Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 40 din 71

1. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 3: $\sqrt{72}$

   Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{72}$.

   Arată rezolvarea

   Cel mai mare pătrat perfect care divide $72$ este $36$: $72 = 36\cdot 2$.

   $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2}$

   $= \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

   Dacă alegeai $72 = 4\cdot 18$, obțineai $2\sqrt{18}$, apoi $2\cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Același rezultat, mai mulți pași.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 4: $\sqrt{98}$

   Scrie $\sqrt{98}$ în formă simplă.

   Arată rezolvarea

   $98 = 49\cdot 2$, iar $49 = 7^2$.

   $$\sqrt{98} = \sqrt{49\cdot 2} = 7\sqrt{2}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 5: $2\sqrt{3}$ sub radical

   Introdu factorul sub radical: $2\sqrt{3}$.

   Arată rezolvarea

   $2$ este pozitiv, deci $2 = \sqrt{4}$. Ridic factorul la pătrat înainte de a-l introduce.

   $$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2\cdot 3} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{12}$$

   Verific mergând invers: $\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 6: $5\sqrt{2}$ sub radical

   Scrie $5\sqrt{2}$ ca un singur radical.

   Arată rezolvarea

   $$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2\cdot 2} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{50}$$

   Nu $\sqrt{10}$: factorul $5$ intră ridicat la pătrat, nu așa cum e.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 7: $-3\sqrt{2}$

   Scrie $-3\sqrt{2}$ folosind un singur radical.

   Arată rezolvarea

   $-3\sqrt{2}$ este negativ, iar un radical este nenegativ. Deci semnul minus trebuie să rămână în față.

   $$-3\sqrt{2} = -\sqrt{9\cdot 2} = -\sqrt{18}$$

   Scris $-3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ ar fi greșit: partea dreaptă este pozitivă, partea stângă negativă.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 8: $\sqrt{(-5)^2}$

   Calculează $\sqrt{(-5)^2}$.

   Arată rezolvarea

   Întâi calculezi ce este sub radical: $(-5)^2 = 25$. Apoi rădăcina.

   $$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$$

   Rezultatul este $5$, nu $-5$: rădăcina pătrată este mereu nenegativă. Și $\lvert -5\rvert = 5$, deci $\sqrt{(-5)^2} = \lvert -5\rvert$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Exemplul 9: care formă este cea simplă?

   Un elev scrie $\sqrt{200} = 2\sqrt{50}$. Este forma simplă? Dacă nu, corecteaz-o.

   Arată rezolvarea

   Transformarea este corectă ($200 = 4\cdot 50$), dar nu e terminată: sub radical a rămas $50 = 25\cdot 2$, care mai are un pătrat perfect.

   $\sqrt{200} = \sqrt{4\cdot 50} = 2\sqrt{50}$pas corect, dar nefinal

   $= 2\cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

   Direct: $200 = 100\cdot 2$, deci $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Forma simplă are sub radical cel mai mic număr posibil.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

   Exemplul 1: clasifică $5$

   Din ce mulțimi de numere face parte $5$? Care este cea mai mică?

   Arată rezolvarea

   $5$ este număr natural, deci $5 \in \mathbb{N}$. Fiind natural, este și întreg, și rațional ($5 = \frac{5}{1}$), și real.

   $$5 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

   Cea mai mică mulțime este $\mathbb{N}$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

   Exemplul 2: clasifică $-3$

   Care este cea mai mică mulțime de numere din care face parte $-3$?

   Arată rezolvarea

   $-3$ nu este natural, pentru că este negativ. Este întreg, deci $-3 \in \mathbb{Z}$.

   Este și rațional ($-3 = \frac{-3}{1}$) și real, dar cea mai mică mulțime potrivită este $\mathbb{Z}$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 3: clasifică $\dfrac{2}{3}$

    Ce fel de număr este $\dfrac{2}{3}$?

    Arată rezolvarea

    $\frac{2}{3}$ este o fracție cu numărător și numitor întregi și numitorul diferit de $0$, deci este rațional: $\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}$.

    Nu este întreg, pentru că $2$ nu se împarte exact la $3$. Zecimal, $\frac{2}{3} = 0{,}(6)$, periodic, ceea ce confirmă că este rațional. Cea mai mică mulțime este $\mathbb{Q}$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 4: clasifică $0{,}75$

    Este $0{,}75$ rațional sau irațional?

    Arată rezolvarea

    $0{,}75$ are zecimală finită, deci este rațional. Ca fracție, $0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

    $$0{,}75 = \dfrac{3}{4} \in \mathbb{Q}$$

    Nu este întreg, deci cea mai mică mulțime este $\mathbb{Q}$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 5: clasifică $0{,}(2)$

    Ce fel de număr este $0{,}(2) = 0{,}222\ldots$?

    Arată rezolvarea

    Zecimala este infinită, dar are perioadă: grupa $2$ se repetă. O zecimală infinită periodică este rațională.

    Se scrie ca fracție: $0{,}(2) = \dfrac{2}{9}$. Deci $0{,}(2) \in \mathbb{Q}$.

    Infinit nu înseamnă irațional

    $0{,}(2)$ are o infinitate de zecimale și totuși este rațional. Ce contează este perioada, nu numărul de zecimale.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 6: clasifică $\sqrt{4}$

    Este $\sqrt{4}$ un număr irațional?

    Arată rezolvarea

    $4$ este pătrat perfect: $4 = 2^2$. Deci $\sqrt{4} = 2$.

    $2$ este număr natural. $\sqrt{4}$ nu este irațional, deși are radical. Cea mai mică mulțime este $\mathbb{N}$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 7: clasifică $\sqrt{2}$

    Ce fel de număr este $\sqrt{2}$?

    Arată rezolvarea

    $2$ nu este pătrat perfect: $1^2 = 1$ și $2^2 = 4$, deci $\sqrt{2}$ este între $1$ și $2$ și nu este întreg.

    $\sqrt{2}$ nu se poate scrie ca fracție de numere întregi, deci este irațional. Zecimal, $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$, infinit și neperiodic.

    $$\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

    Cea mai mică mulțime din care face parte este $\mathbb{R}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 8: clasifică $\pi$

    Este $\pi$ un număr real? Este rațional?

    Arată rezolvarea

    $\pi$ este un număr real: are un loc pe axa numerelor, între $3$ și $4$, mai aproape de $3$.

    Nu este rațional. $\pi = 3{,}14159\ldots$ are zecimale infinite fără perioadă și nu se scrie ca fracție de întregi. Scrierile $\frac{22}{7}$ sau $3{,}14$ sunt doar aproximări.

    $$\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Exemplul 9: mai multe numere deodată

    Pentru fiecare număr, dă cea mai mică mulțime din care face parte: $-7$, $\sqrt{9}$, $\dfrac{5}{2}$, $\sqrt{10}$, $0$.

    Arată rezolvarea

    • $-7$: întreg negativ, deci $\mathbb{Z}$.
    • $\sqrt{9} = 3$: număr natural, deci $\mathbb{N}$.
    • $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ este o fracție neîntreagă, deci $\mathbb{Q}$.
    • $\sqrt{10}$: $10$ nu este pătrat perfect, deci irațional; cea mai mică mulțime este $\mathbb{R}$.
    • $0$: număr natural, deci $\mathbb{N}$.

    Toate cinci sunt numere reale. Patru sunt raționale, unul singur ($\sqrt{10}$) este irațional.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

    Exemplul 1: $\lvert -7\rvert$

    Cât este $\lvert -7\rvert$?

    Arată rezolvarea

    $-7$ este la $7$ unități de $0$ pe axă. Distanța este $7$.

    $$\lvert -7\rvert = -(-7) = 7$$

    Cu definiția: $-7 < 0$, deci $\lvert -7\rvert = -x = -(-7) = 7$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

    Exemplul 2: $\lvert 0\rvert$

    Cât este $\lvert 0\rvert$?

    Arată rezolvarea

    $0$ este chiar în origine. Distanța de la $0$ la $0$ este $0$.

    $$\lvert 0\rvert = 0$$

    $0$ este singurul număr cu modulul $0$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

    Exemplul 3: $\lvert -\sqrt{3}\rvert$

    Cât este $\lvert -\sqrt{3}\rvert$?

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{3}$ este un număr pozitiv, aproximativ $1{,}73$. Opusul lui, $-\sqrt{3}$, este negativ.

    Modulul unui număr negativ este numărul fără semn.

    $$\lvert -\sqrt{3}\rvert = \sqrt{3}$$

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

    Exemplul 4: $\sqrt{(-4)^2}$

    Cât este $\sqrt{(-4)^2}$? Explică de ce nu este $-4$.

    Arată rezolvarea

    Întâi ridici la pătrat sub radical: $(-4)^2 = 16$. Apoi iei rădăcina: $\sqrt{16} = 4$.

    $$\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \lvert -4\rvert$$

    Rezultatul unei rădăcini pătrate este mereu nenegativ, deci nu poate fi $-4$. Regula generală este $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$.

    Vezi lecția