Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 48 din 71

1. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

   Exemplul 12: demonstrație scurtă, simetria trapezului isoscel

   Într-un trapez isoscel $ABCD$ ($AB \parallel DC$, $AD \equiv BC$), diagonalele se intersectează în $O$. Explică de ce $OA \equiv OB$.

   Arată rezolvarea

   Date: $ABCD$ trapez isoscel, deci are o axă de simetrie perpendiculară pe baze, prin mijloacele lor. Prin această simetrie, $A$ corespunde lui $B$, iar $D$ corespunde lui $C$.

   Diagonala $AC$ corespunde, prin simetrie, diagonalei $BD$, deci cele două diagonale sunt imagini una a celeilalte. Punctul lor de intersecție $O$ se află pe axa de simetrie, deci este propriul lui corespondent.

   Cum $A$ corespunde lui $B$ și $O$ rămâne pe loc, distanța $OA$ corespunde distanței $OB$, deci $OA \equiv OB$. Analog, $OC \equiv OD$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

   Exemplul 13: un unghi drept atrage încă unul

   Un trapez are un unghi de $90°$. Câte unghiuri drepte are, în total, acest trapez?

   Arată rezolvarea

   Exact două: unghiul dat, de $90°$, și cel alăturat lui pe aceeași latură neparalelă, care este suplementar cu el, deci $180° - 90° = 90°$. Celelalte două unghiuri, de pe cealaltă latură neparalelă, nu sunt drepte: altfel patrulaterul ar avea ambele perechi de laturi paralele și ar fi dreptunghi, nu trapez.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

   Exemplul 14: direcția implicației

   Un trapez are laturile neparalele congruente. Este neapărat isoscel? Dar dacă are doar unghiurile de la o bază congruente?

   Arată rezolvarea

   Laturile neparalele congruente este chiar definiția trapezului isoscel, deci da. Unghiurile de la o bază congruente sunt un criteriu de recunoaștere valid, deci și în acest caz trapezul este isoscel.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

   Exemplul 15: generalizare cu linia mijlocie

   Într-un trapez $ABCD$ ($AB \parallel DC$, $AB$ baza mare), $AB = 2 \cdot DC$. Exprimă linia mijlocie $MN$ în funcție de $DC$.

   Arată rezolvarea

   $MN = \dfrac{AB + DC}{2} = \dfrac{2 \cdot DC + DC}{2} = \dfrac{3 \cdot DC}{2}$

   Așadar $MN = \dfrac{3}{2} \cdot DC$, adică linia mijlocie este de $1{,}5$ ori baza mică.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

   Exemplul 1: aria paralelogramului, calcul direct

   Un paralelogram are baza $12$ cm și înălțimea corespunzătoare $5$ cm. Calculează aria.

   Arată rezolvarea

   $$A = 12 \cdot 5 = 60 \text{ cm}^2$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

   Exemplul 2: aria paralelogramului, invers

   Un paralelogram are aria $45$ cm² și baza $9$ cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.

   Arată rezolvarea

   $45 = 9 \cdot h$

   $h = 5 \text{ cm}$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

   Exemplul 3: perimetru vs. arie, la același paralelogram

   Un paralelogram are laturile alăturate $8$ cm și $6$ cm, iar înălțimea corespunzătoare laturii de $8$ cm este $4{,}5$ cm. Calculează perimetrul și aria.

   Arată rezolvarea

   Perimetrul folosește laturile, aria folosește baza și înălțimea.

   $$P = 2 \cdot (8 + 6) = 28 \text{ cm}$$

   $$A = 8 \cdot 4{,}5 = 36 \text{ cm}^2$$

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

   Exemplul 4: aria triunghiului, calcul direct

   Un triunghi are baza $10$ cm și înălțimea corespunzătoare $6$ cm. Calculează aria.

   Arată rezolvarea

   $$A = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30 \text{ cm}^2$$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

   Exemplul 5: aria triunghiului, invers

   Un triunghi are aria $24$ cm² și baza $8$ cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.

   Arată rezolvarea

   $24 = \dfrac{8 \cdot h}{2}$

   $24 = 4h$

   $h = 6 \text{ cm}$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 6: unități amestecate

    Un triunghi are baza $150$ cm și înălțimea $0{,}8$ m. Calculează aria, în m².

    Arată rezolvarea

    Convertim baza în metri înainte de calcul: $150 \text{ cm} = 1{,}5 \text{ m}$.

    $$A = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}8}{2} = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6 \text{ m}^2$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 7: aria rombului din diagonale

    Un romb are diagonalele $10$ cm și $14$ cm. Calculează aria.

    Arată rezolvarea

    $$A = \dfrac{10 \cdot 14}{2} = 70 \text{ cm}^2$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 8: aria rombului, o diagonală necunoscută

    Un romb are aria $48$ cm² și o diagonală de $12$ cm. Calculează cealaltă diagonală.

    Arată rezolvarea

    $48 = \dfrac{12 \cdot d}{2}$

    $48 = 6d$

    $d = 8 \text{ cm}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 9: aria rombului, latură și înălțime

    Un romb are latura $7$ cm și înălțimea corespunzătoare $4$ cm. Calculează aria.

    Arată rezolvarea

    $$A = 7 \cdot 4 = 28 \text{ cm}^2$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 10: aria trapezului, calcul direct

    Un trapez are bazele $14$ cm și $8$ cm, iar înălțimea $5$ cm. Calculează aria.

    Arată rezolvarea

    $$A = \dfrac{(14 + 8) \cdot 5}{2} = \dfrac{22 \cdot 5}{2} = 55 \text{ cm}^2$$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 11: aria trapezului, o bază necunoscută

    Un trapez are aria $36$ cm², baza mare $10$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează baza mică.

    Arată rezolvarea

    $36 = \dfrac{(10 + b) \cdot 4}{2}$

    $36 = (10 + b) \cdot 2$

    $18 = 10 + b$

    $b = 8 \text{ cm}$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 12: alege corect ce se cere (perimetru sau arie)

    Un teren dreptunghiular are $30$ m lungime și $18$ m lățime. (a) Câți metri de gard sunt necesari pentru împrejmuire? (b) Câte m² are terenul, pentru însămânțare?

    Arată rezolvarea

    (a) Gardul urmărește conturul terenului, deci se cere perimetrul.

    $$P = 2 \cdot (30 + 18) = 96 \text{ m}$$

    (b) Însămânțarea acoperă suprafața terenului, deci se cere aria.

    $$A = 30 \cdot 18 = 540 \text{ m}^2$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 13: aria unui poligon prin descompunere

    Un teren în formă de L este format din două dreptunghiuri alipite pe o latură comună de $4$ m: unul de $10$ m $\times$ $4$ m și altul de $4$ m $\times$ $5$ m. Calculează aria terenului.

    Arată rezolvarea

    Cele două dreptunghiuri nu se suprapun și acoperă tot terenul, deci aria terenului este suma ariilor lor.

    $A_1 = 10 \cdot 4 = 40 \text{ m}^2$

    $A_2 = 4 \cdot 5 = 20 \text{ m}^2$

    $A = 40 + 20 = 60 \text{ m}^2$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 14: descompunere în triunghi și dreptunghi

    O grădină are forma unei case stilizate: un dreptunghi de $6$ m $\times$ $4$ m, cu un triunghi deasupra (acoperișul), cu baza $6$ m și înălțimea $3$ m. Calculează aria totală a grădinii.

    Arată rezolvarea

    $A_{\text{dreptunghi}} = 6 \cdot 4 = 24 \text{ m}^2$

    $A_{\text{triunghi}} = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9 \text{ m}^2$

    $A = 24 + 9 = 33 \text{ m}^2$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

    Exemplul 15: aria unei figuri prin scădere

    Dintr-un dreptunghi de $10$ cm $\times$ $8$ cm se decupează, dintr-un colț, un dreptunghi mic de $3$ cm $\times$ $2$ cm. Calculează aria figurii rămase.

    Arată rezolvarea

    Uneori descompunerea înseamnă scădere: aria figurii mari, minus aria bucății lipsă.

    $A_{\text{mare}} = 10 \cdot 8 = 80 \text{ cm}^2$

    $A_{\text{decupat}} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ cm}^2$

    $A = 80 - 6 = 74 \text{ cm}^2$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Exemplul 1: de la unghiul la centru la unghiul înscris

    Unghiul la centru $\angle AOB$ are $84°$. Cât are unghiul înscris $\angle ACB$, dacă $C$ este pe arcul mare $\overset{\frown}{AB}$?

    Arată rezolvarea

    $\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2}$

    $\angle ACB = \dfrac{84°}{2} = 42°$

    Vezi lecția