Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 46 din 71

1. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 2: suma unghiurilor

   Un patrulater convex are trei unghiuri de $80°$, $95°$ și $110°$. Cât măsoară al patrulea unghi?

   Arată rezolvarea

   $80° + 95° + 110° = 285°$suma primelor trei unghiuri

   $m(\angle 4) = 360° - 285° = 75°$suma tuturor este $360°$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 3: laturi opuse congruente

   În paralelogramul $ABCD$, $AB = 9$ cm și $BC = 6{,}4$ cm. Calculează $CD$ și $AD$.

   Arată rezolvarea

   Laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente: $CD \equiv AB$ și $AD \equiv BC$.

   $$CD = 9 \text{ cm}, \qquad AD = 6{,}4 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 4: unghiuri opuse și alăturate

   În paralelogramul $ABCD$, $m(\angle A) = 72°$. Calculează $m(\angle B)$, $m(\angle C)$ și $m(\angle D)$.

   Arată rezolvarea

   $m(\angle C) = m(\angle A) = 72°$unghiuri opuse congruente

   $m(\angle B) = 180° - 72° = 108°$$\angle A$ și $\angle B$ sunt alăturate, deci suplementare

   $m(\angle D) = m(\angle B) = 108°$unghiuri opuse congruente

   Verificare: $72° + 108° + 72° + 108° = 360°$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 5: diagonalele se înjumătățesc

   În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$. Dacă $AC = 14$ cm, cât este $AO$? Dacă $OB = 5{,}2$ cm, cât este $BD$?

   Arată rezolvarea

   $O$ este mijlocul lui $AC$, deci $AO = \dfrac{AC}{2}$. $O$ este și mijlocul lui $BD$, deci $BD = 2 \cdot OB$.

   $$AO = \dfrac{14}{2} = 7 \text{ cm}$$

   $$BD = 2 \cdot 5{,}2 = 10{,}4 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 6: algebră cu diagonalele

   În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$, iar $OA = 3x + 2$ și $OC = 5x - 4$ (în centimetri). Calculează $x$ și lungimea diagonalei $AC$.

   Arată rezolvarea

   $O$ fiind mijlocul lui $AC$, avem $OA = OC$.

   $3x + 2 = 5x - 4$

   $2 + 4 = 5x - 3x$

   $6 = 2x$

   $x = 3$

   $$OA = 3 \cdot 3 + 2 = 11 \text{ cm}$$

   $$AC = 2 \cdot 11 = 22 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 7: recunoaștere, direcția implicației

   Un patrulater $ABCD$ are $AB \parallel CD$, dar nu se știe nimic despre $AD$ și $BC$. Este $ABCD$ neapărat paralelogram?

   Arată rezolvarea

   Nu. Definiția paralelogramului cere ca ambele perechi de laturi opuse să fie paralele. O singură pereche de laturi paralele nu este suficientă: patrulaterul poate fi un trapez, cu $AD$ și $BC$ neparalele.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 8: recunoaștere cu criteriu valid

   Patrulaterul $ABCD$ are $AB \parallel CD$ și $AB \equiv CD$. Este $ABCD$ paralelogram?

   Arată rezolvarea

   Da. O pereche de laturi opuse care sunt deopotrivă paralele și congruente este un criteriu suficient de recunoaștere a paralelogramului. Diagonala $BD$ formează cu $AB \parallel CD$ unghiuri alterne interne congruente, deci triunghiurile $ABD$ și $CDB$ sunt congruente (cazul latură-unghi-latură, LUL, cu latura comună $BD$). De aici rezultă $AD \equiv BC$ și, din unghiurile alterne interne egale ale celor două triunghiuri, $AD \parallel BC$: și cealaltă pereche de laturi este paralelă.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 9: algebră cu unghiuri alăturate

   În paralelogramul $ABCD$, $m(\angle A) = 2x + 10°$ și $m(\angle B) = 3x - 20°$. Calculează $x$ și măsurile celor patru unghiuri.

   Arată rezolvarea

   $\angle A$ și $\angle B$ sunt alăturate, deci suplementare.

   $(2x + 10°) + (3x - 20°) = 180°$

   $5x - 10° = 180°$

   $5x = 190°$

   $x = 38°$

   $$m(\angle A) = 2 \cdot 38° + 10° = 86°$$

   $$m(\angle B) = 3 \cdot 38° - 20° = 94°$$

   $$m(\angle C) = m(\angle A) = 86°$$

   $$m(\angle D) = m(\angle B) = 94°$$

   Verificare: $86° + 94° + 86° + 94° = 360°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Exemplul 10: perimetrul paralelogramului

   Într-un paralelogram, $AB = x + 3$ (cm) și $BC = 2x$ (cm), iar perimetrul este $36$ cm. Calculează $x$ și lungimile laturilor.

   Arată rezolvarea

   Perimetrul unui paralelogram cu laturile alăturate $AB$ și $BC$ este $2 \cdot (AB + BC)$.

   $2 \cdot \big[(x + 3) + 2x\big] = 36$

   $2 \cdot (3x + 3) = 36$

   $3x + 3 = 18$

   $3x = 15$

   $x = 5$

   $$AB = 5 + 3 = 8 \text{ cm}$$

   $$BC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}$$

   Verificare: $2 \cdot (8 + 10) = 36$ cm.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Exemplul 11: linia mijlocie, o singură mărime cunoscută

    Într-un triunghi, latura $BC = 17{,}8$ cm, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$. Calculează $MN$.

    Arată rezolvarea

    $$MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{17{,}8}{2} = 8{,}9 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Exemplul 12: linia mijlocie, invers

    Linia mijlocie a unui triunghi are $6{,}5$ cm. Cât măsoară latura cu care este paralelă?

    Arată rezolvarea

    $$BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 6{,}5 = 13 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Exemplul 13: perimetrul triunghiului median

    Un triunghi are laturile $10$ cm, $12$ cm și $14$ cm. Unind mijloacele laturilor lui se obține un nou triunghi (triunghiul median). Calculează perimetrul triunghiului median.

    Arată rezolvarea

    Fiecare latură a triunghiului median este o linie mijlocie a triunghiului inițial, deci are lungimea jumătate din latura corespunzătoare.

    $\dfrac{10}{2} + \dfrac{12}{2} + \dfrac{14}{2} = 5 + 6 + 7 = 18 \text{ cm}$

    La fel de simplu: perimetrul triunghiului median este jumătate din perimetrul triunghiului inițial, $\dfrac{10 + 12 + 14}{2} = 18$ cm.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Exemplul 14: centrul de greutate și raportul 2:1

    Mediana dusă dintr-un vârf al unui triunghi are lungimea $18$ cm. La ce distanță de vârf se află centrul de greutate?

    Arată rezolvarea

    Centrul de greutate împarte mediana în raportul $2:1$ dinspre vârf, deci distanța de la vârf la $G$ este $\dfrac{2}{3}$ din lungimea medianei.

    $$AG = \dfrac{2}{3} \cdot 18 = 12 \text{ cm}$$

    $$GM_a = 18 - 12 = 6 \text{ cm}$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Exemplul 15: sinteza, patrulaterul mijloacelor

    Fie $ABCD$ un patrulater oarecare (convex) și $M$, $N$, $P$, $Q$ mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$. Arată că $MNPQ$ este paralelogram.

    Arată rezolvarea

    Date: $M$, $Q$, $N$, $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $DA$, $BC$, $CD$. De demonstrat: $MNPQ$ este paralelogram.

    Trasăm diagonala $BD$. În triunghiul $ABD$, $M$ este mijlocul lui $AB$ și $Q$ este mijlocul lui $AD$, deci $MQ$ este linie mijlocie: $MQ \parallel BD$ și $MQ = \dfrac{BD}{2}$.

    În triunghiul $CBD$, $N$ este mijlocul lui $BC$ și $P$ este mijlocul lui $CD$, deci $NP$ este linie mijlocie: $NP \parallel BD$ și $NP = \dfrac{BD}{2}$.

    Din $MQ \parallel BD$ și $NP \parallel BD$ rezultă $MQ \parallel NP$. Din $MQ = \dfrac{BD}{2}$ și $NP = \dfrac{BD}{2}$ rezultă $MQ \equiv NP$.

    Concluzie: $MNPQ$ are o pereche de laturi opuse ($MQ$ și $NP$) deopotrivă paralele și congruente, deci $MNPQ$ este paralelogram (criteriul de recunoaștere din secțiunea anterioară).

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Exemplul 1: dintr-un unghi drept la toate

    Un paralelogram are un unghi de $90°$. Ce fel de paralelogram este și cât măsoară celelalte trei unghiuri?

    Arată rezolvarea

    Un paralelogram cu un unghi drept este, prin definiție, dreptunghi.

    $\text{unghiul opus} = 90°$unghiuri opuse congruente

    $\text{fiecare unghi alăturat} = 180° - 90° = 90°$unghiuri alăturate suplementare

    Toate cele patru unghiuri sunt de $90°$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Exemplul 2: diagonala dreptunghiului cu teorema lui Pitagora

    Un dreptunghi are laturile $6$ cm și $8$ cm. Calculează lungimea diagonalei.

    Arată rezolvarea

    Diagonala unui dreptunghi este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu cele două laturi alăturate.

    $d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

    $d = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Exemplul 3: o latură necunoscută, din diagonală

    Un dreptunghi are diagonala $13$ cm și o latură de $5$ cm. Calculează cealaltă latură.

    Arată rezolvarea

    $l^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

    $l = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Exemplul 4: recunoașterea dreptunghiului din diagonale

    Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele $AC = BD = 15$ cm. Ce fel de paralelogram este?

    Arată rezolvarea

    Diagonalele sunt congruente, deci $ABCD$ este dreptunghi (criteriul de recunoaștere).

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Exemplul 5: latura rombului din diagonale

    Un romb are diagonalele $16$ cm și $12$ cm. Calculează lungimea laturii.

    Arată rezolvarea

    Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci jumătățile lor, $8$ cm și $6$ cm, sunt catetele unui triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză este chiar latura rombului.

    $l^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

    $l = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Exemplul 6: o diagonală a rombului din latură și cealaltă diagonală

    Un romb are latura $13$ cm și o diagonală de $10$ cm. Calculează cealaltă diagonală.

    Arată rezolvarea

    Jumătatea diagonalei date este $5$ cm. Ea și jumătatea diagonalei căutate sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $13$ cm.

    $x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

    $x = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

    $\text{cealaltă diagonală} = 2 \cdot 12 = 24 \text{ cm}$

    Vezi lecția