Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 51 din 71

1. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 6: termen necunoscut, poziție de meză

   Segmentele $AB = 12$ cm, $CD = y$, $MN = 10$ cm și $PQ = 4$ cm sunt proporționale, în această ordine. Calculează $y$.

   Arată rezolvarea

   $AB \cdot PQ = CD \cdot MN$

   $12 \cdot 4 = y \cdot 10$

   $48 = 10y$

   $y = 4{,}8$

   $$y = 4{,}8 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 7: proporție cu rapoarte zecimale

   $AB = 3{,}5$ cm și $CD = 1{,}4$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$.

   Arată rezolvarea

   $$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{3{,}5}{1{,}4} = \dfrac{35}{14} = \dfrac{5}{2}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 8: enunțarea teoremei paralelelor echidistante

   Enunță teorema paralelelor echidistante și precizează ce anume trebuie să fie date egale, și ce rezultă egal.

   Arată rezolvarea

   Dacă drepte paralele taie segmente egale pe o secantă, atunci ele taie segmente egale pe orice altă secantă. Ipoteza este egalitatea segmentelor pe PRIMA secantă (și paralelismul dreptelor); concluzia este egalitatea segmentelor pe A DOUA secantă.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 9: aplicarea directă a teoremei

   În figura teoremei paralelelor echidistante (secțiunea de mai sus), pe secanta $AC$ avem $AB = BC = 7$ cm. Pe secanta $A_1C_1$, $A_1B_1 = 9$ cm. Calculează $B_1C_1$ și $A_1C_1$.

   Arată rezolvarea

   Conform teoremei, dreptele paralele taie segmente egale pe a doua secantă la fel ca pe prima: $A_1B_1 = B_1C_1$.

   $$B_1C_1 = A_1B_1 = 9 \text{ cm}$$

   $$A_1C_1 = A_1B_1 + B_1C_1 = 9 + 9 = 18 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 10: patru drepte paralele echidistante

   Patru drepte paralele echidistante taie pe o secantă segmentele $P_0P_1$, $P_1P_2$, $P_2P_3$, toate egale cu $4$ cm. Pe altă secantă, $Q_0Q_1 = 5$ cm. Calculează $Q_1Q_2$, $Q_2Q_3$ și distanța totală $Q_0Q_3$.

   Arată rezolvarea

   Segmentele fiind egale pe prima secantă, teorema dă segmente egale pe a doua.

   $$Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_0Q_1 = 5 \text{ cm}$$

   $$Q_0Q_3 = 5 + 5 + 5 = 15 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 11: aplicație practică, împărțirea unui gard în părți egale

   O fâșie de teren lungă de $24$ m trebuie împărțită în $6$ parcele egale. Se întind $7$ fire paralele echidistante, iar fâșia (o secantă) este tăiată de ele în $6$ segmente. Explică de ce segmentele sunt egale și calculează lungimea fiecărei parcele, știind că pe o secantă perpendiculară pe fire cele $6$ segmente însumează $24$ m.

   Arată rezolvarea

   Firele sunt drepte paralele echidistante, deci taie segmente egale pe orice secantă, oricare ar fi unghiul sub care este așezată fâșia. Cele $6$ segmente egale însumează $24$ m.

   $$24 : 6 = 4 \text{ m fiecare parcelă}$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Exemplul 12: recunoașterea unei proporții greșite

   Un elev scrie: din $AB = 6$, $CD = 3$, $MN = 8$, $PQ = 5$ (cm) rezultă că $AB, CD, MN, PQ$ sunt proporționale, pentru că „ambele rapoarte sunt mai mari decât $1$”. Este raționamentul corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Pentru proporționalitate trebuie ca cele DOUĂ rapoarte să fie EGALE între ele, nu doar să arate asemănător.

   $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{3} = 2$

   $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$

   $2 \neq 1{,}6$, deci segmentele NU sunt proporționale.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Exemplul 1: aplicarea directă a teoremei, raport parte la parte

   În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$. Se știe $AD = 6$ cm, $DB = 4$ cm, $AE = 9$ cm. Calculează $EC$.

   Arată rezolvarea

   Din teorema lui Thales, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.

   $\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{EC}$

   $6 \cdot EC = 4 \cdot 9$

   $6 \cdot EC = 36$

   $EC = 6 \text{ cm}$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Exemplul 2: aplicarea teoremei, raport parte la întreg

   În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$. Se știe $AB = 20$ cm, $AD = 12$ cm, $AC = 15$ cm. Calculează $AE$.

   Arată rezolvarea

   Folosim raportul parte la întreg: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.

   $\dfrac{12}{20} = \dfrac{AE}{15}$

   $AE = \dfrac{12 \cdot 15}{20} = \dfrac{180}{20} = 9 \text{ cm}$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 3: figura numerică a lecției

    În figura de la „Teorema lui Thales” ($AB = 12$, $AC = 9$, $AD = 8$, $AE = 6$), verifică cele două formulări ale proporției și calculează $DB$ și $EC$.

    Arată rezolvarea

    $$DB = AB - AD = 12 - 8 = 4 \text{ cm}$$

    $$EC = AC - AE = 9 - 6 = 3 \text{ cm}$$

    $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}, \qquad \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

    $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{8}{4} = 2, \qquad \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{6}{3} = 2$

    Ambele formulări confirmă proporționalitatea: $\dfrac{2}{3}$ pentru rapoartele parte la întreg, $2$ pentru rapoartele parte la parte.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 4: și lungimea segmentului paralel

    Cu aceleași date ($AD/AB = 2/3$) și $BC = 21$ cm, calculează $DE$.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{3}$$

    $$DE = \dfrac{2}{3} \cdot 21 = 14 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 5: pornind de la $DB$ și $EC$

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $DB = 5$ cm, $EC = 7$ cm și $AE = 21$ cm. Calculează $AD$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

    $\dfrac{AD}{5} = \dfrac{21}{7} = 3$

    $AD = 15 \text{ cm}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 6: algebră cu teorema lui Thales

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $AD = x$, $DB = 4$, $AE = x + 3$, $EC = 6$ (cm). Calculează $x$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{x}{4} = \dfrac{x+3}{6}$

    $6x = 4(x+3)$

    $6x = 4x + 12$

    $2x = 12$

    $x = 6$

    Verificare: $AD = 6$, $AE = 9$; $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ și $\dfrac{9}{6} = 1{,}5$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 7: recunoașterea unei scrieri greșite

    Un elev scrie $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$ pentru figura teoremei lui Thales. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. $\dfrac{AD}{DB}$ este un raport „parte la parte”, iar $\dfrac{AE}{AC}$ este „parte la întreg”: numitorii nu corespund. Forma corectă „parte la parte” este $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$, iar cea „parte la întreg” este $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 8: aplicarea reciprocei, verificare

    În triunghiul $MNP$, $F \in MN$, $G \in MP$, cu $MF = 9$ cm, $FN = 6$ cm, $MG = 6$ cm, $GP = 4$ cm. Este $FG \parallel NP$?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$

    $\dfrac{MG}{GP} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

    Rapoartele sunt egale, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $FG \parallel NP$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 9: reciproca, rapoarte inegale

    În triunghiul $MNP$, $F \in MN$, $G \in MP$, cu $MF = 8$ cm, $FN = 6$ cm, $MG = 10$ cm, $GP = 9$ cm. Este $FG \parallel NP$?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

    $\dfrac{MG}{GP} = \dfrac{10}{9}$

    $\dfrac{4}{3} \neq \dfrac{10}{9}$, deci reciproca NU se aplică: nu putem afirma că $FG \parallel NP$ (și, în general, nu este).

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 10: reciproca, formă parte la întreg

    În triunghiul $MNP$, $F \in MN$, $G \in MP$, cu $MN = 24$ cm, $MF = 15$ cm, $MP = 16$ cm, $MG = 10$ cm. Este $FG \parallel NP$?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{MF}{MN} = \dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}$

    $\dfrac{MG}{MP} = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}$

    Rapoartele parte la întreg sunt egale, deci $FG \parallel NP$ (reciproca teoremei lui Thales, formă echivalentă).

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 11: împărțirea unui segment în două părți proporționale

    Împarte un segment $AB = 35$ cm în părți proporționale cu numerele $3$ și $4$, folosind construcția din lecție. Calculează lungimile celor două părți.

    Arată rezolvarea

    Pe semidreapta auxiliară se marchează $3 + 4 = 7$ segmente egale, se unește al șaptelea punct cu $B$, iar prin al treilea punct se duce paralela.

    $AM = \dfrac{3}{7} \cdot 35 = 15 \text{ cm}$

    $MB = \dfrac{4}{7} \cdot 35 = 20 \text{ cm}$

    Verificare: $15 + 20 = 35$ cm și $15 : 20 = 3 : 4$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 12: figura din lecție, verificare directă

    În construcția din secțiunea „Împărțirea unui segment” ($AB = 20$ cm, $5$ segmente egale pe semidreaptă, paralela prin $P_2$), verifică raportul $AM : MB$.

    Arată rezolvarea

    $$AM = 8 \text{ cm}, \qquad MB = 20 - 8 = 12 \text{ cm}$$

    $$AM : MB = 8 : 12 = 2 : 3$$

    Exact raportul dintre numărul de unități până la $P_2$ (adică $2$) și numărul rămas până la $P_5$ (adică $3$).

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Exemplul 13: împărțire în trei părți proporționale

    O sumă de $180$ lei trebuie împărțită între trei persoane proporțional cu numerele $2$, $3$ și $4$ (aceeași idee ca la împărțirea unui segment în părți proporționale). Calculează sumele.

    Arată rezolvarea

    Numărul total de „unități” este $2 + 3 + 4 = 9$, iar o unitate valorează $180 : 9 = 20$ lei.

    $2 \cdot 20 = 40 \text{ lei}$

    $3 \cdot 20 = 60 \text{ lei}$

    $4 \cdot 20 = 80 \text{ lei}$

    Verificare: $40 + 60 + 80 = 180$ lei, iar $40 : 60 : 80 = 2 : 3 : 4$.

    Vezi lecția