Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 41 din 71

1. Clasa a VII-a

   Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

   Exemplul 5: compară $\sqrt{7}$ și $3$

   Care este mai mare, $\sqrt{7}$ sau $3$?

   Arată rezolvarea

   Scrii $3$ ca radical: $3 = \sqrt{9}$.

   $$7 < 9 \;\Rightarrow\; \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$$

   Deci $\sqrt{7} < 3$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

   Exemplul 6: compară $\sqrt{20}$ și $4{,}5$

   Care este mai mare, $\sqrt{20}$ sau $4{,}5$?

   Arată rezolvarea

   Amândouă sunt pozitive, deci ridici ambele la pătrat.

   $\left(\sqrt{20}\right)^2 = 20$

   $4{,}5^2 = 20{,}25$

   $20 < 20{,}25 \;\Rightarrow\; \sqrt{20} < 4{,}5$

   $\sqrt{20} \approx 4{,}47$, ceea ce confirmă răspunsul.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

   Exemplul 7: compară $-\sqrt{5}$ și $-2$

   Care este mai mare, $-\sqrt{5}$ sau $-2$?

   Arată rezolvarea

   Compari întâi părțile pozitive. $5 > 4$, deci $\sqrt{5} > 2$.

   Iei opusul fiecărei părți și întorci inegalitatea.

   $$\sqrt{5} > 2 \;\Rightarrow\; -\sqrt{5} < -2$$

   Pe axă: $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ este mai la stânga decât $-2$, deci mai mic.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

   Exemplul 8: ordonează patru numere

   Ordonează crescător: $-\sqrt{5}$, $-2$, $0$, $\dfrac{3}{2}$, $\sqrt{3}$.

   Arată rezolvarea

   • $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ este cel mai la stânga.
   • $-2$ vine după el.
   • $0$ este originea.
   • $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$.
   • $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ este mai mare decât $1{,}5$, pentru că $3 > 1{,}5^2 = 2{,}25$.

   $$-\sqrt{5} < -2 < 0 < \dfrac{3}{2} < \sqrt{3}$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

   Exemplul 9: pune numerele pe axă

   Așază aproximativ pe axă numerele $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ și $\sqrt{8}$.

   Arată rezolvarea

   Încadrezi fiecare radical între două numere întregi consecutive.

   • $1 < \sqrt{2} < 2$, aproape de mijloc: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
   • $2 < \sqrt{5} < 3$, puțin peste $2$: $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.
   • $2 < \sqrt{8} < 3$, aproape de $3$: $\sqrt{8} \approx 2{,}83$.

   $\sqrt{2}$$\sqrt{5}$$\sqrt{8}$$1$$2$$3$

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

   Exemplul 1: sumă de radicali asemenea

   Calculează $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.

   Arată rezolvarea

   Radicalii sunt asemenea, amândoi au sub radical numărul $3$. Scazi coeficienții.

   $$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

   Exemplul 2: radicali care nu se combină

   Simplifică, dacă se poate, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

   Arată rezolvarea

   $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ au sub radical numere diferite și niciunul nu se simplifică la celălalt. Nu sunt radicali asemenea.

   Expresia rămâne $\sqrt{2} + \sqrt{3}$. Nu devine $\sqrt{5}$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

   Exemplul 3: înmulțirea a doi radicali

   Calculează $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$.

   Arată rezolvarea

   Aplici regula produsului: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

   $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$$

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

   Exemplul 4: împărțirea a doi radicali

   Calculează $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$.

   Arată rezolvarea

   Aplici regula câtului: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.

   $$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$$

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

    Exemplul 5: ordinea operațiilor

    Calculează $2 + \sqrt{9}\cdot(5-3)$.

    Arată rezolvarea

    $2 + \sqrt{9}\cdot(5-3)$întâi paranteza

    $= 2 + \sqrt{9}\cdot 2$apoi radicalul

    $= 2 + 3\cdot 2$apoi înmulțirea

    $= 8$

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

    Exemplul 6: exponent 0

    Calculează $7^0$.

    Arată rezolvarea

    Baza $7$ este nenulă, deci $a^0=1$ se aplică direct.

    $$7^0 = 1$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

    Exemplul 7: exponent negativ

    Calculează $2^{-3}$.

    Arată rezolvarea

    $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3}$, iar $2^3=8$.

    $$2^{-3} = \dfrac{1}{8}$$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

    Exemplul 8: regula produsului puterilor

    Scrie $2^3\cdot 2^5$ ca o singură putere și calculeaz-o.

    Arată rezolvarea

    Bazele sunt egale, deci aduni exponenții: $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$.

    $$2^3\cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

    Exemplul 9: putere a unei puteri

    Scrie $(2^2)^3$ ca o singură putere și calculeaz-o.

    Arată rezolvarea

    Aplici $(a^m)^n = a^{mn}$: înmulțești exponenții.

    $$(2^2)^3 = 2^{2\cdot 3} = 2^6 = 64$$

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

    Exemplul 10: expresie mixtă cu radical și putere

    Calculează $2^2 + \sqrt{16}$.

    Arată rezolvarea

    Calculezi separat puterea și radicalul, apoi aduni.

    $$2^2 + \sqrt{16} = 4 + 4 = 8$$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

    Exemplul 1: $\dfrac{1}{\sqrt2}$

    Raționalizează $\dfrac{1}{\sqrt2}$.

    Arată rezolvarea

    Amplifici fracția cu $\sqrt2$.

    $$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

    Exemplul 2: $\dfrac{3}{\sqrt5}$

    Raționalizează $\dfrac{3}{\sqrt5}$.

    Arată rezolvarea

    Amplifici cu $\sqrt5$; numărătorul $3$ se înmulțește la fel.

    $$\dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{5}$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

    Exemplul 3: coeficient la numitor, $\dfrac{5}{2\sqrt3}$

    Raționalizează $\dfrac{5}{2\sqrt3}$.

    Arată rezolvarea

    Amplifici doar cu $\sqrt3$. Coeficientul $2$ rămâne la numitor.

    $$\dfrac{5}{2\sqrt3} = \dfrac{5\sqrt3}{2\sqrt3\cdot\sqrt3} = \dfrac{5\sqrt3}{6}$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

    Exemplul 4: $\dfrac{6}{3\sqrt2}$, simplifici înainte

    Raționalizează $\dfrac{6}{3\sqrt2}$.

    Arată rezolvarea

    Simplifici întâi $6$ și $3$ cu $3$, apoi raționalizezi.

    $\dfrac{6}{3\sqrt2}$

    $= \dfrac{2}{\sqrt2}$simplificare cu $3$

    $= \dfrac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2$raționalizare, apoi simplificare cu $2$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

    Exemplul 5: simplificare de la început, $\dfrac{4}{2\sqrt3}$

    Raționalizează $\dfrac{4}{2\sqrt3}$, simplificând mai întâi.

    Arată rezolvarea

    Simplifici $4$ și $2$ cu $2$, apoi amplifici cu $\sqrt3$.

    $\dfrac{4}{2\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3}$

    $= \dfrac{2\sqrt3}{3}$

    Vezi lecția