Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 45 din 71

1. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 9: un punct de pe o axă

   Stabilește pe ce axă se află punctul $R(6, 0)$.

   Arată rezolvarea

   Ordonata lui $R$ este $0$, deci punctul se află pe axa $Ox$, la distanța $6$ de origine.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 10: distanța de la origine la un punct

   Calculează distanța de la origine $O(0,0)$ la punctul $T(3,4)$.

   Arată rezolvarea

   Catetele triunghiului sunt chiar coordonatele lui $T$, pentru că unul dintre puncte este originea.

   $OT^2 = (3-0)^2 + (4-0)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

   $OT = \sqrt{25} = 5$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 11: distanța dintre două puncte oarecare

   Calculează distanța dintre $A(1, 1)$ și $B(4, 5)$.

   Arată rezolvarea

   Cateta orizontală: $4 - 1 = 3$. Cateta verticală: $5 - 1 = 4$.

   $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

   $AB = \sqrt{25} = 5$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 12: o distanță cu rezultat irațional

   Calculează distanța dintre $A(0, 0)$ și $B(2, 3)$.

   Arată rezolvarea

   Catetele sunt $2 - 0 = 2$ și $3 - 0 = 3$.

   $AB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

   $AB = \sqrt{13}$

   $13$ nu este pătrat perfect, deci distanța rămâne $\sqrt{13}$, un număr irațional.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 13: distanța pe o linie orizontală

   Calculează distanța dintre $M(-2, 3)$ și $N(2, 3)$.

   Arată rezolvarea

   Cele două puncte au aceeași ordonată ($y = 3$), deci segmentul $MN$ este orizontal. Distanța este chiar diferența absciselor, în valoare absolută.

   $$MN = |2 - (-2)| = 4$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 14: distanța pe o linie verticală

   Calculează distanța dintre $P(3, -1)$ și $Q(3, 5)$.

   Arată rezolvarea

   Cele două puncte au aceeași abscisă ($x = 3$), deci segmentul $PQ$ este vertical. Distanța este diferența ordonatelor, în valoare absolută.

   $$PQ = |5 - (-1)| = 6$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

   Exemplul 15: perimetrul unui triunghi din coordonate

   Triunghiul $ABC$ are vârfurile $A(0,0)$, $B(4,0)$ și $C(0,3)$. Calculează perimetrul lui.

   Arată rezolvarea

   Am nevoie de toate cele trei laturi: $AB$, $AC$ și $BC$.

   $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y = 0$), deci $AB$ este orizontală: $AB = 4$.

   $A$ și $C$ au aceeași abscisă ($x = 0$), deci $AC$ este verticală: $AC = 3$.

   Pentru $BC$ construiesc triunghiul dreptunghic al distanței: catetele sunt $4 - 0 = 4$ și $3 - 0 = 3$.

   $BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

   $BC = \sqrt{25} = 5$

   Perimetrul este suma celor trei laturi.

   $$P_{ABC} = AB + AC + BC = 4 + 3 + 5 = 12$$

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

   Exemplul 1: construiește tabelul de frecvențe

   Numărul de cărți împrumutate într-o zi de $18$ elevi la biblioteca școlii a fost $1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 4$. Organizează datele într-un tabel de frecvențe.

   Arată rezolvarea

   Valorile distincte sunt $1, 2, 3, 4$. Numeri de câte ori apare fiecare.

   Numărul de cărți împrumutate de cei $18$ elevi

   Cărți împrumutate	Frecvență (elevi)
   $1$	$6$
   $2$	$7$
   $3$	$3$
   $4$	$2$

   $6 + 7 + 3 + 2 = 18$Suma frecvențelor se potrivește cu numărul de elevi.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

   Exemplul 2: diagramă sau grafic?

   Pentru fiecare set de date, stabilește dacă alegi o diagramă cu bare sau un grafic cu linii: (a) numărul de vizitatori ai unui muzeu în fiecare lună a anului; (b) numărul de elevi din fiecare clasă a unei școli.

   Arată rezolvarea

   (a) Lunile au o ordine naturală fixă (ianuarie, februarie, …), iar succesiunea lor contează: alegi un grafic cu linii.

   (b) Clasele (a V-a A, a V-a B, …) sunt categorii fără o ordine care să conteze pentru comparație: alegi o diagramă cu bare.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 3: verifică o dependență funcțională

    Un tabel arată: la $2$ kg de mere corespund $10$ lei, iar la $3$ kg corespund $15$ lei sau $16$ lei (apar amândouă valorile pentru $3$ kg, la clienți diferiți). Este aceasta o dependență funcțională a costului în funcție de kilograme?

    Arată rezolvarea

    Nu. Pentru aceeași valoare de intrare ($3$ kg) apar două valori de ieșire diferite ($15$ lei și $16$ lei). Dependența funcțională cere ca fiecărei valori de intrare să îi corespundă o singură valoare de ieșire.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 4: citește un grafic de dependență

    Folosind graficul costului închirierii bicicletei din lecție, află costul pentru $4$ ore și numărul de ore pentru care costul este $17$ lei.

    Arată rezolvarea

    Pentru $4$ ore, citesc pe verticală, în dreptul valorii $4$ de pe orizontală: costul este $17$ lei.

    Pentru costul $17$ lei, fac drumul invers: pe verticală caut $17$, apoi cobor la valoarea corespunzătoare de pe orizontală: $4$ ore. Cele două întrebări au același răspuns, citit din direcții opuse.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 5: scrie regula unei dependențe

    La același centru de închiriat biciclete, exprimă costul $C$ în funcție de numărul de ore $h$, folosind partea fixă de $5$ lei și $3$ lei pe oră.

    Arată rezolvarea

    $$C = 5 + 3 \cdot h$$

    Verific pe o valoare din tabel: la $h = 3$, $C = 5 + 3 \cdot 3 = 5 + 9 = 14$ lei, exact ca în tabel.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 6: completează un tabel de dependență

    Folosind regula $C = 5 + 3 \cdot h$, află costul pentru $6$ ore și pentru $8$ ore.

    Arată rezolvarea

    $C(6) = 5 + 3 \cdot 6 = 5 + 18 = 23$$6$ ore.

    $C(8) = 5 + 3 \cdot 8 = 5 + 24 = 29$$8$ ore.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 7: construiește poligonul frecvențelor

    Un tabel de frecvențe are valorile $2, 3, 4, 5$ cu frecvențele $3, 7, 6, 2$. Descrie punctele poligonului frecvențelor, incluzând capetele.

    Arată rezolvarea

    Punctele de deasupra valorilor din tabel sunt $(2,3)$, $(3,7)$, $(4,6)$, $(5,2)$. Adaug câte un punct de frecvență $0$ la o unitate înainte de $2$ și la o unitate după $5$.

    $$(1,0),\; (2,3),\; (3,7),\; (4,6),\; (5,2),\; (6,0)$$

    Unesc aceste $6$ puncte, în ordinea valorilor, prin segmente.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 8: citește valoarea cea mai frecventă dintr-un poligon

    Din poligonul frecvențelor din exemplul anterior, care este valoarea cu frecvența cea mai mare?

    Arată rezolvarea

    Vârful cel mai înalt este la valoarea $3$, cu frecvența $7$. Aceasta este valoarea cea mai frecventă.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 9: diferența dintre grafic și poligonul frecvențelor

    Explică de ce graficul dependenței cost-ore nu se construiește ca un poligon al frecvențelor.

    Arată rezolvarea

    Poligonul frecvențelor se construiește dintr-un tabel de frecvențe: înălțimea unui punct arată câte observații are o valoare, iar capetele la $0$ arată că în afara valorilor din tabel nu există observații. Graficul cost-ore nu este o distribuție de frecvențe: înălțimea unui punct este costul, nu o frecvență. Un capăt „la cost $0$” ar fi chiar fals, pentru că regula $C = 5 + 3h$ dă $5$ lei la $0$ ore, nu $0$ lei.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 10: alege reprezentarea potrivită pentru trei situații

    Stabilește reprezentarea potrivită pentru: (a) temperatura înregistrată din oră în oră; (b) notele obținute de o clasă la un test; (c) culorile preferate ale $25$ de elevi.

    Arată rezolvarea

    (a) Ora are o ordine care contează pentru evoluția temperaturii: grafic cu linii.

    (b) Notele formează un tabel de frecvențe pe care îl poți reprezenta prin poligonul frecvențelor, pentru a vedea nota cea mai frecventă și forma distribuției.

    (c) Culorile sunt categorii fără ordine: diagramă cu bare.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 11: verifică un poligon al frecvențelor propus greșit

    Un elev desenează poligonul frecvențelor pentru tabelul cu valorile $1, 2, 3$ și frecvențele $4, 6, 2$, dar unește direct punctele $(1,4)$, $(2,6)$, $(3,2)$, fără capete la $0$. Ce lipsește?

    Arată rezolvarea

    Lipsesc cele două puncte de frecvență $0$: unul înainte de $1$ (la valoarea $0$) și unul după $3$ (la valoarea $4$). Fără ele, desenul este doar un grafic cu linii al frecvențelor, nu poligonul frecvențelor complet.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Dependențe funcționale și date›Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

    Exemplul 12: dependența funcțională într-un tabel cu date lipsă

    Un tabel de dependență are perechile $(1, 4)$, $(2, 7)$, $(3, ?)$, $(4, 13)$, iar regula este $y = 3x + 1$. Completează valoarea lipsă și verifică celelalte perechi.

    Arată rezolvarea

    $y(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$Se potrivește.

    $y(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7$Se potrivește.

    $y(3) = 3 \cdot 3 + 1 = 10$Valoarea lipsă.

    $y(4) = 3 \cdot 4 + 1 = 13$Se potrivește.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Exemplul 1: convex sau neconvex?

    Dintre cele două patrulatere din figurile de mai sus (secțiunea „Patrulaterul convex”), care este convex și care nu? Justifică.

    Arată rezolvarea

    Primul patrulater este convex: ambele diagonale, $AC$ și $BD$, rămân în interiorul figurii.

    Al doilea, în formă de săgeată, este neconvex: unghiul din $C$ este reflex (mai mare de $180°$), iar diagonala $BD$ iese din figură.

    Vezi lecția