolvarea

   $2x + 3x^2 \cdot 2$

   $= 2x + 6x^2$înmulțirea se face înainte de adunare

   Rezultatul rămâne $2x + 6x^2$: $x$ și $x^2$ nu sunt termeni asemenea, nu se mai combină.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 10: produsul a două sume

   Calculează $(2x - 1)(x + 4)$.

   Arată rezolvarea

   $(2x - 1)(x + 4)$

   $= 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4$

   $= 2x^2 + 8x - x - 4$

   $= 2x^2 + 7x - 4$

   Verificare cu $x=1$: $(2-1)(1+4)=5$, iar $2+7-4=5$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

   Exemplul 11: simplificare mixtă

   Simplifică $2x \cdot 3x + 4x^2$.

   Arată rezolvarea

   $2x \cdot 3x + 4x^2$

   $= 6x^2 + 4x^2$întâi înmulțirea

   $= 10x^2$apoi reducerea termenilor asemenea

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

   Exemplul 1: pătratul unei sume

   Dezvoltă $(x+2)^2$.

   Arată rezolvarea

   $(x+2)^2$

   $= x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$

   $= x^2 + 4x + 4$

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 2: pătratul unei diferențe

    Dezvoltă $(x-3)^2$.

    Arată rezolvarea

    $(x-3)^2$

    $= x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$

    $= x^2 - 6x + 9$

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 3: diferență de pătrate

    Dezvoltă $(x-4)(x+4)$.

    Arată rezolvarea

    $(x-4)(x+4)$

    $= x^2 - 4^2$

    $= x^2 - 16$

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 4: pătratul sumei cu coeficient

    Dezvoltă $(2x+3)^2$.

    Arată rezolvarea

    $(2x+3)^2$

    $= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2$

    $= 4x^2 + 12x + 9$

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 5: pătratul diferenței cu doi coeficienți

    Dezvoltă $(3a-b)^2$.

    Arată rezolvarea

    $(3a-b)^2$

    $= (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2$

    $= 9a^2 - 6ab + b^2$

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 6: pătrat puțin peste 100

    Calculează $101^2$ fără calculator.

    Arată rezolvarea

    $101^2 = (100+1)^2$

    $= 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2$

    $= 10\,000 + 200 + 1$

    $= 10\,201$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 7: pătrat puțin sub 100

    Calculează $97^2$ fără calculator.

    Arată rezolvarea

    $97^2 = (100-3)^2$

    $= 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2$

    $= 10\,000 - 600 + 9$

    $= 9\,409$

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 8: produs în jurul unui număr rotund

    Calculează $104 \cdot 96$ fără calculator.

    Arată rezolvarea

    $104 \cdot 96 = (100+4)(100-4)$

    $= 100^2 - 4^2$

    $= 10\,000 - 16$

    $= 9\,984$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 9: recunoști un pătrat perfect

    Scrie $x^2 + 8x + 16$ ca pătrat al unei sume sau diferențe.

    Arată rezolvarea

    $x^2 + 8x + 16$

    $= x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$$16 = 4^2$, iar $8x = 2 \cdot x \cdot 4$

    $= (x+4)^2$

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

    Exemplul 10: recunoști o diferență de pătrate

    Scrie $x^2 - 49$ ca produs.

    Arată rezolvarea

    $x^2 - 49$

    $= x^2 - 7^2$$49 = 7^2$

    $= (x-7)(x+7)$

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

    Exemplul 1: factor comun numeric

    Descompune în factori $6x + 9$.

    Arată rezolvarea

    $6x + 9$

    $= 3(2x + 3)$3 este cel mai mare divizor comun al lui 6 și 9

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

    Exemplul 2: factor comun literal

    Descompune în factori $8x^2 + 12x$.

    Arată rezolvarea

    $8x^2 + 12x$

    $= 4x(2x + 3)$4x e factorul comun: 4 din coeficienți, x la puterea cea mai mică

    Vezi lecția