Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 47 din 71

1. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 7: recunoașterea rombului din diagonale

   Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele perpendiculare. Ce fel de paralelogram este? Este neapărat pătrat?

   Arată rezolvarea

   Diagonalele perpendiculare fac din $ABCD$ un romb (criteriul de recunoaștere). Nu este neapărat pătrat: pentru pătrat ar trebui ca diagonalele să fie și congruente, condiție care nu este dată aici.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 8: diagonala pătratului

   Un pătrat are latura $6$ cm. Calculează lungimea diagonalei.

   Arată rezolvarea

   Pătratul este și dreptunghi, deci diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu latura.

   $d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

   $d = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm}$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 9: latura pătratului din diagonală

   Un pătrat are diagonala $6\sqrt{2}$ cm. Calculează latura.

   Arată rezolvarea

   Este exemplul anterior, citit invers: diagonala $d$ și latura $l$ sunt legate prin $d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.

   $\left(6\sqrt{2}\right)^2 = 2l^2$$\left(6\sqrt{2}\right)^2 = 36 \cdot 2 = 72$

   $72 = 2l^2 \Rightarrow l^2 = 36 \Rightarrow l = 6 \text{ cm}$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 10: recunoașterea pătratului

   Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele congruente și perpendiculare. Ce fel de patrulater este $ABCD$?

   Arată rezolvarea

   Diagonalele congruente arată că este dreptunghi; diagonalele perpendiculare arată că este romb. Fiind și dreptunghi, și romb, $ABCD$ este pătrat.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 11: direcția implicației (dreptunghi vs. pătrat)

   Adevărat sau fals: „Orice dreptunghi este pătrat.” Justifică.

   Arată rezolvarea

   Fals. Un dreptunghi are toate unghiurile drepte, dar laturile alăturate pot avea lungimi diferite (de exemplu $6$ cm și $10$ cm). Devine pătrat doar dacă, în plus, laturile alăturate sunt congruente.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 12: recunoașterea rombului din laturi

   Un patrulater convex $ABCD$ are toate cele patru laturi congruente. Poți afirma că este romb?

   Arată rezolvarea

   Da. Definiția cere ca rombul să fie mai întâi paralelogram, așa că verifici asta întâi. Laturile opuse sunt congruente două câte două (toate sunt congruente între ele), iar un patrulater cu laturile opuse congruente este paralelogram (criteriul din lecția anterioară). Fiind paralelogram cu două laturi alăturate congruente, $ABCD$ este romb.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 13: demonstrație scurtă, diagonalele dreptunghiului

   Demonstrează că diagonalele unui dreptunghi $ABCD$ sunt congruente.

   Arată rezolvarea

   Date: $ABCD$ dreptunghi, deci paralelogram cu $\angle DAB = \angle ADC = 90°$ și $AB \equiv DC$ (laturi opuse). De demonstrat: $AC \equiv BD$.

   Comparăm triunghiurile $DAB$ și $ADC$: au latura comună $AD$, $AB \equiv DC$ și unghiul cuprins $\angle DAB \equiv \angle ADC$ (amândouă $90°$). Sunt congruente (cazul latură-unghi-latură, LUL).

   Din congruența triunghiurilor rezultă că laturile corespunzătoare $BD$ și $AC$ (diagonalele) sunt congruente. Concluzie: $AC \equiv BD$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 14: perimetrul rombului din diagonale

   Un romb are diagonalele $6$ cm și $8$ cm. Calculează perimetrul rombului.

   Arată rezolvarea

   Jumătățile diagonalelor, $3$ cm și $4$ cm, sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza egală cu latura rombului.

   $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

   $P = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

   Exemplul 15: bisectoarea unghiului în romb

   Într-un romb $ABCD$, diagonala $AC$ împarte unghiul din $A$ în două unghiuri egale. Dacă $m(\angle DAB) = 74°$, calculează $m(\angle DAC)$ și $m(\angle CAB)$.

   Arată rezolvarea

   Diagonala unui romb este bisectoarea unghiului din care pornește, deci împarte unghiul din $A$ în două părți egale.

   $$m(\angle DAC) = m(\angle CAB) = \dfrac{74°}{2} = 37°$$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 1: elementele unui trapez

    În trapezul $ABCD$ cu $AB \parallel DC$ și $AB = 9$ cm, $DC = 6$ cm, numește bazele și laturile trapezului.

    Arată rezolvarea

    Bazele sunt $AB$ (baza mare, $9$ cm) și $DC$ (baza mică, $6$ cm). Laturile trapezului (neparalele) sunt $BC$ și $AD$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 2: linia mijlocie, calcul direct

    Un trapez are bazele $12$ cm și $8$ cm. Calculează linia mijlocie.

    Arată rezolvarea

    $$MN = \dfrac{12 + 8}{2} = 10 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 3: linia mijlocie, invers

    Linia mijlocie a unui trapez este $9$ cm, iar o bază este $14$ cm. Calculează cealaltă bază.

    Arată rezolvarea

    $9 = \dfrac{14 + x}{2}$

    $18 = 14 + x$

    $x = 4 \text{ cm}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 4: algebră cu bazele

    Un trapez are bazele $4x$ și $2x$ (cm), iar linia mijlocie este $9$ cm. Calculează $x$ și lungimile bazelor.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{4x + 2x}{2} = 9$

    $6x = 18$

    $x = 3$

    $$\text{bazele: } 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm și } 2 \cdot 3 = 6 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 5: unghiurile trapezului isoscel

    Un trapez isoscel are un unghi de la baza mare de $72°$. Calculează toate cele patru unghiuri.

    Arată rezolvarea

    $\text{celălalt unghi de la baza mare} = 72°$unghiuri egale la aceeași bază

    $\text{fiecare unghi de la baza mică} = 180° - 72° = 108°$unghiuri alăturate aceleiași laturi neparalele, suplementare

    Verificare: $72° + 72° + 108° + 108° = 360°$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 6: diagonalele trapezului isoscel

    Un trapez isoscel are diagonala $AC = 12{,}6$ cm. Calculează diagonala $BD$.

    Arată rezolvarea

    Diagonalele trapezului isoscel sunt congruente.

    $$BD = AC = 12{,}6 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 7: trapezul dreptunghic

    Un trapez dreptunghic are un unghi ascuțit de $55°$. Calculează celelalte trei unghiuri.

    Arată rezolvarea

    $\text{cele două unghiuri drepte} = 90° \text{ și } 90°$latura perpendiculară pe baze

    $\text{ultimul unghi} = 180° - 55° = 125°$alăturat laturii oblice împreună cu unghiul de $55°$, deci suplementar cu el

    Verificare: $90° + 90° + 55° + 125° = 360°$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 8: latura trapezului isoscel din înălțime

    Un trapez isoscel are bazele $14$ cm și $8$ cm, iar înălțimea $3$ cm. Calculează lungimea laturii neparalele.

    Arată rezolvarea

    Ducem înălțimile din capetele bazei mici. Ele formează un dreptunghi și două triunghiuri dreptunghice congruente, deci cele două segmente rămase pe baza mare sunt egale. Diferența bazelor este $14 - 8 = 6$ cm, împărțită egal: fiecare latură „iese” cu $3$ cm față de baza mică.

    $l^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$

    $l = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ cm}$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 9: aceeași metodă, alte numere

    Un trapez isoscel are bazele $20$ cm și $12$ cm, iar înălțimea $8$ cm. Calculează latura neparalelă.

    Arată rezolvarea

    Diferența bazelor: $20 - 12 = 8$ cm, împărțită egal: $4$ cm pe fiecare parte.

    $l^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$

    $l = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 10: perimetrul trapezului isoscel

    Un trapez isoscel are bazele $18$ cm și $10$ cm, iar laturile neparalele $8{,}5$ cm fiecare. Calculează perimetrul.

    Arată rezolvarea

    $$P = 18 + 10 + 8{,}5 + 8{,}5 = 45 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

    Exemplul 11: recunoașterea trapezului isoscel din diagonale

    Un trapez $ABCD$ (cu $AB \parallel DC$) are diagonalele congruente, $AC \equiv BD$. Ce fel de trapez este?

    Arată rezolvarea

    Este trapez isoscel, pentru că diagonalele congruente sunt un criteriu suficient de recunoaștere a trapezului isoscel.

    Vezi lecția