Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 50 din 71

1. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 4: raza din latura pătratului (raționalizare)

   Un pătrat înscris are latura $8\text{ cm}$. Află raza cercului.

   Arată rezolvarea

   $\ell_4 = R\sqrt{2} \Rightarrow R = \dfrac{\ell_4}{\sqrt{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{2}}$

   $R = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$raționalizarea numitorului

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 5: latura triunghiului echilateral din rază

   Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $R = 4\text{ cm}$. Află latura triunghiului.

   Arată rezolvarea

   $\ell_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 6: raza din latura triunghiului echilateral

   Un triunghi echilateral înscris are latura $9\text{ cm}$. Află raza cercului.

   Arată rezolvarea

   $R = \dfrac{\ell_3}{\sqrt{3}} = \dfrac{9}{\sqrt{3}}$

   $R = \dfrac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\text{ cm}$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 7: unghiul interior din numărul de laturi

   Calculează unghiul la centru și unghiul interior al unui octogon regulat ($n = 8$).

   Arată rezolvarea

   $\angle \text{la centru} = \dfrac{360°}{8} = 45°$

   $\angle \text{interior} = 180° - 45° = 135°$

   Verificare cu cealaltă formă: $\dfrac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \dfrac{1080°}{8} = 135°$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 8: numărul de laturi din unghiul interior

   Un poligon regulat are unghiul interior de $150°$. Câte laturi are?

   Arată rezolvarea

   $\angle \text{exterior} = 180° - 150° = 30°$

   $n = \dfrac{360°}{30°} = 12$

   Poligonul are $12$ laturi. Verificare: unghiul la centru este $\dfrac{360°}{12} = 30°$, iar $180° - 30° = 150°$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 9: construcția pătratului înscris

   Construiește un pătrat înscris într-un cerc cu raza de $2{,}5\text{ cm}$ și precizează cât este fiecare unghi la centru.

   Arată rezolvarea

   1. Desenezi cercul de centru $O$ și rază $2{,}5\text{ cm}$.
   2. Trasezi un diametru $AC$, prin centrul $O$.
   3. Trasezi al doilea diametru $BD$, perpendicular pe $AC$ în $O$ (cu echerul sau cu compasul).
   4. Unești vârfurile consecutive $A$, $B$, $C$, $D$.

   Cele patru unghiuri la centru sunt egale, fiecare de $\dfrac{360°}{4} = 90°$, deci pătratul are laturile egale, iar unghiurile lui sunt de $90°$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 10: perimetrul hexagonului înscris

   Hexagonul regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 6\text{ cm}$. Află perimetrul lui.

   Arată rezolvarea

   $P_6 = 6 \cdot \ell_6 = 6 \cdot 6\text{ cm} = 36\text{ cm}$

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 11: perimetrul pătratului înscris

   Pătratul este înscris într-un cerc de rază $R = 3\text{ cm}$. Află perimetrul lui, în formă exactă.

   Arată rezolvarea

   $\ell_4 = 3\sqrt{2}\text{ cm}$

   $P_4 = 4 \cdot 3\sqrt{2}\text{ cm} = 12\sqrt{2}\text{ cm}$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

   Exemplul 12: lungimea cercului din rază

   Un cerc are raza $R = 9\text{ cm}$. Află lungimea lui, în formă exactă și aproximativă ($\pi \approx 3{,}14$).

   Arată rezolvarea

   $L = 2\pi R = 2\pi \cdot 9\text{ cm} = 18\pi\text{ cm}$

   $L \approx 18 \cdot 3{,}14\text{ cm} = 56{,}52\text{ cm}$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 13: raza din lungimea cercului

    Lungimea unui cerc este $L = 22\pi\text{ cm}$. Află raza.

    Arată rezolvarea

    $R = \dfrac{L}{2\pi} = \dfrac{22\pi}{2\pi}\text{ cm} = 11\text{ cm}$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 14: aria discului din rază

    Un disc are raza $R = 10\text{ cm}$. Află aria lui, în formă exactă și aproximativă.

    Arată rezolvarea

    $A = \pi R^2 = \pi \cdot 10^2\text{ cm}^2 = 100\pi\text{ cm}^2$

    $A \approx 100 \cdot 3{,}14\text{ cm}^2 = 314\text{ cm}^2$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 15: raza din aria discului

    Aria unui disc este $A = 49\pi\text{ cm}^2$. Află raza lui.

    Arată rezolvarea

    $R^2 = \dfrac{A}{\pi} = \dfrac{49\pi}{\pi} = 49$

    $R = \sqrt{49}\text{ cm} = 7\text{ cm}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 16: aria unui sector de disc

    Un sector de disc are unghiul la centru $60°$, dintr-un disc de rază $R = 12\text{ cm}$. Află aria sectorului.

    Arată rezolvarea

    $A_{\text{sector}} = \dfrac{60°}{360°} \cdot \pi R^2 = \dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot 12^2\text{ cm}^2$

    $A_{\text{sector}} = \dfrac{144\pi}{6}\text{ cm}^2 = 24\pi\text{ cm}^2 \approx 75{,}36\text{ cm}^2$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 17: unghiul unui sector din aria lui

    Un sector dintr-un disc de rază $R = 6\text{ cm}$ (aria discului $36\pi\text{ cm}^2$) are aria $9\pi\text{ cm}^2$. Află unghiul lui la centru.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{n°}{360°} = \dfrac{A_{\text{sector}}}{A_{\text{disc}}} = \dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}$

    $n° = \dfrac{360°}{4} = 90°$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 18: comparație poligon–cerc

    Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 5\text{ cm}$. Compară perimetrul hexagonului cu lungimea cercului ($\pi \approx 3{,}14$).

    Arată rezolvarea

    $P_6 = 6 \cdot R = 6 \cdot 5\text{ cm} = 30\text{ cm}$

    $L = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5\text{ cm} = 31{,}4\text{ cm}$

    Așadar $P_6 = 30\text{ cm}$ este mai mic decât $L \approx 31{,}4\text{ cm}$, pentru că laturile poligonului „taie” din arce, fiind coarde, nu chiar arcul.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Exemplul 1: raportul a două segmente

    $AB = 15$ cm și $CD = 9$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$, sub formă de fracție ireductibilă.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Exemplul 2: aceeași unitate de măsură

    $MN = 2$ m și $PQ = 60$ cm. Calculează $\dfrac{MN}{PQ}$.

    Arată rezolvarea

    Cele două lungimi trebuie exprimate în aceeași unitate. Transformăm $MN$ în centimetri.

    $$MN = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$$

    $$\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{200}{60} = \dfrac{10}{3}$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Exemplul 3: verificarea proporționalității

    Sunt segmentele $AB = 10$ cm, $CD = 4$ cm, $MN = 15$ cm, $PQ = 6$ cm proporționale, în această ordine?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$

    $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}$

    Cele două rapoarte sunt egale, deci segmentele sunt proporționale, în ordinea dată.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Exemplul 4: proporție falsă din cauza ordinii

    Cu aceleași segmente ca mai sus ($AB = 10$, $CD = 4$, $MN = 15$, $PQ = 6$ cm), sunt $AB, CD, PQ, MN$ proporționale, în această ordine?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$

    $\dfrac{PQ}{MN} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$

    $\dfrac{5}{2} \neq \dfrac{2}{5}$, deci $AB, CD, PQ, MN$ NU sunt proporționale în această ordine, deși cu ordinea inițială ($AB, CD, MN, PQ$) erau. Ordinea termenilor contează.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Exemplul 5: aflarea unui termen necunoscut

    Segmentele $AB = 8$ cm, $CD = 6$ cm, $MN = 20$ cm și $PQ = x$ sunt proporționale, în această ordine. Calculează $x$.

    Arată rezolvarea

    Din proporționalitate, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

    $AB \cdot PQ = CD \cdot MN$

    $8 \cdot x = 6 \cdot 20$

    $8x = 120$

    $x = 15$

    Verificare: $\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ și $\dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}$.

    Vezi lecția