Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 57 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 4: doi termeni cu necunoscută, coeficient negativ după reducere

   Rezolvă inecuația $5 - 2x \ge 1$ și scrie soluția ca interval.

   Arată rezolvarea

   $5 - 2x \ge 1$

   $-2x \ge 1 - 5$scazi 5 din amândouă părțile

   $-2x \ge -4$

   $x \le \dfrac{-4}{-2}$împarți la −2 (negativ), sensul se inversează

   $x \le 2$

   $$x \in (-\infty, 2]$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 5: paranteze simple

   Rezolvă inecuația $3(x - 1) < 9$ și scrie soluția ca interval.

   Arată rezolvarea

   $3(x - 1) < 9$

   $3x - 3 < 9$desfaci paranteza

   $3x < 9 + 3$aduni 3 în amândouă părțile

   $3x < 12$

   $x < \dfrac{12}{3}$împarți la 3 (pozitiv), sensul nu se schimbă

   $x < 4$

   $$x \in (-\infty, 4)$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 6: fracție simplă

   Rezolvă inecuația $\dfrac{x}{2} > 3$ și scrie soluția ca interval.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x}{2} > 3$

   $x > 3 \cdot 2$înmulțești cu 2 (pozitiv), sensul nu se schimbă

   $x > 6$

   $$x \in (6, \infty)$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 7: necunoscuta în ambele părți

   Rezolvă inecuația $2x + 3 > x - 1$ și scrie soluția ca interval.

   Arată rezolvarea

   $2x + 3 > x - 1$

   $2x - x > -1 - 3$muți x în stânga, numerele în dreapta

   $x > -4$

   $$x \in (-4, \infty)$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 8: fracție cu paranteză

   Rezolvă inecuația $\dfrac{x - 1}{3} \le 2$ și scrie soluția ca interval.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x - 1}{3} \le 2$

   $x - 1 \le 2 \cdot 3$înmulțești cu 3 (pozitiv), sensul nu se schimbă

   $x - 1 \le 6$

   $x \le 7$aduni 1 în amândouă părțile

   $$x \in (-\infty, 7]$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 9: coeficient negativ obținut din paranteză

   Rezolvă inecuația $4 - (x + 6) \ge 0$ și scrie soluția ca interval.

   Arată rezolvarea

   $4 - (x + 6) \ge 0$

   $4 - x - 6 \ge 0$desfaci paranteza (schimbi semnul fiecărui termen)

   $-x - 2 \ge 0$

   $-x \ge 2$aduni 2 în amândouă părțile

   $x \le -2$înmulțești cu −1 (negativ), sensul se inversează

   $$x \in (-\infty, -2]$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

   Exemplul 10: citire de pe axă și verificare

   Pe axă, soluția unei inecuații este desenată cu paranteză dreaptă la $-1$ și semidreaptă spre dreapta. Scrie inegalitatea și intervalul, apoi verifică dacă $x = 0$ și $x = -1$ sunt soluții.

   Arată rezolvarea

   Paranteză dreaptă la $-1$ (capăt inclus) și semidreaptă spre dreapta înseamnă toate numerele mai mari sau egale cu $-1$.

   $$x \ge -1 \qquad x \in [-1, \infty)$$

   $x = 0$: $0 \ge -1$, adevărat, deci $0$ este soluție. $x = -1$: $-1 \ge -1$, adevărat (capătul este inclus), deci $-1$ este și el soluție.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

   Exemplul 1: identifici termenii asemenea

   Din lista $5x,\ 3x^2,\ -2x,\ 4,\ x^2,\ -7$, care termeni sunt asemenea între ei?

   Arată rezolvarea

   Grupezi termenii după partea literală: $5x$ și $-2x$ au partea literală $x$, deci sunt asemenea. $3x^2$ și $x^2$ au partea literală $x^2$, deci sunt asemenea. $4$ și $-7$ sunt amândoi termeni liberi (fără literă), deci sunt asemenea între ei.

   Trei grupe: $\{5x, -2x\}$, $\{3x^2, x^2\}$, $\{4, -7\}$. Niciun termen dintr-o grupă nu e asemenea cu un termen din altă grupă.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

   Exemplul 2: reducere simplă, aceeași literă

   Redu termenii asemenea din $3x + 5x$.

   Arată rezolvarea

   $3x + 5x$

   $= (3 + 5)x$

   $= 8x$

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 3: reducere cu putere și rezultat negativ

    Redu termenii asemenea din $4x^2 - 9x^2$.

    Arată rezolvarea

    $4x^2 - 9x^2$

    $= (4 - 9)x^2$

    $= -5x^2$

    Coeficientul rezultat e negativ, dar partea literală, $x^2$, rămâne neschimbată.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 4: expresie mixtă cu termeni neasemenea

    Simplifică expresia $3x + 2y + 5x$.

    Arată rezolvarea

    $3x$ și $5x$ sunt termeni asemenea (ambii au partea literală $x$); $2y$ este neasemenea cu ei și rămâne separat.

    $3x + 2y + 5x$

    $= (3x + 5x) + 2y$grupezi doar termenii asemenea

    $= 8x + 2y$

    Rezultatul are doi termeni, $8x$ și $2y$, care nu se mai pot combina: NU devine $10xy$ și nici $8x$ (fără $2y$).

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 5: adunarea a două expresii

    Calculează $(3x + 2) + (5x - 7)$.

    Arată rezolvarea

    $(3x + 2) + (5x - 7)$

    $= 3x + 2 + 5x - 7$elimini parantezele, semnele rămân neschimbate

    $= (3x + 5x) + (2 - 7)$

    $= 8x - 5$

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 6: scăderea a două expresii

    Calculează $(4x + 3) - (2x - 5)$.

    Arată rezolvarea

    $(4x + 3) - (2x - 5)$

    $= 4x + 3 - 2x + 5$minusul schimbă semnul fiecărui termen din a doua paranteză

    $= (4x - 2x) + (3 + 5)$

    $= 2x + 8$

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 7: minus în fața unei paranteze

    Desfă paranteza din $6x - (2x - 5)$ și simplifică.

    Arată rezolvarea

    $6x - (2x - 5)$

    $= 6x - 2x + 5$minusul schimbă semnul fiecărui termen din paranteză

    $= 4x + 5$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 8: paranteze imbricate

    Simplifică $5x - (3x - (x - 2))$.

    Arată rezolvarea

    $5x - (3x - (x - 2))$

    $= 5x - (3x - x + 2)$desfaci paranteza interioară

    $= 5x - 3x + x - 2$desfaci paranteza exterioară

    $= 3x - 2$

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 9: simplificare expresie mixtă

    Simplifică $4x + 3y - (2x - y) + 5$.

    Arată rezolvarea

    $4x + 3y - (2x - y) + 5$

    $= 4x + 3y - 2x + y + 5$desfaci paranteza

    $= (4x - 2x) + (3y + y) + 5$grupezi termenii asemenea

    $= 2x + 4y + 5$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

    Exemplul 10: verificare prin substituție

    Ai simplificat $(4x + 3) - (2x - 5)$ la $2x + 8$. Verifică pentru $x = 2$.

    Arată rezolvarea

    Calculezi expresia inițială pentru $x = 2$:

    $$(4 \cdot 2 + 3) - (2 \cdot 2 - 5) = 11 - (-1) = 12$$

    Calculezi expresia simplificată pentru $x = 2$:

    $$2 \cdot 2 + 8 = 12$$

    Amândouă dau $12$: simplificarea e coerentă cu valoarea testată.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

    Exemplul 1: produs de monomi simpli

    Calculează $3x \cdot 4x$.

    Arată rezolvarea

    $3x \cdot 4x$

    $= (3 \cdot 4)x^{1+1}$

    $= 12x^2$

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

    Exemplul 2: produs cu exponenți mai mari

    Calculează $2a^2 \cdot 3a^3$.

    Arată rezolvarea

    $2a^2 \cdot 3a^3$

    $= (2 \cdot 3)a^{2+3}$

    $= 6a^5$

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

    Exemplul 3: produs cu coeficient negativ

    Calculează $-2x \cdot 5x^2$.

    Arată rezolvarea

    $-2x \cdot 5x^2$

    $= (-2 \cdot 5)x^{1+2}$

    $= -10x^3$

    Vezi lecția