Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 52 din 71

1. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 1: corespondența vârfurilor, dintr-o notație dată

   Se știe $\triangle PQR \sim \triangle STU$, cu $PQ = 9$ cm, $QR = 12$ cm, $RP = 15$ cm, $ST = 6$ cm. Calculează $TU$ și $US$.

   Arată rezolvarea

   Corespondența este $P \leftrightarrow S$, $Q \leftrightarrow T$, $R \leftrightarrow U$, deci $PQ \leftrightarrow ST$, $QR \leftrightarrow TU$, $RP \leftrightarrow US$.

   $k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

   $TU = \dfrac{2}{3} \cdot QR = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8 \text{ cm}$

   $US = \dfrac{2}{3} \cdot RP = \dfrac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm}$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 2: teorema fundamentală a asemănării

   Cu datele figurii de la „Teorema fundamentală a asemănării” ($AB = 16$, $AC = 12$, $AD = 12$), calculează raportul de asemănare $k = \dfrac{AD}{AB}$ și lungimea $DE$, știind $BC = 20$.

   Arată rezolvarea

   $$k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}$$

   $$DE = k \cdot BC = \dfrac{3}{4} \cdot 20 = 15 \text{ cm}$$

   Exact rezultatul pe care l-ai fi obținut și cu teorema lui Thales: cele două teoreme dau același răspuns, pentru că descriu aceeași configurație.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 3: UU cu unghiuri numerice, corespondență neevidentă

   Triunghiul $MNP$ are $\angle M = 55°$, $\angle N = 65°$ (deci $\angle P = 60°$). Triunghiul $RST$ are $\angle R = 55°$, $\angle S = 60°$ (deci $\angle T = 65°$). Sunt cele două triunghiuri asemenea? Scrie corespondența corectă.

   Arată rezolvarea

   Unghiurile lui $MNP$ sunt $\{55°, 65°, 60°\}$, iar ale lui $RST$ sunt $\{55°, 60°, 65°\}$: aceleași trei valori, deci, prin UU, triunghiurile sunt asemenea.

   ATENȚIE la corespondență: NU este $M \leftrightarrow R$, $N \leftrightarrow S$, $P \leftrightarrow T$ (ordinea alfabetică a notării), pentru că $\angle N = 65° \neq \angle S = 60°$. Perechile corecte, cu unghiuri EGALE, sunt $M(55°) \leftrightarrow R(55°)$, $N(65°) \leftrightarrow T(65°)$, $P(60°) \leftrightarrow S(60°)$.

   $$\triangle MNP \sim \triangle RTS$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 4: UU din unghiuri opuse la vârf și o paralelă

   Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$, situat între $A$ și $B$ și între $C$ și $D$, iar $AC \parallel BD$. Arată că $\triangle AOC \sim \triangle BOD$.

   Arată rezolvarea

   $\angle AOC \equiv \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf, întotdeauna congruente).

   $AC \parallel BD$, iar $AB$ este secantă: $\angle OAC \equiv \angle OBD$ (unghiuri alterne interne).

   Cu criteriul UU (unghiul din $O$ + unghiul din $A$, respectiv $B$), $\triangle AOC \sim \triangle BOD$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 5: LUL, verificare directă

   Cu datele figurii de la criteriul LUL ($MN=6$, $MO=4$, $M'N'=12$, $M'O'=8$, $\angle M \equiv \angle M'$), calculează raportul de asemănare și verifică toate rapoartele.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{M'N'}{MN} = \dfrac{12}{6} = 2$

   $\dfrac{M'O'}{MO} = \dfrac{8}{4} = 2$

   Ambele rapoarte sunt $2$, iar unghiul cuprins este congruent: criteriul LUL confirmă $\triangle MNO \sim \triangle M'N'O'$, cu $k = 2$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 6: LUL, aflarea unei laturi necunoscute

   În triunghiurile $ABC$ și $DEF$, $AB = 8$ cm, $AC = 10$ cm, $DE = 12$ cm, $DF = 15$ cm și $\angle A \equiv \angle D$. Arată că triunghiurile sunt asemenea și, dacă $BC = 14$ cm, calculează $EF$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$

   $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}$

   Rapoartele sunt egale, iar unghiul $A$ (respectiv $D$) este cuprins între laturile folosite, deci criteriul LUL dă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, cu $k = \dfrac{3}{2}$.

   $$EF = k \cdot BC = \dfrac{3}{2} \cdot 14 = 21 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 7: LLL, verificare directă

   Cu datele figurii de la criteriul LLL ($XY=6$, $YZ=ZX=5$, $X'Y'=12$, $Y'Z'=Z'X'=10$), verifică toate cele trei rapoarte și scrie raportul de asemănare.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{X'Y'}{XY} = \dfrac{12}{6} = 2, \qquad \dfrac{Y'Z'}{YZ} = \dfrac{10}{5} = 2, \qquad \dfrac{Z'X'}{ZX} = \dfrac{10}{5} = 2$

   Toate trei rapoartele sunt egale ($k=2$), deci, prin LLL, $\triangle XYZ \sim \triangle X'Y'Z'$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 8: LLL, contraexemplu (rapoarte inegale)

   Triunghiul $ABC$ are $AB=6$, $BC=8$, $CA=10$. Triunghiul $DEF$ are $DE=9$, $EF=12$, $FD=14$. Sunt asemenea?

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}, \qquad \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}, \qquad \dfrac{FD}{CA} = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5}$

   Primele două rapoarte sunt $\dfrac{3}{2}$, dar al treilea este $\dfrac{7}{5} \neq \dfrac{3}{2}$. Criteriul LLL cere ca TOATE TREI rapoartele să fie egale: aici nu sunt. Laturile sunt scrise în ordine crescătoare în ambele triunghiuri, deci aceasta este singura corespondență posibilă, iar triunghiurile NU sunt asemenea.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Exemplul 9: aflarea tuturor laturilor cu un raport dat

   Triunghiul $ABC$ are $AB=7$ cm, $BC=9$ cm, $CA=11$ cm. Triunghiul $DEF$ este asemenea cu $ABC$, în corespondența $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, cu raportul de asemănare $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{5}{2}$. Calculează laturile lui $DEF$.

   Arată rezolvarea

   Corespondența dă $DE \leftrightarrow AB$, $EF \leftrightarrow BC$, $FD \leftrightarrow CA$, toate cu același raport $k$.

   $DE = \dfrac{5}{2} \cdot 7 = 17{,}5 \text{ cm}$

   $EF = \dfrac{5}{2} \cdot 9 = 22{,}5 \text{ cm}$

   $FD = \dfrac{5}{2} \cdot 11 = 27{,}5 \text{ cm}$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Exemplul 10: perimetrul, consecință a raportului

    Cu datele exemplului 9 (perimetrul lui $ABC$ este $7+9+11=27$ cm și $k = \dfrac{5}{2}$), calculează perimetrul lui $DEF$ în două moduri.

    Arată rezolvarea

    Metoda 1 (sumă directă): $P_{DEF} = 17{,}5 + 22{,}5 + 27{,}5 = 67{,}5$ cm.

    Metoda 2 (consecința raportului): $P_{DEF} = k \cdot P_{ABC} = \dfrac{5}{2} \cdot 27 = 67{,}5$ cm.

    Ambele metode dau același rezultat, pentru că perimetrul unui triunghi asemenea scalează exact ca laturile, cu același $k$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Exemplul 11: algebră cu criteriul LLL

    Triunghiul $ABC$ are $AB = x$, $BC = x+1$, $CA = x+2$ (cm). Triunghiul $DEF \sim \triangle ABC$ (aceeași corespondență a vârfurilor) are $DE = 9$, $EF = 12$, $FD = 15$ (cm). Calculează $x$ și raportul de asemănare.

    Arată rezolvarea

    Din asemănare, toate rapoartele laturilor corespunzătoare sunt egale: $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC}$.

    $\dfrac{9}{x} = \dfrac{12}{x+1}$

    $9(x+1) = 12x$

    $9x + 9 = 12x$

    $3x = 9$

    $x = 3$

    Verificare: $AB=3$, $BC=4$, $CA=5$; rapoartele $\dfrac{9}{3}=3$, $\dfrac{12}{4}=3$, $\dfrac{15}{5}=3$ sunt toate egale, deci $x=3$ și raportul de asemănare este $k=3$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Exemplul 12: recunoașterea criteriului corect dintr-un enunț

    Un elev are: $AB = 6$ cm, $DE = 9$ cm, $\angle B \equiv \angle E$, $\angle C \equiv \angle F$. El scrie „criteriul LUL, pentru că am o latură și un unghi”. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Datele sunt: O SINGURĂ latură ($AB \leftrightarrow DE$) și DOUĂ unghiuri ($\angle B \equiv \angle E$, $\angle C \equiv \angle F$). LUL cere DOUĂ laturi și UN unghi cuprins; aici avem invers.

    De fapt, cele două unghiuri ($\angle B$, $\angle C$) sunt suficiente SINGURE pentru criteriul UU; latura $AB=6$, $DE=9$ este o informație în plus (dă direct raportul $k = 9/6 = 3/2$), dar nu schimbă faptul că, aici, criteriul aplicat este UU, nu LUL.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Exemplul 13: consecință versus criteriu, într-o problemă

    Se știe (deja demonstrat) că $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, cu $AB=5$, $BC=7$, $DE=15$. Un elev vrea să afle $EF$ scriind mai întâi criteriul LLL cu cele două laturi date. Este nevoie de criteriu aici?

    Arată rezolvarea

    Nu. Asemănarea este deja STABILITĂ (enunțul o dă ca fapt cunoscut), deci nu mai trebuie demonstrată cu un criteriu. Folosești direct CONSECINȚA: toate laturile corespunzătoare sunt proporționale, cu același $k$.

    $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{15}{5} = 3$

    $EF = k \cdot BC = 3 \cdot 7 = 21$

    Criteriile (UU, LUL, LLL) se folosesc DOAR când trebuie să DEMONSTREZI asemănarea. Odată stabilită, folosești direct proporționalitatea laturilor.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 1: recapitulare, raportul perimetrelor

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=4$ și $P_{ABC}=15$ cm. Calculează $P_{DEF}$.

    Arată rezolvarea

    $$P_{DEF} = k \cdot P_{ABC} = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 2: raportul ariilor, din figura lecției

    Cu datele figurii de la „Raportul ariilor” ($PQ=8$, $RH=6$, $P'Q'=12$, $R'H'=9$), calculează ariile celor două triunghiuri și raportul lor.

    Arată rezolvarea

    $$\text{Aria}(\triangle PQR) = \dfrac{8\cdot 6}{2} = 24$$

    $$\text{Aria}(\triangle P'Q'R') = \dfrac{12\cdot 9}{2} = 54$$

    $$\dfrac{54}{24} = 2{,}25 = 1{,}5^2$$

    Confirmă formula: raportul de asemănare este $1{,}5$, iar raportul ariilor este $1{,}5^2 = 2{,}25$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 3: dublarea laturilor, ilustrare conceptuală

    Un triunghi cu aria $9$ cm² este mărit astfel încât toate laturile devin de $2$ ori mai mari. Calculează noua arie. Ce se întâmplă dacă laturile devin de $3$ ori mai mari?

    Arată rezolvarea

    Pentru $k=2$:

    $$9 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36 \text{ cm}^2$$

    Pentru $k=3$:

    $$9 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81 \text{ cm}^2$$

    Aria NU se dublează, respectiv NU se triplează: se înmulțește cu $k^2$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 4: calcul direct al ariei, raport dat

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=3$ (de la $ABC$ la $DEF$) și $\text{Aria}(\triangle ABC) = 20$ cm². Calculează $\text{Aria}(\triangle DEF)$.

    Arată rezolvarea

    $$\text{Aria}(\triangle DEF) = k^2 \cdot \text{Aria}(\triangle ABC)$$

    $$\text{Aria}(\triangle DEF) = 9 \cdot 20 = 180 \text{ cm}^2$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 5: calcul invers, raportul ariilor este un pătrat perfect

    Două triunghiuri asemenea au ariile în raportul $16$ (adică al doilea are aria de $16$ ori mai mare). Calculează raportul de asemănare $k$.

    Arată rezolvarea

    $$k = \sqrt{16} = 4$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 6: calcul invers, raport fracționar

    Două triunghiuri asemenea au ariile în raportul $\dfrac{9}{4}$. Calculează raportul de asemănare $k$ și verifică.

    Arată rezolvarea

    $$k = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$$

    Verificare: $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Exemplul 7: perimetru și arie, în aceeași problemă

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $P_{ABC}=12$ cm, $P_{DEF}=60$ cm și $\text{Aria}(\triangle ABC)=14$ cm². Calculează raportul de asemănare și $\text{Aria}(\triangle DEF)$.

    Arată rezolvarea

    $$k = \dfrac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = \dfrac{60}{12} = 5$$

    $$\text{Aria}(\triangle DEF) = 5^2 \cdot 14$$

    $$\text{Aria}(\triangle DEF) = 25 \cdot 14 = 350 \text{ cm}^2$$

    Vezi lecția