Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 55 din 71

1. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

   Exemplul 9: valorile pentru $45°$

   Dedu valorile $\sin 45°$, $\cos 45°$, $\text{tg}\,45°$, folosind un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $6$.

   Arată rezolvarea

   Ipotenuza: $\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$.

   $$\sin 45° = \dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$

   Numitorul a fost raționalizat. Catetele sunt egale, deci $\cos 45°$ are aceeași valoare:

   $$\cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2}, \qquad \text{tg}\,45° = \dfrac{6}{6}=1$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

   Exemplul 10: valorile pentru $30°$ și $60°$

   Dedu valorile $\sin 30°$, $\cos 30°$, $\sin 60°$, $\cos 60°$, folosind jumătatea unui triunghi echilateral cu latura $10$ (catete $5$ și $5\sqrt3$).

   Arată rezolvarea

   $$\sin 60° = \dfrac{5\sqrt3}{10}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$

   $$\cos 60°=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$

   $$\sin 30° = \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$

   $$\cos 30°=\dfrac{5\sqrt3}{10}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$

   Confirmă tiparul: $\sin 30°=\cos 60°$ și $\cos 30°=\sin 60°$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

   Exemplul 11: calcul cu valori speciale (mai mulți pași)

   Calculează $\sin 30° + \cos 60°$ și, separat, $\text{tg}\,45° - \text{ctg}\,45°$.

   Arată rezolvarea

   $$\sin 30° + \cos 60° = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = 1$$

   $$\text{tg}\,45° - \text{ctg}\,45° = 1 - 1 = 0$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

   Exemplul 12: aflarea unei catete cu o valoare specială

   Un triunghi dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are unghiul $B=30°$ și ipotenuza $BC=8$ cm. Calculează cateta opusă lui $B$, apoi cateta alăturată.

   Arată rezolvarea

   Cateta opusă lui $B$ se află din $\sin B = \dfrac{\text{opusă}}{\text{ipotenuză}}$.

   $$AC = BC \cdot \sin 30° = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4 \text{ cm}$$

   Cateta alăturată se află din $\cos B = \dfrac{\text{alăturată}}{\text{ipotenuză}}$.

   $$AB = BC \cdot \cos 30° = 8 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \text{ cm}$$

   Verificare cu teorema lui Pitagora: $4^2+(4\sqrt3)^2=16+48=64=8^2$. Corect.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

   Exemplul 13: eroare de asociere (opusă confundată cu alăturată)

   Un elev, pentru triunghiul $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$ ($\angle A=90°$), scrie $\cos B = \dfrac{8}{10}$. Arată de ce este greșit și scrie valoarea corectă.

   Arată rezolvarea

   Greșit: elevul a folosit $AC$ (cateta OPUSĂ lui $B$) la numărător, ca și cum ar fi cateta alăturată.

   Corect: $\cos B = \dfrac{\text{alăturată}}{\text{ipotenuză}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$. Valoarea $\dfrac{8}{10}$ calculată greșit este de fapt $\sin B$, nu $\cos B$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Exemplul 1: rezolvarea triunghiului din figura de decizie

   Cu datele figurii ($\angle A=90°$, $B=30°$, $BC=8$), calculează $AC$ și $AB$.

   Arată rezolvarea

   $$AC = BC \cdot \sin 30° = 8 \cdot \dfrac12 = 4$$

   $$AB = BC \cdot \cos 30° = 8 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3$$

   Verificare (Pitagora): $4^2+(4\sqrt3)^2=16+48=64=8^2$. Corect.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Exemplul 2: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $45°$

   Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are unghiul $B=45°$ și cateta alăturată $AB=7$ cm. Află cateta opusă $AC$ și ipotenuza $BC$.

   Arată rezolvarea

   La $45°$, cele două catete sunt egale (Exemplul 9, lecția anterioară), deci $AC=AB=7$ cm, fără niciun calcul suplimentar.

   $$BC = \dfrac{AB}{\cos 45°} = \dfrac{7}{\sqrt2/2} = 7\sqrt2 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Exemplul 3: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $60°$, cunoscând alăturata

   Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=5$ cm. Află cateta opusă $AC$ și ipotenuza $BC$.

   Arată rezolvarea

   $AC$ (opusă) și $AB$ (alăturată): raportul potrivit este tangenta.

   $$AC = AB \cdot \text{tg}\,60° = 5\sqrt3 \text{ cm}$$

   $AB$ (alăturată) și $BC$ (ipotenuză): raportul potrivit este cosinusul.

   $$BC = \dfrac{AB}{\cos 60°} = \dfrac{5}{1/2} = 10 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Exemplul 4: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $30°$, cunoscând opusa

   Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are unghiul $B=30°$ și cateta opusă $AC=6$ cm. Află ipotenuza $BC$ și cealaltă catetă $AB$.

   Arată rezolvarea

   $AC$ (opusă) și $BC$ (ipotenuză): raportul potrivit este sinusul.

   $$BC = \dfrac{AC}{\sin 30°} = \dfrac{6}{1/2} = 12 \text{ cm}$$

   $$AB = BC \cdot \cos 30° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 \text{ cm}$$

   Verificare cu tangenta: $\text{tg}\,30°=AC/AB=6/(6\sqrt3)=1/\sqrt3=\sqrt3/3$, exact valoarea din tabel.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 5: alegerea raportului, cu ipotenuza cunoscută

    Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are unghiul $B=60°$ și ipotenuza $BC=20$ cm. Află cateta alăturată $AB$.

    Arată rezolvarea

    Cunoscută: ipotenuza. Cerută: alăturata. Raportul cu alăturată și ipotenuză este cosinusul.

    $$AB = BC \cdot \cos 60° = 20 \cdot \dfrac12 = 10 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 6: eroarea de a alege raportul greșit

    Cu datele exemplului anterior, un elev calculează $AB = BC \cdot \sin 60° = 20 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$. Arată de ce este greșit.

    Arată rezolvarea

    Greșit: $\sin$ leagă OPUSA de ipotenuză, nu alăturata. Elevul a calculat de fapt $AC$ (cateta opusă lui $B$), nu $AB$ (cateta alăturată cerută).

    Corect: $AB = BC \cdot \cos 60° = 20 \cdot \dfrac12 = 10$ cm (Exemplul 5). Valoarea $10\sqrt3$ este de fapt $AC$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 7: înălțimea unui triunghi echilateral

    Calculează înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $6$ cm.

    Arată rezolvarea

    $$h = 6 \cdot \sin 60° = 6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 8: înălțimea unui triunghi echilateral, altă latură

    Calculează înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $10$ cm, folosind formula generală $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

    Arată rezolvarea

    $$h = \dfrac{10\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 9: diagonala unui pătrat

    Calculează diagonala unui pătrat cu latura $5$ cm, folosind cosinusul de $45°$.

    Arată rezolvarea

    $$d = \dfrac{5}{\cos 45°} = \dfrac{5}{\sqrt2/2} = 5\sqrt2 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 10: diagonala unui pătrat, altă latură

    Calculează diagonala unui pătrat cu latura $8$ cm, folosind formula generală $d=a\sqrt2$.

    Arată rezolvarea

    $$d = 8\sqrt2 \text{ cm}$$

    Verificare cu Pitagora: $\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2$. Coincide.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 11: apotema unui hexagon regulat

    Calculează apotema unui hexagon regulat cu latura $4$ cm.

    Arată rezolvarea

    Raza cercului circumscris este egală cu latura ($R=\ell=4$), iar apotema este cateta alăturată unghiului de $30°$ din triunghiul $OMB$.

    $$m = 4 \cdot \cos 30° = 4 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 12: legătura dintre hexagon și triunghiul echilateral

    Calculează apotema unui hexagon regulat cu latura $10$ cm și compară-o cu înălțimea unui triunghi echilateral cu aceeași latură (Exemplul 8).

    Arată rezolvarea

    $$m = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \text{ cm}$$

    Exact aceeași valoare ca înălțimea triunghiului echilateral cu latura $10$ ($5\sqrt3$ cm, Exemplul 8). Nu este întâmplare: hexagonul regulat este format din $6$ triunghiuri echilaterale cu aceeași latură, iar apotema hexagonului este chiar înălțimea unuia dintre ele.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Exemplul 13: problemă combinată, cu alegerea a două rapoarte diferite

    Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are unghiul $C=60°$ și cateta $AB=12$ cm. Află $AC$ și $BC$.

    Arată rezolvarea

    Rolurile se stabilesc față de unghiul $C$. Cateta $AB$ nu pornește din vârful $C$, deci este OPUSĂ lui $C$. Cateta $AC$ pornește din $C$, deci este ALĂTURATĂ lui $C$.

    Ipotenuza $BC$ se află din opusă și ipotenuză, adică din $\sin$:

    $$BC = \dfrac{AB}{\sin 60°} = \dfrac{12}{\sqrt3/2} = \dfrac{24}{\sqrt3}=8\sqrt3 \text{ cm}$$

    Cateta alăturată $AC$ se află din opusă și alăturată, adică din $\text{ctg}$ (alăturată supra opusă):

    $$AC = AB \cdot \text{ctg}\,60° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{3} = 4\sqrt3 \text{ cm}$$

    Verificare: $AB^2+AC^2=144+48=192=(8\sqrt3)^2=BC^2$. Corect.

    Acest exemplu arată de ce Pasul 2 (identifică exact rolul laturii cunoscute) nu poate fi sărit: dacă ai fi luat $AB$ drept alăturată lui $C$, ai fi ales un raport greșit.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Exemplul 1: proprietate spre interval închis

    Scrie ca interval mulțimea $\{\, x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 6 \,\}$.

    Arată rezolvarea

    Amândouă capetele au semnul $\le$, deci amândouă sunt incluse. Se pun paranteze drepte.

    $$\{\, x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 6 \,\} = [-2, 6]$$

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Exemplul 2: proprietate spre interval semiînchis

    Scrie ca interval mulțimea $\{\, x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \le 3 \,\}$ și spune ce tip de interval este.

    Arată rezolvarea

    Capătul $0$ are semnul $<$, deci este exclus: paranteză rotundă. Capătul $3$ are semnul $\le$, deci este inclus: paranteză dreaptă.

    $$\{\, x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \le 3 \,\} = (0, 3]$$

    Este un interval semiînchis: un capăt exclus, unul inclus.

    Vezi lecția