Probleme rezolvate

Probleme de matematică rezolvate

Exemple rezolvate pas cu pas, organizate după clasă și capitol. Citește enunțul, încearcă să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea.

1415 probleme · pagina 43 din 71

Clasa a VII-a
Calcul cu numere realeEcuația x² = a în mulțimea numerelor reale
Exemplul 6: x² = 25, cu accent pe ±
Rezolvă ecuația $x^2=25$ Verifică de ce ambele soluții sunt valabile.
Arată rezolvarea
$x=\pm5$
$5^2=25$ prima soluție verificată
$(-5)^2=25$ a doua soluție, la fel de valabilă
$S=\{-5,5\}$ Scrierea $x=5$ singură este incompletă.
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Calcul cu numere realeEcuația x² = a în mulțimea numerelor reale
Exemplul 7: x² = 9/16, soluție fracționară
Rezolvă ecuația $x^2=\dfrac{9}{16}$
Arată rezolvarea
$x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\pm\dfrac{3}{4}$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Calcul cu numere realeEcuația x² = a în mulțimea numerelor reale
Exemplul 8: x² = 0,25, soluție zecimală
Rezolvă ecuația $x^2=0{,}25$
Arată rezolvarea
$x=\pm\sqrt{0{,}25}=\pm0{,}5$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Calcul cu numere realeEcuația x² = a în mulțimea numerelor reale
Exemplul 9: detectarea unei erori
Un elev a rezolvat $x^2=12$ și a scris răspunsul $x=\sqrt{12}$ Este complet? Verifică ambele soluții.
Arată rezolvarea
Nu, răspunsul e incomplet: lipsește soluția negativă.
$x=\pm\sqrt{12}$
$(\sqrt{12})^2=12$ verificare soluție pozitivă
$(-\sqrt{12})^2=12$ verificare soluție negativă
Ambele verifică ecuația, deci $S=\{-\sqrt{12},\sqrt{12}\}$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 1: forma de bază $ax+b=c$
Rezolvă ecuația $3x + 5 = 14$
Arată rezolvarea
Scazi 5 din ambii membri, apoi împarți la 3.
$3x + 5 = 14$
$3x = 9$
$x = 3$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 2: necunoscuta în ambii membri
Rezolvă ecuația $5x - 3 = 2x + 9$
Arată rezolvarea
Muți termenii cu $x$ în stânga și numerele în dreapta.
$5x - 3 = 2x + 9$
$5x - 2x = 9 + 3$
$3x = 12$
$x = 4$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 3: paranteză simplă
Rezolvă ecuația $2(x+3) = 10$
Arată rezolvarea
Desfaci paranteza prin distributivitate, apoi rezolvi ca de obicei.
$2(x+3) = 10$
$2x + 6 = 10$
$2x = 4$
$x = 2$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 4: paranteză precedată de minus
Rezolvă ecuația $7 - (x-4) = 2x$
Arată rezolvarea
Minusul din fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen din interior.
$7 - (x-4) = 2x$
$7 - x + 4 = 2x$
$11 - x = 2x$
$11 = 3x$
$x = \dfrac{11}{3}$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 5: paranteze în ambii membri, cu verificare
Rezolvă ecuația $3(x-1) - 2 = x + 5$ și verifică soluția.
Arată rezolvarea
Desfaci paranteza, apoi muți termenii cu $x$ într-un membru.
$3(x-1) - 2 = x + 5$
$3x - 3 - 2 = x + 5$
$3x - 5 = x + 5$
$2x = 10$
$x = 5$
Verific: $3(5-1)-2 = 12-2 = 10$ și $5+5=10$ egalitate adevărată.
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 6: coeficienți fracționari
Rezolvă ecuația $\dfrac{x}{2} + 1 = \dfrac{x}{3} + 2$
Arată rezolvarea
Elimini numitorii, înmulțind fiecare termen cu 6, multiplu comun al numitorilor 2 și 3.
$\dfrac{x}{2} + 1 = \dfrac{x}{3} + 2$
$3x + 6 = 2x + 12$
$x = 6$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 7: coeficienți zecimali
Rezolvă ecuația $0{,}5x + 1{,}2 = 2x - 1{,}3$
Arată rezolvarea
Muți termenii cu $x$ în dreapta și numerele în stânga.
$0{,}5x + 1{,}2 = 2x - 1{,}3$
$1{,}2 + 1{,}3 = 2x - 0{,}5x$
$2{,}5 = 1{,}5x$
$x = \dfrac{5}{3}$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 8: coeficient negativ mare
Rezolvă ecuația $2x - 5 = 5x + 4$
Arată rezolvarea
Muți termenii cu $x$ în stânga; coeficientul rezultat este negativ.
$2x - 5 = 5x + 4$
$2x - 5x = 4 + 5$
$-3x = 9$
$x = -3$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 9: identitate (ecuație cu infinit de multe soluții)
Rezolvă ecuația $2(x+3) = 2x + 6$ și stabilește dacă egalitatea este o identitate.
Arată rezolvarea
Pornești de la membrul stâng, desfaci paranteza și muți termenii cu $x$ într-un membru.
$2(x+3) = 2x + 6$
$2x + 6 = 2x + 6$
$0 = 0$
Membrul stâng $2(x+3)$ devine $2x+6$ adică exact membrul drept. Propoziția $0=0$ este adevărată pentru orice $x$ egalitatea este o identitate, iar ecuația are infinit de multe soluții.
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 10: ecuație fără soluție
Rezolvă ecuația $2(x+3) = 2x + 1$
Arată rezolvarea
Desfaci paranteza și muți termenii cu $x$ într-un membru.
$2(x+3) = 2x + 1$
$2x + 6 = 2x + 1$
$0 = -5$
Propoziție falsă pentru orice $x$ ecuația nu are nicio soluție.
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 11: problemă cu un singur necunoscut
Un număr mărit cu 7 este egal cu dublul lui. Care este numărul?
Arată rezolvarea
Notezi cu $x$ numărul căutat și traduci enunțul în ecuație.
$x + 7 = 2x$
$7 = 2x - x$
$x = 7$
Verific: $7+7=14$ și $2\cdot7=14$ egalitate adevărată. Numărul este $7$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 12: problemă cu numere consecutive
Suma a trei numere naturale consecutive este 39. Care sunt cele trei numere?
Arată rezolvarea
Notezi cel mai mic număr cu $x$ celelalte două sunt $x+1$ și $x+2$
$x + (x+1) + (x+2) = 39$
$3x + 3 = 39$
$3x = 36$
$x = 12$
Numerele sunt $12$ $13$ și $14$ verific: $12+13+14=39$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Ecuații de gradul IEcuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme
Exemplul 13: problemă de geometrie, cu verificare
Un teren dreptunghiular are lungimea cu 5 m mai mare decât lățimea, iar perimetrul este 50 m. Află dimensiunile terenului.
Arată rezolvarea
Notezi lățimea cu $x$ lungimea este $x+5$ Perimetrul dreptunghiului este de două ori suma laturilor alăturate.
$2\big(x + (x+5)\big) = 50$
$2(2x+5) = 50$
$4x + 10 = 50$
$4x = 40$
$x = 10$
Lățimea este $10$ m, lungimea $15$ m. Verific: $2(10+15)=50$ egalitate adevărată.
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Sisteme de ecuații liniareSisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii
Exemplul 1: verificarea unei soluții
Este perechea $(3,1)$ soluția sistemului $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$
Arată rezolvarea
Înlocuiești $x=3$ $y=1$ în ambele ecuații.
$2\cdot3+1=7$ adevărat
$3-1=2$ adevărat
Ambele egalități sunt adevărate, deci $(3,1)$ este soluția sistemului.
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Sisteme de ecuații liniareSisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii
Exemplul 2: substituție, formă de bază
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$ prin metoda substituției.
Arată rezolvarea
Scoți $y$ din prima ecuație și îl înlocuiești în a doua.
$y=7-2x$
$x-(7-2x)=2$
$3x=9$
$x=3$
$y=7-2\cdot3=1$
Vezi lecția
Clasa a VII-a
Sisteme de ecuații liniareSisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii
Exemplul 3: substituție, necunoscuta cu coeficient $-1$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 3x-y=5 \\ x+2y=11 \end{cases}$ prin metoda substituției.
Arată rezolvarea
Scoți $y$ din prima ecuație (coeficientul lui $y$ este $-1$
$y=3x-5$
$x+2(3x-5)=11$
$x+6x-10=11$
$7x=21$
$x=3$
$y=3\cdot3-5=4$
Vezi lecția

Probleme de matematică rezolvate

Exemplul 6: x² = 25, cu accent pe ±

Exemplul 7: x² = 9/16, soluție fracționară

Exemplul 8: x² = 0,25, soluție zecimală

Exemplul 9: detectarea unei erori

Exemplul 1: forma de bază ax+b=cax+b=cax+b=c

Exemplul 2: necunoscuta în ambii membri

Exemplul 3: paranteză simplă

Exemplul 4: paranteză precedată de minus

Exemplul 5: paranteze în ambii membri, cu verificare

Exemplul 6: coeficienți fracționari

Exemplul 7: coeficienți zecimali

Exemplul 8: coeficient negativ mare

Exemplul 9: identitate (ecuație cu infinit de multe soluții)

Exemplul 10: ecuație fără soluție

Exemplul 11: problemă cu un singur necunoscut

Exemplul 12: problemă cu numere consecutive

Exemplul 13: problemă de geometrie, cu verificare

Exemplul 1: verificarea unei soluții

Exemplul 2: substituție, formă de bază

Exemplul 3: substituție, necunoscuta cu coeficient −1-1−1

Exemplul 1: forma de bază $ax+b=c$

Exemplul 3: substituție, necunoscuta cu coeficient $-1$