Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 49 din 71

1. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 2: de la unghiul înscris la unghiul la centru

   Unghiul înscris $\angle ACB$ are $37°$. Cât are unghiul la centru $\angle AOB$ care subîntinde același arc?

   Arată rezolvarea

   $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$

   $\angle AOB = 2 \cdot 37° = 74°$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 3: de la unghiul înscris la măsura arcului

   Unghiul înscris $\angle ACB$ are $58°$. Care este măsura arcului mic $\overset{\frown}{AB}$?

   Arată rezolvarea

   Arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ are aceeași măsură cu unghiul la centru corespunzător, iar unghiul la centru este dublul unghiului înscris.

   $m(\overset{\frown}{AB}) = \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$

   $m(\overset{\frown}{AB}) = 2 \cdot 58° = 116°$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 4: recunoaște arcul subîntins

   În figură, $O$ este centrul cercului. Ce arc subîntinde unghiul înscris $\angle ACB$: arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ sau arcul mare $\overset{\frown}{AB}$?

   Arată rezolvarea

   Vârful $C$ se află pe arcul mare, deci unghiul $\angle ACB$ subîntinde arcul mic $\overset{\frown}{AB}$, cel care nu conține pe $C$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 5: două unghiuri înscrise pe același arc

   Punctele $C$ și $D$ sunt pe arcul mare $\overset{\frown}{AB}$ al unui cerc, iar $\angle ACB = 46°$. Cât este $\angle ADB$?

   Arată rezolvarea

   $\angle ACB$ și $\angle ADB$ subîntind același arc, arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ (niciunul dintre $C$, $D$ nu este pe el). Unghiuri înscrise pe același arc sunt congruente, deci $\angle ADB = \angle ACB = 46°$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 6: unghiul înscris într-un semicerc

   $AB$ este diametru al unui cerc, iar $C$ este un punct al cercului, diferit de $A$ și $B$. Cât este $\angle ACB$?

   Arată rezolvarea

   $AB$ este diametru, deci arcul subîntins de $\angle ACB$ este un semicerc, de $180°$. Unghiul înscris este jumătate: $\angle ACB = \dfrac{180°}{2} = 90°$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 7: reciproca unghiului din semicerc

   Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc și $\angle ACB = 90°$. Ce reprezintă $AB$ față de cerc?

   Arată rezolvarea

   Un unghi înscris este drept exact atunci când subîntinde un semicerc, adică laturile lui trec prin capetele unui diametru. Cum $\angle ACB = 90°$ este unghi înscris cu laturile $CA$, $CB$, latura $AB$ (care unește celelalte două vârfuri) este diametrul cercului.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 8: coarde egale, arce egale

   Coardele $AB$ și $CD$ ale unui cerc sunt egale, $AB = CD$. Ce poți spune despre arcele mici $\overset{\frown}{AB}$ și $\overset{\frown}{CD}$?

   Arată rezolvarea

   Într-un cerc, coarde egale subîntind arce egale. Cum $AB = CD$, rezultă $m(\overset{\frown}{AB}) = m(\overset{\frown}{CD})$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 9: compară două coarde din arce diferite

   Arcele mici $\overset{\frown}{AB} = 40°$ și $\overset{\frown}{CD} = 100°$ din același cerc. Care coardă este mai lungă?

   Arată rezolvarea

   Arcul $\overset{\frown}{CD} = 100°$ este mai mare decât $\overset{\frown}{AB} = 40°$, deci coarda $CD$ este mai lungă decât coarda $AB$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Exemplul 10: proprietatea tangentei

   Dreapta $a$ este tangentă la cercul de centru $O$ în punctul $T$. Ce unghi formează $OT$ cu $a$?

   Arată rezolvarea

   Raza dusă în punctul de tangență este mereu perpendiculară pe tangentă: $OT \perp a$, deci unghiul dintre $OT$ și $a$ este $90°$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 11: lungimea tangentei

    Din punctul exterior $P$ se duce o tangentă la cercul de centru $O$ și rază $r = 6\text{ cm}$, cu $OP = 10\text{ cm}$. Află lungimea tangentei $PT$.

    Arată rezolvarea

    Triunghiul $OTP$ este dreptunghic în $T$ (proprietatea tangentei), cu ipotenuza $OP$ și cateta $OT = r$.

    $PT = \sqrt{OP^2 - OT^2}$

    $PT = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 12: cele două tangente sunt egale

    Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $PT_1$ și $PT_2$ la același cerc, $PT_1 = 12\text{ cm}$. Cât este $PT_2$?

    Arată rezolvarea

    Cele două segmente tangente duse din același punct exterior sunt mereu egale: $PT_2 = PT_1 = 12\text{ cm}$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 13: raza din tangentă și distanță

    Din punctul exterior $P$, tangenta la cerc are lungimea $PT = 15\text{ cm}$, iar $OP = 17\text{ cm}$. Află raza cercului.

    Arată rezolvarea

    $OT^2 = OP^2 - PT^2$

    $OT = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 14: unghiul dintre cele două tangente

    Din $P$ se duc tangentele $PT_1$, $PT_2$ la un cerc de centru $O$, iar $\angle T_1OT_2 = 100°$. Cât este $\angle T_1PT_2$?

    Arată rezolvarea

    În patrulaterul $OT_1PT_2$, unghiurile din $T_1$ și $T_2$ sunt drepte (proprietatea tangentei), iar suma unghiurilor unui patrulater este $360°$.

    $\angle T_1OT_2 + \angle OT_1P + \angle T_1PT_2 + \angle PT_2O = 360°$

    $100° + 90° + \angle T_1PT_2 + 90° = 360°$

    $\angle T_1PT_2 = 360° - 280° = 80°$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 15: combinat, arc și unghi înscris

    Arcul mare $\overset{\frown}{AB}$ al unui cerc are $260°$. Un unghi înscris $\angle ACB$, cu $C$ pe arcul mic, subîntinde arcul mare. Cât este $\angle ACB$?

    Arată rezolvarea

    Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător aceluiași arc pe care îl subîntinde, aici arcul mare.

    $\angle ACB = \dfrac{m(\overset{\frown}{AB}_{\text{mare}})}{2}$

    $\angle ACB = \dfrac{260°}{2} = 130°$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 16: diametrul perpendicular înjumătățește coarda

    Coarda $AB$ a cercului de centru $O$ are $12\text{ cm}$, iar raza este $10\text{ cm}$. Diametrul $CD$ este perpendicular pe $AB$ în $M$. Află $AM$, $MB$ și distanța $OM$ de la centru la coardă.

    Arată rezolvarea

    Diametrul perpendicular pe coardă o înjumătățește, deci $M$ este mijlocul lui $AB$. Apoi, în triunghiul $OMA$, dreptunghic în $M$, ipotenuza este raza $OA$.

    $AM = MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm}$

    $OM^2 = OA^2 - AM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

    $OM = 8\text{ cm}$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 17: coarde egal depărtate de centru

    Coardele $AB$ și $CD$ ale aceluiași cerc sunt la aceeași distanță de centru: $OM = ON = 4\text{ cm}$, unde $M$, $N$ sunt picioarele perpendicularelor din $O$. Știind că $AB = 10\text{ cm}$, află $CD$.

    Arată rezolvarea

    Coardele egal depărtate de centru sunt congruente. Cum $OM = ON$, rezultă $CD = AB = 10\text{ cm}$. Nu ai nevoie de rază: proprietatea dă direct răspunsul.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 18: reciproca, de la coarde egale la distanțe

    Într-un cerc de rază $13\text{ cm}$, coardele $EF$ și $GH$ au fiecare $24\text{ cm}$. Află distanța de la centru la fiecare coardă.

    Arată rezolvarea

    Coardele sunt congruente, deci sunt egal depărtate de centru: este suficient să calculezi distanța pentru una dintre ele. Perpendiculara $OP$ pe $EF$ cade în mijlocul $P$ al coardei.

    $EP = \dfrac{EF}{2} = 12\text{ cm}$

    $OP = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$

    Ambele coarde sunt la $5\text{ cm}$ de centru.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 1: latura hexagonului din rază

    Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 7\text{ cm}$. Află latura hexagonului.

    Arată rezolvarea

    $\ell_6 = R = 7\text{ cm}$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 2: raza din latura hexagonului

    Un hexagon regulat înscris are latura $9\text{ cm}$. Află raza cercului.

    Arată rezolvarea

    $R = \ell_6 = 9\text{ cm}$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

    Exemplul 3: latura pătratului din rază

    Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R = 5\text{ cm}$. Află latura pătratului.

    Arată rezolvarea

    $\ell_4 = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}$

    Vezi lecția