Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 56 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 3: interval spre inegalități

   Scrie sub formă de inegalitate intervalul $[-4, 1)$.

   Arată rezolvarea

   Capătul $-4$ are paranteză dreaptă, deci este inclus: $-4 \le x$. Capătul $1$ are paranteză rotundă, deci este exclus: $x < 1$.

   $$x \in [-4, 1) \quad\longleftrightarrow\quad -4 \le x < 1$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 4: apartenență la un capăt inclus

   Este adevărat că $-4 \in [-4, 1)$?

   Arată rezolvarea

   Capătul $-4$ are paranteză dreaptă, deci este inclus în interval.

   $$-4 \le -4 < 1 \;\text{ este adevărat}$$

   Deci $-4 \in [-4, 1)$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 5: neapartenență la un capăt exclus

   Este adevărat că $1 \in [-4, 1)$?

   Arată rezolvarea

   Capătul $1$ are paranteză rotundă, deci este exclus. Verificarea: $1 < 1$ este fals.

   $$1 \notin [-4, 1)$$

   Numerele din interval se apropie oricât de mult de $1$, dar $1$ însuși nu intră.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 6: interval nemărginit la stânga

   Scrie ca interval mulțimea numerelor reale $x$ cu $x \le -1$ și reprezint-o pe axă.

   Arată rezolvarea

   Spre dreapta capătul este $-1$, inclus (semnul $\le$). Spre stânga numerele merg la nesfârșit, deci $-\infty$ cu paranteză rotundă.

   $$\{\, x \in \mathbb{R} \mid x \le -1 \,\} = (-\infty, -1]$$

   ]$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 7: interval nemărginit la dreapta

   Scrie ca interval mulțimea $\{\, x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \,\}$.

   Arată rezolvarea

   Capătul $0$ are semnul $>$, deci este exclus. Spre dreapta numerele nu se opresc.

   $$\{\, x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \,\} = (0, \infty)$$

   Aceasta este mulțimea numerelor reale strict pozitive, scrisă uneori și $\mathbb{R}^*_+$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 8: recunoaște tipul de interval

   Ce tip de interval este $[-3, 7]$? Dar $(-3, 7)$? Dar $(-\infty, 7]$?

   Arată rezolvarea

   • $[-3, 7]$: mărginit, închis (amândouă capetele incluse).
   • $(-3, 7)$: mărginit, deschis (amândouă capetele excluse).
   • $(-\infty, 7]$: nemărginit (la stânga), cu capătul $7$ inclus.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Exemplul 9: apartenență cu $\pi$ și $\sqrt{2}$

   Verifică dacă $\pi \in (3, 4)$ și dacă $\sqrt{2} \in [0, 1]$.

   Arată rezolvarea

   $\pi \approx 3{,}14$. Cum $3 < 3{,}14 < 4$, avem $\pi \in (3, 4)$.

   $\sqrt{2} \approx 1{,}41$. Condiția intervalului $[0, 1]$ este $0 \le x \le 1$, dar $1{,}41 > 1$, deci $\sqrt{2} \notin [0, 1]$.

   $$\pi \in (3, 4) \qquad \sqrt{2} \notin [0, 1]$$

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Exemplul 1: intersecție cu suprapunere simplă

   Determină $A \cap B$ pentru $A = [2, 6]$ și $B = [4, 9]$.

   Arată rezolvarea

   Numerele comune sunt cele de la $4$ (unde începe $B$) până la $6$ (unde se termină $A$). Capătul $4$ este în $A$ (căci $2 \le 4 \le 6$) și în $B$ (capătul lui), deci intră. Capătul $6$ este în $A$ (capătul lui) și în $B$ (căci $4 \le 6 \le 9$), deci intră.

   $$A \cap B = [4, 6]$$

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Exemplul 2: reuniune pentru aceeași pereche

   Determină $A \cup B$ pentru $A = [2, 6]$ și $B = [4, 9]$.

   Arată rezolvarea

   Reuniunea acoperă tot ce e în cel puțin unul dintre intervale: de la $2$ (începutul lui $A$) până la $9$ (capătul lui $B$), fără gol, fiindcă $A$ și $B$ se suprapun între $4$ și $6$.

   $$A \cup B = [2, 9]$$

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 3: intervale semiînchise

    Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = [0, 5)$ și $B = [3, 8)$.

    Arată rezolvarea

    Intersecție: capătul $3$ este în $A$ (căci $0 \le 3 < 5$) și în $B$ (capătul lui), deci intră. Capătul $5$ NU este în $A$ (exclus), deși e în $B$; cum trebuie să fie în amândouă, $5$ nu intră.

    $$A \cap B = [3, 5)$$

    Reuniune: capătul $0$ este în $A$, deci intră. Capătul $8$ nu este în $B$ (exclus) și nici în $A$ (care se oprește la $5$), deci nu aparține niciunuia dintre intervale și rămâne exclus și din reuniune. Cele două intervale se suprapun între $3$ și $5$, deci nu rămâne niciun gol.

    $$A \cup B = [0, 8)$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 4: capete comune, amândouă închise

    Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = [1, 3]$ și $B = [3, 5]$.

    Arată rezolvarea

    Amândouă includ $3$, deci $3$ este singurul număr comun.

    $$A \cap B = \{3\}$$

    Cele două intervale se ating exact în $3$, deci reuniunea nu are gol.

    $$A \cup B = [1, 5]$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 5: intersecție de intervale disjuncte

    Determină $A \cap B$ pentru $A = [1, 2]$ și $B = [4, 5]$.

    Arată rezolvarea

    Nu există niciun număr real mai mic sau egal cu $2$ care să fie, în același timp, mai mare sau egal cu $4$. $A$ și $B$ nu au niciun element comun.

    $$A \cap B = \varnothing$$

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 6: reuniune de intervale disjuncte

    Determină $A \cup B$ pentru $A = [1, 2]$ și $B = [4, 5]$.

    Arată rezolvarea

    Între $2$ și $4$ rămân numere care nu sunt nici în $A$, nici în $B$ (de exemplu $3$), deci reuniunea nu poate fi un singur interval.

    $$A \cup B = [1, 2] \cup [4, 5]$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 7: un interval inclus în celălalt

    Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = [1, 10]$ și $B = [3, 6]$.

    Arată rezolvarea

    $B$ este în întregime conținut în $A$ (orice $x$ cu $3 \le x \le 6$ satisface și $1 \le x \le 10$). Numerele comune sunt exact numerele lui $B$.

    $$A \cap B = [3, 6] = B$$

    Reuniunea nu adaugă nimic în plus față de $A$, fiindcă $B$ nu iese niciodată din $A$.

    $$A \cup B = [1, 10] = A$$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 8: intervale nemărginite

    Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = (-\infty, 4]$ și $B = [2, \infty)$.

    Arată rezolvarea

    Numerele comune satisfac $x \le 4$ și $x \ge 2$ în același timp, deci $2 \le x \le 4$.

    $$A \cap B = [2, 4]$$

    Orice număr real satisface $x \le 4$ sau $x \ge 2$ (verifică pentru orice $x$: dacă nu e $\le 4$, atunci e $> 4$, deci sigur $\ge 2$). Reuniunea acoperă toată axa.

    $$A \cup B = \mathbb{R}$$

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 9: capăt comun exclus din amândouă

    Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = (-2, 1)$ și $B = (1, 4]$.

    Arată rezolvarea

    Cele două intervale se ating în $1$, dar $1$ nu este în $A$ (paranteză rotundă) și nici în $B$ (paranteză rotundă). Nu există niciun număr comun.

    $$A \cap B = \varnothing$$

    Numărul $1$ nu aparține nici lui $A$, nici lui $B$, deci lipsește din reuniune. Reuniunea nu poate fi scrisă ca $(-2, 4]$, pentru că acesta ar conține și $1$.

    $$A \cup B = (-2, 1) \cup (1, 4]$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Exemplul 10: citire de pe o axă stivuită

    Pe axă sunt desenate două rânduri: rândul $A$, de la $-2$ (paranteză dreaptă) la $3$ (paranteză dreaptă), și rândul $B$, de la $0$ (paranteză dreaptă) la $6$ (paranteză dreaptă). Determină $A \cap B$ și $A \cup B$.

    Arată rezolvarea

    Din desen: $A = [-2, 3]$ și $B = [0, 6]$. Suprapunerea celor două bare este de la $0$ la $3$.

    $$A \cap B = [0, 3]$$

    Reuniunea acoperă tot ce ating cele două bare împreună, de la $-2$ la $6$.

    $$A \cup B = [-2, 6]$$

    $A$

    []

    $B$

    []

    ${A \cap B}$

    []

    ${A \cup B}$

    []

    $-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 1: adunare simplă

    Rezolvă inecuația $x + 3 > 7$ și scrie soluția ca interval.

    Arată rezolvarea

    $x + 3 > 7$

    $x > 7 - 3$scazi 3 din amândouă părțile

    $x > 4$

    Soluția ca interval:

    $$x \in (4, \infty)$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 2: împărțire la un coeficient pozitiv

    Rezolvă inecuația $2x \le 8$ și scrie soluția ca interval.

    Arată rezolvarea

    $2x \le 8$

    $x \le \dfrac{8}{2}$împarți la 2 (pozitiv), sensul nu se schimbă

    $x \le 4$

    $$x \in (-\infty, 4]$$

    ]$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 3: coeficient negativ

    Rezolvă inecuația $-3x < 9$ și scrie soluția ca interval.

    Arată rezolvarea

    $-3x < 9$

    $x > \dfrac{9}{-3}$împarți la −3 (negativ), sensul se inversează

    $x > -3$

    $$x \in (-3, \infty)$$

    ($-5$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$

    Vezi lecția