Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 53 din 71

1. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

   Exemplul 8: metoda umbrei, aflarea unei înălțimi

   Cu datele figurii de la „Metoda umbrei” ($AB=2$ m, $AC=3$ m, $DF=7{,}5$ m), calculează înălțimea copacului $DE$.

   Arată rezolvarea

   $$k = \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$$

   $$DE = k \cdot AB = 2{,}5 \cdot 2 = 5 \text{ m}$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

   Exemplul 9: trapez, aflarea unei baze

   Într-un trapez $ABCD$ cu $AB \parallel DC$, diagonalele se taie în $O$. Se știe $AB = 10$ cm și $\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{2}{5}$. Calculează $DC$.

   Arată rezolvarea

   $\triangle AOB \sim \triangle COD$, cu raportul $\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB} = \dfrac{DC}{AB} = \dfrac{2}{5}$ (aceeași proporție ca pentru orice pereche de laturi corespunzătoare).

   $$DC = \dfrac{2}{5} \cdot AB = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

   Exemplul 10: aplicație practică, costul vopsirii

   Două panouri triunghiulare asemenea au raportul laturilor $k=3$. Vopsirea panoului mic costă $40$ lei (proporțional cu suprafața). Calculează costul vopsirii panoului mare.

   Arată rezolvarea

   Costul vopsirii este proporțional cu suprafața (aria), nu cu laturile.

   $$\text{cost mare} = k^2 \cdot \text{cost mic} = 9 \cdot 40 = 360 \text{ lei}$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

   Exemplul 11: greșeală corectată, $k$ în loc de $k^2$

   Un elev scrie: „$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=5$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=8$ cm², deci $\text{Aria}(\triangle DEF) = 5 \cdot 8 = 40$ cm²”. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Elevul a folosit $k$ în loc de $k^2$ pentru arie. Calculul corect:

   $$\text{Aria}(\triangle DEF) = k^2 \cdot \text{Aria}(\triangle ABC)$$

   $$\text{Aria}(\triangle DEF) = 25 \cdot 8 = 200 \text{ cm}^2$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

   Exemplul 12: greșeală corectată, radicalul aplicat greșit

   Un elev scrie: „raportul ariilor este $9$, deci raportul laturilor este tot $9$”. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Raportul ariilor este $k^2$, nu $k$. Din $k^2=9$ rezultă $k=\sqrt{9}=3$, nu $9$.

   $$k = \sqrt{9} = 3$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

   Exemplul 13: algebră, raportul ariilor cu necunoscută

   Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $k = x+1$ și raportul ariilor $36$. Calculează $x$ (pozitiv).

   Arată rezolvarea

   $(x+1)^2 = 36$

   $x+1 = 6 \ \text{(alegem soluția pozitivă)}$

   $x = 5$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Exemplul 1: identificarea proiecțiilor

   Cu datele figurii standard ($\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, $AH$ înălțime, $H \in BC$), scrie care este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuza $BC$ și care este proiecția catetei $AB$.

   Arată rezolvarea

   Proiecția catetei $AC$ pe $BC$ este segmentul $HC$ (alăturat lui $C$).

   Proiecția catetei $AB$ pe $BC$ este segmentul $BH$ (alăturat lui $B$).

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Exemplul 2: teorema înălțimii, aflarea lui $AH$

   În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A = 90°$), înălțimea $AH$ pe ipotenuză determină $BH = 9$ cm și $HC = 16$ cm. Calculează $AH$.

   Arată rezolvarea

   $$AH^2 = BH \cdot HC = 9 \cdot 16 = 144$$

   $$AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Exemplul 3: teorema catetei, aflarea lui $AB$

   Cu aceleași date ($BC = 25$ cm, $BH = 9$ cm), calculează cateta $AB$.

   Arată rezolvarea

   $$AB^2 = BC \cdot BH = 25 \cdot 9 = 225$$

   $$AB = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 4: teorema catetei, aflarea lui $AC$

    Cu $BC = 25$ cm, $HC = 16$ cm, calculează cateta $AC$.

    Arată rezolvarea

    $$AC^2 = BC \cdot HC = 25 \cdot 16 = 400$$

    $$AC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 5: pornind de la catete, aflarea proiecției (numere zecimale exacte)

    Triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A = 90°$) are $AB = 6$ cm, $BC = 10$ cm. Calculează proiecția $BH$ a catetei $AB$ pe ipotenuză, apoi $HC$.

    Arată rezolvarea

    Din teorema catetei, $AB^2 = BC \cdot BH$, deci $BH = \dfrac{AB^2}{BC}$.

    $$BH = \dfrac{6^2}{10} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6 \text{ cm}$$

    $$HC = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 6: continuare, aflarea înălțimii

    Cu datele exemplului 5 ($BH = 3{,}6$ cm, $HC = 6{,}4$ cm), calculează înălțimea $AH$.

    Arată rezolvarea

    $$AH^2 = BH \cdot HC = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04$$

    $$AH = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8 \text{ cm}$$

    Verificare rapidă: $4{,}8^2 = 23{,}04$. Corect.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 7: teorema înălțimii cu necunoscută algebrică

    În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A = 90°$), proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BH = x$ și $HC = 2x$, iar înălțimea este $AH = 6$ cm. Calculează $x$.

    Arată rezolvarea

    $AH^2 = BH \cdot HC$

    $36 = x \cdot 2x$

    $36 = 2x^2$

    $x^2 = 18$

    $x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ cm}$

    $x$ este o lungime, deci reținem doar soluția pozitivă $x = 3\sqrt{2}$ cm (radical, pentru că $18$ nu este pătrat perfect).

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 8: raportul proiecțiilor

    Arată, folosind teorema catetei, că $\dfrac{BH}{HC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$, apoi verifică cu datele figurii standard ($AB=15$, $AC=20$, $BH=9$, $HC=16$).

    Arată rezolvarea

    Din teorema catetei, $BH = \dfrac{AB^2}{BC}$ și $HC = \dfrac{AC^2}{BC}$, deci $\dfrac{BH}{HC} = \dfrac{AB^2/BC}{AC^2/BC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$.

    $$\dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{225}{400} = \dfrac{9}{16} = \dfrac{BH}{HC}$$

    Confirmat: catetele mai mici au proiecții mai mici, în același raport (la pătrat).

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 9: proiecția greșită (eroare de asociere)

    Un elev scrie, pentru figura standard ($AB=15$, $AC=20$, $BC=25$, $BH=9$, $HC=16$), relația $AB^2 = BC \cdot HC$. Arată de ce este greșit și scrie relația corectă.

    Arată rezolvarea

    Cu formula greșită: $BC \cdot HC = 25 \cdot 16 = 400 \neq 225 = AB^2$. Nu se verifică.

    Eroarea: elevul a folosit proiecția catetei $AC$ ($HC$) în locul proiecției catetei $AB$ ($BH$). Relația corectă este $AB^2 = BC \cdot BH = 25 \cdot 9 = 225$.

    Regula sigură: cateta și proiecția ei sunt ÎNTOTDEAUNA „lângă” același vârf ($B$ cu $B$, $C$ cu $C$).

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 10: aflarea ipotenuzei din catetă și proiecție

    Într-un triunghi dreptunghic ($\angle A = 90°$), $AC = 12$ cm și proiecția ei pe ipotenuză este $HC = 9$ cm. Calculează $BC$.

    Arată rezolvarea

    Din teorema catetei, $AC^2 = BC \cdot HC$, deci $BC = \dfrac{AC^2}{HC}$.

    $$BC = \dfrac{12^2}{9} = \dfrac{144}{9} = 16 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 11: problemă combinată (catetă + înălțime)

    În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A = 90°$), $BC = 20$ cm și $AB = 8$ cm. Calculează $BH$, $HC$ și $AH$.

    Arată rezolvarea

    $$BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{64}{20} = 3{,}2 \text{ cm}$$

    $$HC = BC - BH = 20 - 3{,}2 = 16{,}8 \text{ cm}$$

    $$AH = \sqrt{BH \cdot HC} = \sqrt{3{,}2 \cdot 16{,}8}$$

    $$AH = \sqrt{53{,}76}$$

    $$AH = \dfrac{8\sqrt{21}}{5} = 1{,}6\sqrt{21} \approx 7{,}33 \text{ cm}$$

    Aici $AH$ nu iese un număr „rotund”: rămâne sub formă de radical, $AH = 1{,}6\sqrt{21}$ cm (aproximativ $7{,}33$ cm). Nu toate problemele au rezultate exacte simple; e important să aplici corect formula, nu să „ghicești” un rezultat frumos.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 12: context practic, înălțimea unui panou

    Un panou are forma unui triunghi dreptunghic $ABC$, cu unghiul drept în $A$, și stă cu ipotenuza $BC$ pe sol. Perpendiculara $AH$ din vârful $A$ pe sol împarte ipotenuza în $BH = 4$ m și $HC = 9$ m. La ce înălțime față de sol se află vârful $A$?

    Arată rezolvarea

    Înălțimea vârfului față de sol este chiar înălțimea $AH$ dusă din unghiul drept pe ipotenuză.

    $$AH^2 = BH \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36$$

    $$AH = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Exemplul 13: verificare completă a unei configurații date

    Se dă triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\angle A = 90°$) cu $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$, $BH=3{,}6$, $HC=6{,}4$, $AH=4{,}8$ (toate în cm). Verifică cele trei relații metrice (teorema catetei de două ori, teorema înălțimii).

    Arată rezolvarea

    $AB^2 = 36, \quad BC \cdot BH = 10 \cdot 3{,}6 = 36 \quad\checkmark$

    $AC^2 = 64, \quad BC \cdot HC = 10 \cdot 6{,}4 = 64 \quad\checkmark$

    $AH^2 = 23{,}04, \quad BH \cdot HC = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 \quad\checkmark$

    Toate trei relațiile se verifică: configurația este corectă.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Exemplul 1: recapitulare – deducerea formulei

    Scrie, pe scurt, cum se obține $AB^2+AC^2=BC^2$ din teorema catetei.

    Arată rezolvarea

    Se adună $AB^2=BC\cdot BH$ cu $AC^2=BC\cdot HC$, se scoate $BC$ factor comun și se folosește $BH+HC=BC$: $AB^2+AC^2=BC(BH+HC)=BC\cdot BC=BC^2$.

    Vezi lecția