Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 44 din 71

1. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 4: reducere, coeficienți deja opuși

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

   Arată rezolvarea

   Coeficienții lui $y$ sunt $1$ și $-1$, deja opuși: aduni cele două ecuații.

   $(2x+y)+(x-y)=7+2$

   $3x=9$

   $x=3$

   $2\cdot3+y=7$

   $y=1$

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 5: reducere, coeficienți deja egali

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} 4x+3y=18 \\ 4x-y=2 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

   Arată rezolvarea

   Coeficienții lui $x$ sunt deja egali ($4$): scazi ecuațiile ca $x$ să dispară.

   $(4x+3y)-(4x-y)=18-2$

   $4y=16$

   $y=4$

   $4x-4=2$

   $x=\dfrac{3}{2}$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 6: reducere cu înmulțirea unei singure ecuații

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+2y=8 \\ 3x-y=3 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

   Arată rezolvarea

   Înmulțești a doua ecuație cu $2$, ca și coeficientul lui $y$ să devină opus celui din prima.

   $\begin{cases} x+2y=8 \\ 6x-2y=6 \end{cases}$

   $(x+2y)+(6x-2y)=8+6$

   $7x=14$

   $x=2$

   $2+2y=8$

   $y=3$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 7: reducere cu înmulțirea ambelor ecuații

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} 3x+2y=16 \\ 2x+5y=17 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

   Arată rezolvarea

   Înmulțești prima ecuație cu $2$ și a doua cu $3$, ca $x$ să aibă același coeficient.

   $\begin{cases} 6x+4y=32 \\ 6x+15y=51 \end{cases}$

   $(6x+15y)-(6x+4y)=51-32$

   $11y=19$

   $y=\dfrac{19}{11}$

   $3x+2\cdot\dfrac{19}{11}=16$

   $x=\dfrac{46}{11}$

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 8: coeficienți negativi

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x-3y=-1 \\ x+y=3 \end{cases}$.

   Arată rezolvarea

   Scoți $x$ din a doua ecuație și îl înlocuiești în prima.

   $x=3-y$

   $2(3-y)-3y=-1$

   $6-2y-3y=-1$

   $-5y=-7$

   $y=\dfrac{7}{5}$

   $x=3-\dfrac{7}{5}=\dfrac{8}{5}$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 9: sistem cu paranteze

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2(x+y)=10 \\ x-2y=1 \end{cases}$.

   Arată rezolvarea

   Desfaci mai întâi paranteza din prima ecuație.

   $2x+2y=10$

   $x=2y+1$din a doua ecuație

   $2(2y+1)+2y=10$

   $4y+2+2y=10$

   $6y=8$

   $y=\dfrac{4}{3}$

   $x=2\cdot\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{11}{3}$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 10: sistem cu infinit de multe soluții

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=10 \end{cases}$.

   Arată rezolvarea

   A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$: spun exact același lucru.

   $\begin{cases} 2x+2y=10 \\ 2x+2y=10 \end{cases}$

   $(2x+2y)-(2x+2y)=10-10$

   $0=0$

   Propoziție adevărată pentru orice $x,y$ care verifică $x+y=5$: sistemul are infinit de multe soluții.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 11: sistem fără soluție

   Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=8 \end{cases}$.

   Arată rezolvarea

   Înmulțești prima ecuație cu $2$ și compari cu a doua.

   $\begin{cases} 2x+2y=10 \\ 2x+2y=8 \end{cases}$

   $(2x+2y)-(2x+2y)=10-8$

   $0=2$

   Propoziție falsă pentru orice $x,y$: sistemul nu are nicio soluție.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

   Exemplul 12: problemă cu sumă și diferență

   Suma a două numere este 24, iar diferența lor este 6. Care sunt cele două numere?

   Arată rezolvarea

   Notezi numerele cu $x$ și $y$ și traduci enunțul în sistem.

   $\begin{cases} x+y=24 \\ x-y=6 \end{cases}$

   $(x+y)+(x-y)=24+6$

   $2x=30$

   $x=15$

   $y=24-15=9$

   Verific: $15+9=24$ și $15-9=6$, ambele adevărate. Numerele sunt $15$ și $9$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

    Exemplul 13: problemă cu prețuri

    Un caiet și un pix costă împreună 12 lei. Trei caiete și două pixuri costă împreună 31 lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

    Arată rezolvarea

    Notezi prețurile cu $x$ (caiet) și $y$ (pix) și traduci enunțul în sistem.

    $\begin{cases} x+y=12 \\ 3x+2y=31 \end{cases}$

    $y=12-x$

    $3x+2(12-x)=31$

    $x=7$

    $y=5$

    Verific: $7+5=12$ și $3\cdot7+2\cdot5=31$, ambele adevărate. Caietul costă $7$ lei, pixul $5$ lei.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

    Exemplul 14: problemă de vârste

    Vârsta unui tată și vârsta fiului său însumează 45 de ani. Tatăl are cu 25 de ani mai mult decât fiul. Ce vârstă are fiecare?

    Arată rezolvarea

    Notezi vârsta tatălui cu $x$ și a fiului cu $y$.

    $\begin{cases} x+y=45 \\ x-y=25 \end{cases}$

    $(x+y)+(x-y)=45+25$

    $2x=70$

    $x=35$

    $y=45-35=10$

    Verific: $35+10=45$ și $35-10=25$, ambele adevărate. Tatăl are $35$ de ani, fiul $10$ ani.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

    Exemplul 15: problemă de geometrie

    Un dreptunghi are perimetrul 36 cm, iar lungimea este cu 4 cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului.

    Arată rezolvarea

    Notezi lungimea cu $x$ și lățimea cu $y$; perimetrul este $2(x+y)$.

    $\begin{cases} 2(x+y)=36 \\ x-y=4 \end{cases}$

    $x+y=18$împarți prima ecuație la 2

    $(x+y)+(x-y)=18+4$

    $2x=22$

    $x=11$

    $y=18-11=7$

    Verific: $2(11+7)=36$ și $11-7=4$, ambele adevărate. Lungimea este $11$ cm, lățimea $7$ cm.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 1: scrie produsul cartezian A × B

    Determină $A \times B$, dacă $A = \{1, 2\}$ și $B = \{3, 4\}$.

    Arată rezolvarea

    Iau pe rând fiecare element din $A$ și îl asociez cu fiecare element din $B$, păstrând ordinea (primul loc din $A$, al doilea din $B$).

    $$A \times B = \{(1,3),\, (1,4),\, (2,3),\, (2,4)\}$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 2: A × B și B × A sunt diferite

    Pentru aceleași mulțimi $A = \{1, 2\}$ și $B = \{3, 4\}$, scrie $B \times A$ și compară cu $A \times B$.

    Arată rezolvarea

    De data asta primul loc vine din $B$, al doilea din $A$.

    $$B \times A = \{(3,1),\, (3,2),\, (4,1),\, (4,2)\}$$

    Perechile din $B \times A$ nu coincid cu cele din $A \times B$: $(1,3) \ne (3,1)$, deci $A \times B \ne B \times A$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 3: cardinalul unui produs cartezian

    Dacă $|A| = 3$ și $|B| = 5$, câte elemente are $A \times B$?

    Arată rezolvarea

    Folosesc formula cardinalului produsului cartezian.

    $$|A \times B| = |A| \cdot |B| = 3 \cdot 5 = 15$$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 4: produsul cartezian ca puncte în plan

    Scrie $A \times A$ pentru $A = \{0, 1\}$ și interpretează perechile ca puncte.

    Arată rezolvarea

    $A \times A$ înseamnă că iau elementele din $A$ atât pe primul loc, cât și pe al doilea.

    $$A \times A = \{(0,0),\, (0,1),\, (1,0),\, (1,1)\}$$

    Fiecare pereche devine un punct: $(0,0)$ este originea, $(0,1)$ e pe axa $Oy$, $(1,0)$ e pe axa $Ox$, iar $(1,1)$ este în cadranul I. Cele patru puncte formează colțurile unui pătrat cu latura $1$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 5: citește coordonatele unui punct

    Un punct $M$ se află la $4$ unități spre stânga față de origine și $3$ unități în sus. Scrie coordonatele lui.

    Arată rezolvarea

    Spre stânga înseamnă abscisă negativă, iar în sus înseamnă ordonată pozitivă.

    $$M(-4, 3)$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 6: contrastul A(2, 5) și B(5, 2)

    Explică de ce $A(2, 5)$ și $B(5, 2)$ sunt puncte diferite.

    Arată rezolvarea

    La $A(2, 5)$, abscisa este $2$ și ordonata este $5$: mă deplasez $2$ spre dreapta și $5$ în sus.

    La $B(5, 2)$, abscisa este $5$ și ordonata este $2$: mă deplasez $5$ spre dreapta și $2$ în sus. Ajung într-un alt loc din plan.

    Perechea ordonată $(2, 5)$ nu este aceeași cu $(5, 2)$, la fel cum într-un produs cartezian ordinea elementelor unei perechi contează.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 7: în ce cadran se află un punct

    În ce cadran se află punctul $P(-5, -1)$?

    Arată rezolvarea

    Abscisa este negativă ($-5 < 0$) și ordonata este negativă ($-1 < 0$).

    Ambele coordonate negative înseamnă cadranul III.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

    Exemplul 8: alt cadran

    În ce cadran se află punctul $Q(3, -7)$?

    Arată rezolvarea

    Abscisa este pozitivă ($3 > 0$), ordonata este negativă ($-7 < 0$): cadranul IV.

    Vezi lecția