Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 54 din 71

1. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 2: aflarea ipotenuzei

   Un triunghi dreptunghic are catetele $9$ cm și $12$ cm. Calculează ipotenuza.

   Arată rezolvarea

   $$c^2 = 9^2+12^2 = 81+144=225$$

   $$c = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 3: aflarea unei catete

   Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $17$ cm și o catetă de $8$ cm. Calculează cealaltă catetă.

   Arată rezolvarea

   $$b^2 = 17^2-8^2 = 289-64=225$$

   $$b = \sqrt{225}=15 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 4: rezultat cu radical

   Un triunghi dreptunghic are catetele $4$ cm și $6$ cm. Calculează ipotenuza.

   Arată rezolvarea

   $$c^2 = 4^2+6^2=16+36=52$$

   $$c = \sqrt{52} = \sqrt{4\cdot13} = 2\sqrt{13} \text{ cm}$$

   $52$ nu este pătrat perfect, deci ipotenuza rămâne sub formă de radical simplificat, $2\sqrt{13}$ cm (aproximativ $7{,}2$ cm).

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 5: reciproca, confirmare

   Un triunghi are laturile $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm. Este dreptunghic?

   Arată rezolvarea

   Cea mai mare latură este $25$; o testăm în rolul lui $c$.

   $7^2+24^2 = 49+576=625$

   $25^2=625$

   $625=625$: relația se verifică, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $25$ cm.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 6: reciproca, infirmare

   Un triunghi are laturile $6$ cm, $7$ cm, $9$ cm. Este dreptunghic?

   Arată rezolvarea

   Cea mai mare latură este $9$.

   $6^2+7^2=36+49=85$

   $9^2=81$

   $85 \neq 81$: relația NU se verifică, deci triunghiul NU este dreptunghic.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 7: reciproca, importanța alegerii laturii celei mai mari

   Un elev testează triunghiul cu laturile $5$ cm, $6$ cm, $9$ cm, dar alege GREȘIT $6$ în rolul lui $c$: calculează $5^2+9^2$ și îl compară cu $6^2$. Arată de ce e greșit și rezolvă corect.

   Arată rezolvarea

   Greșit: $5^2+9^2 = 25+81=106$, comparat cu $6^2=36$. Cu $6$ în rolul lui $c$, suma pătratelor celorlalte două laturi iese mereu mai mare, așa că testul nu poate confirma niciodată un unghi drept. Alegerea este greșită: $6$ NU este cea mai mare latură.

   Corect: cea mai mare latură este $9$, deci $c=9$.

   $5^2+6^2 = 25+36=61$

   $9^2=81$

   $61 \neq 81$: relația NU se verifică, deci triunghiul NU este dreptunghic.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 8: context practic – diagonala unui ecran

   Un ecran dreptunghiular are lățimea $21$ cm și înălțimea $28$ cm. Calculează diagonala.

   Arată rezolvarea

   Diagonala unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice, cu catetele $21$ și $28$.

   $$d^2 = 21^2+28^2 = 441+784=1225$$

   $$d=\sqrt{1225}=35 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 9: problemă unificatoare (recapitulare Lecția 1 + Pitagora)

   Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are catetele $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Calculează, în ordine, ipotenuza $BC$, apoi proiecțiile $BH$, $HC$ și înălțimea $AH$.

   Arată rezolvarea

   $$BC^2 = 6^2+8^2=36+64=100$$

   $$BC=10 \text{ cm}$$

   $$BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{36}{10}=3{,}6 \text{ cm}$$

   $$HC = BC-BH = 6{,}4 \text{ cm}$$

   $$AH = \sqrt{BH\cdot HC} = \sqrt{3{,}6\cdot6{,}4}$$

   $$AH = \sqrt{23{,}04}=4{,}8 \text{ cm}$$

   Cele două lecții descriu ÎMPREUNĂ același triunghi: teorema lui Pitagora dă ipotenuza, iar teoremele înălțimii și catetei dau restul elementelor.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Exemplul 10: problemă cu o necunoscută

   Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $3x$ și $4x$ (cm), iar ipotenuza este $20$ cm. Calculează $x$ și catetele.

   Arată rezolvarea

   $(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2$

   $9x^2 + 16x^2 = 400$

   $25x^2 = 400$

   $x^2 = 16$

   $x = 4$o lungime este pozitivă

   Catetele sunt $12$ cm și $16$ cm. Verificare: $12^2+16^2=144+256=400=20^2$. Corect.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Exemplul 11: problemă practică – scara sprijinită de perete

    O scară de $13$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul la $5$ m de bază. La ce înălțime pe perete ajunge scara?

    Arată rezolvarea

    Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic: scara este ipotenuza, distanța de la perete și înălțimea sunt catetele.

    $$h^2 = 13^2-5^2=169-25=144$$

    $$h=\sqrt{144}=12 \text{ m}$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Exemplul 12: problemă practică – diagonala unui teren dreptunghiular

    Un teren dreptunghiular are dimensiunile $30$ m $\times$ $40$ m. Calculează lungimea diagonalei.

    Arată rezolvarea

    $$d^2 = 30^2+40^2=900+1600=2500$$

    $$d=\sqrt{2500}=50 \text{ m}$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Exemplul 13: aplicație practică a reciprocei – verificarea unui colț drept

    Un constructor măsoară, la colțul unei terase, $6$ m pe o latură și $8$ m pe cealaltă, iar diagonala dintre capetele lor este $10$ m. Este colțul drept?

    Arată rezolvarea

    Cea mai mare latură este diagonala, $10$ m.

    $6^2+8^2=36+64=100$

    $10^2=100$

    $100=100$: relația se verifică, deci colțul este drept. Această metodă (numită și „regula 3-4-5”, aici scalată cu $2$) este folosită real în construcții pentru a verifica unghiuri drepte, fără raportor.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 1: identificarea rolurilor pentru unghiul $B$

    În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$, $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$), scrie cateta opusă și cateta alăturată unghiului $B$.

    Arată rezolvarea

    Cateta opusă lui $B$ este $AC$ (nu pornește din $B$): $AC=8$.

    Cateta alăturată lui $B$ este $AB$ (pornește din $B$): $AB=6$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 2: rolurile se schimbă pentru unghiul $C$

    Cu același triunghi, scrie cateta opusă și cateta alăturată unghiului $C$.

    Arată rezolvarea

    Cateta opusă lui $C$ este $AB$ (nu pornește din $C$): $AB=6$.

    Cateta alăturată lui $C$ este $AC$ (pornește din $C$): $AC=8$.

    Observă: aceleași două catete și-au schimbat rolul față de Exemplul 1; ipotenuza $BC=10$ rămâne neschimbată în ambele cazuri.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 3: rapoartele trigonometrice ale unghiului $B$

    Scrie $\sin B$, $\cos B$, $\text{tg}\,B$, $\text{ctg}\,B$ pentru triunghiul cu $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$.

    Arată rezolvarea

    $$\sin B = \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$$

    $$\cos B = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$$

    $$\text{tg}\,B = \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$$

    $$\text{ctg}\,B = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 4: rapoartele trigonometrice ale unghiului $C$

    Cu același triunghi, scrie $\sin C$, $\cos C$, $\text{tg}\,C$, $\text{ctg}\,C$, apoi compară-le cu cele ale unghiului $B$.

    Arată rezolvarea

    $$\sin C = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$$

    $$\cos C = \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$$

    $$\text{tg}\,C=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}, \qquad \text{ctg}\,C=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$$

    Observă: $\sin B = \cos C = \dfrac{4}{5}$ și $\cos B = \sin C = \dfrac{3}{5}$. Nu este întâmplător: $B$ și $C$ sunt complementare ($B+C=90°$, pentru că $\angle A=90°$).

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 5: rapoartele într-un triunghi $5$–$12$–$13$

    Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A=90°$) are $AB=5$ (alăturată lui $B$), $AC=12$ (opusă lui $B$), $BC=13$. Scrie toate cele patru rapoarte pentru unghiul $B$.

    Arată rezolvarea

    $$\sin B=\dfrac{12}{13}, \qquad \cos B=\dfrac{5}{13}$$

    $$\text{tg}\,B=\dfrac{12}{5}, \qquad \text{ctg}\,B=\dfrac{5}{12}$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 6: pornind doar de la $\sin B$, aflarea celorlalte rapoarte

    Într-un triunghi dreptunghic, unghiul $B$ are $\sin B=\dfrac{5}{13}$ (opusă $5$, ipotenuză $13$). Află $\cos B$, $\text{tg}\,B$, $\text{ctg}\,B$.

    Arată rezolvarea

    Din opusă $=5$ și ipotenuză $=13$, cateta alăturată se află cu teorema lui Pitagora (lecția anterioară): $a=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

    $$\cos B = \dfrac{12}{13}, \quad \text{tg}\,B=\dfrac{5}{12}, \quad \text{ctg}\,B=\dfrac{12}{5}$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 7: de ce $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

    Pornind de la definiții, arată de ce $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, pentru orice unghi ascuțit $\alpha$ dintr-un triunghi dreptunghic, cu opusă $o$, alăturată $a$, ipotenuză $i$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{o/i}{a/i}$

    $= \dfrac{o}{i}\cdot\dfrac{i}{a}$împărțirea a două fracții

    $= \dfrac{o}{a} = \text{tg}\,\alpha$

    Ipotenuza $i$ se simplifică: relația nu depinde de mărimea triunghiului, doar de unghi.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Exemplul 8: de ce $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$

    Arată, folosind definițiile, că $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$.

    Arată rezolvarea

    $$\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = \dfrac{o}{a}\cdot\dfrac{a}{o} = 1$$

    Tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt mereu una inversul celeilalte (produsul lor este $1$).

    Vezi lecția