Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 42 din 71

1. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

   Exemplul 6: simplificare după raționalizare, $\dfrac{8}{4\sqrt2}$

   Raționalizează $\dfrac{8}{4\sqrt2}$ și simplifică rezultatul, dacă se poate.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{8}{4\sqrt2}$amplifici direct cu $\sqrt2$

   $= \dfrac{8\sqrt2}{4\cdot2} = \dfrac{8\sqrt2}{8}$

   $= \sqrt2$$8$ și $8$ se simplifică

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

   Exemplul 7: numărător cu radical, $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}$

   Raționalizează $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}$.

   Arată rezolvarea

   Amplifici cu $\sqrt5$; la numărător apare produsul $\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}$.

   $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}$

   $= \dfrac{\sqrt3\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}$

   $= \dfrac{\sqrt{15}}{5}$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

   Exemplul 8: detectează raționalizarea greșită

   Un coleg scrie $\dfrac{4}{\sqrt2} = \dfrac{4}{2} = 2$. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. A schimbat doar numitorul, fără să înmulțească și numărătorul. A tratat greșit $\sqrt2$ ca și cum ar fi devenit $2$ singur, fără amplificare.

   $\dfrac{4}{\sqrt2}$amplifici corect cu $\sqrt2$

   $= \dfrac{4\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} = \dfrac{4\sqrt2}{2}$

   $= 2\sqrt2$rezultatul corect, nu $2$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

   Exemplul 9: alege radicalul corect de amplificare

   Cu ce trebuie amplificată $\dfrac{7}{3\sqrt6}$ ca să raționalizeze numitorul?

   Arată rezolvarea

   Amplifici cu $\sqrt6$, nu cu $3\sqrt6$ și nu cu $6$. Doar radicalul singur, înmulțit cu el însuși, dă un număr rațional.

   $$\dfrac{7}{3\sqrt6} = \dfrac{7\sqrt6}{3\sqrt6\cdot\sqrt6} = \dfrac{7\sqrt6}{18}$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

   Exemplul 10: provocare mixtă

   Raționalizează $\dfrac{10}{5\sqrt2}$ și scrie forma finală cea mai simplă.

   Arată rezolvarea

   Poți simplifica $10$ și $5$ cu $5$ înainte de amplificare, ceea ce scurtează calculul.

   $\dfrac{10}{5\sqrt2}$

   $= \dfrac{2}{\sqrt2}$simplificare cu $5$

   $= \dfrac{2\sqrt2}{2}$

   $= \sqrt2$simplificare cu $2$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

   Exemplul 1: media aritmetică obișnuită, recapitulare

   Calculează media aritmetică a numerelor $6$ și $10$.

   Arată rezolvarea

   $$m = \dfrac{6+10}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

   Exemplul 2: media ponderată a două valori

   Un elev are nota $8$ cu ponderea $1$ și nota $10$ cu ponderea $2$. Calculează media ponderată.

   Arată rezolvarea

   Nota $10$ contează de două ori mai mult, deci apare de două ori la numărător.

   $$\bar x = \dfrac{8\cdot1+10\cdot2}{1+2} = \dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$$

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

   Exemplul 3: media ponderată a trei valori

   Un vânzător a cumpărat mere la trei prețuri diferite: $3$ lei/kg pentru $2$ kg, $4$ lei/kg pentru $3$ kg și $6$ lei/kg pentru $5$ kg. Calculează prețul mediu ponderat pe kilogram.

   Arată rezolvarea

   Cantitatea cumpărată la fiecare preț este ponderea acelui preț.

   $\dfrac{3\cdot2+4\cdot3+6\cdot5}{2+3+5}$preț, ponderat cu cantitatea

   $= \dfrac{6+12+30}{10}$

   $= \dfrac{48}{10}$

   $= 4{,}8$lei pe kilogram

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

   Exemplul 4: media cu frecvențe

   Valoarea $5$ apare de $2$ ori, iar valoarea $7$ apare de $3$ ori. Calculează media lor.

   Arată rezolvarea

   Frecvențele joacă rolul ponderilor.

   $$\dfrac{5\cdot2+7\cdot3}{2+3} = \dfrac{31}{5} = 6{,}2$$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

    Exemplul 5: găsești o pondere necunoscută

    Valoarea $8$ are ponderea $2$, iar valoarea $10$ are ponderea $p$, necunoscută. Media lor ponderată este $9{,}2$. Află $p$.

    Arată rezolvarea

    Scrii ecuația mediei ponderate cu $p$ necunoscut și o rezolvi.

    $\dfrac{8\cdot2+10p}{2+p} = 9{,}2$ecuația mediei ponderate

    $16+10p = 9{,}2(2+p)$

    $16+10p = 18{,}4+9{,}2p$

    $0{,}8p = 2{,}4$

    $p = 3$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

    Exemplul 6: media geometrică a lui $4$ și $9$

    Calculează media geometrică a numerelor $4$ și $9$.

    Arată rezolvarea

    $$G = \sqrt{4\cdot9} = \sqrt{36} = 6$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

    Exemplul 7: media geometrică a lui $2$ și $8$

    Calculează media geometrică a numerelor $2$ și $8$.

    Arată rezolvarea

    $$G = \sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

    Exemplul 8: dreptunghi și pătrat de arie egală

    Un dreptunghi are laturile $4$ și $9$. Ce latură are un pătrat cu aceeași arie ca acest dreptunghi?

    Arată rezolvarea

    Aria dreptunghiului este $4\cdot9=36$. Latura pătratului cu aceeași arie este $\sqrt{36}$.

    $$\sqrt{36} = 6$$

    Această latură este exact media geometrică a numerelor $4$ și $9$, calculată mai devreme.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

    Exemplul 9: ce medie folosești

    a) Trei note cu ponderi diferite trebuie mediate. b) Cauți latura unui pătrat cu aceeași arie ca un dreptunghi de laturi $5$ și $20$. Ce medie folosești în fiecare caz?

    Arată rezolvarea

    a) Note cu ponderi diferite: media aritmetică ponderată.

    b) Latura pătratului de arie egală cu un dreptunghi: media geometrică a celor două laturi.

    $$\sqrt{5\cdot20} = \sqrt{100} = 10$$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

    Exemplul 10: provocare mixtă

    Pentru numerele $4$ și $9$, cu ponderile $1$ și $3$, calculează media aritmetică ponderată și media geometrică (fără ponderi). Compară rezultatele.

    Arată rezolvarea

    Media aritmetică ponderată:

    $$\bar x = \dfrac{4\cdot1+9\cdot3}{1+3} = \dfrac{31}{4} = 7{,}75$$

    Media geometrică (nu ia în calcul ponderi, doar cele două numere):

    $$G = \sqrt{4\cdot9} = 6$$

    Cele două medii măsoară lucruri diferite și dau rezultate diferite: $7{,}75$ față de $6$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 1: x² = 9

    Rezolvă ecuația $x^2=9$.

    Arată rezolvarea

    $$x=\pm\sqrt9=\pm3$$

    $S=\{-3,3\}$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 2: x² = 18, cu radicalul simplificat

    Rezolvă ecuația $x^2=18$ și simplifică radicalul rezultat.

    Arată rezolvarea

    $$x=\pm\sqrt{18}$$

    Scoți factorul de sub radical (Modulul 1): $18 = 9\cdot 2$, iar $9$ este pătrat perfect.

    $$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2$$

    $S=\{-3\sqrt2,\,3\sqrt2\}$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 3: x² = 2, soluție irațională

    Rezolvă ecuația $x^2=2$.

    Arată rezolvarea

    $2$ nu este pătrat perfect, deci soluțiile rămân sub formă de radical. $\sqrt2$ este un număr real irațional (Modulul 1), deci nu e nevoie de nicio aproximare.

    $$x=\pm\sqrt2$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 4: x² = 0

    Rezolvă ecuația $x^2=0$.

    Arată rezolvarea

    O singură soluție, pentru că $0$ nu are un opus diferit de el însuși.

    $$x=0, \quad S=\{0\}$$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

    Exemplul 5: x² = −4

    Rezolvă ecuația $x^2=-4$.

    Arată rezolvarea

    Pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci nu există nicio soluție reală.

    $$S=\varnothing$$

    Vezi lecția