Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 39 din 71

1. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 1: $\sqrt{\frac{4}{9}}$

   Calculează $\sqrt{\frac{4}{9}}$.

   Arată rezolvarea

   Numărătorul $4 = 2^2$ și numitorul $9 = 3^2$ sunt pătrate perfecte. Iau rădăcina fiecăruia.

   $$\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$$

   Verific: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$. Corect.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 2: $\sqrt{\frac{1}{100}}$

   Calculează $\sqrt{\frac{1}{100}}$.

   Arată rezolvarea

   $1 = 1^2$ și $100 = 10^2$.

   $$\sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{10}$$

   Se scrie și $0{,}1$, pentru că $\frac{1}{10} = 0{,}1$ și $0{,}1^2 = 0{,}01 = \frac{1}{100}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 3: $\sqrt{1{,}44}$

   Calculează $\sqrt{1{,}44}$.

   Arată rezolvarea

   Caut o zecimală scurtă cu pătratul $1{,}44$. Încerc $1{,}2$: $1{,}2^2 = 1{,}44$.

   $$\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 4: încadrează $\sqrt{10}$

   Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{10}$?

   Arată rezolvarea

   Caut pătratele perfecte din jurul lui $10$: $3^2 = 9$ și $4^2 = 16$.

   $$9 < 10 < 16 \;\Rightarrow\; 3 < \sqrt{10} < 4$$

   $10$ este lipit de $9$, deci $\sqrt{10}$ este puțin peste $3$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 5: încadrează $\sqrt{20}$

   Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{20}$?

   Arată rezolvarea

   $4^2 = 16$ și $5^2 = 25$, iar $16 < 20 < 25$.

   $$4 < \sqrt{20} < 5$$

   $4{,}5^2 = 20{,}25 > 20$, deci $\sqrt{20} < 4{,}5$ și rădăcina este mai aproape de $4$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 6: estimează $\sqrt{20}$ la zecimi

   Dă o valoare aproximativă pentru $\sqrt{20}$, cu o zecimală.

   Arată rezolvarea

   Știu deja că $\sqrt{20}$ este între $4$ și $5$. Încerc zecimale.

   $4{,}4^2 = 19{,}36$prea mic

   $4{,}5^2 = 20{,}25$puțin prea mare

   $20$ este aproape de $20{,}25$, deci $\sqrt{20} \approx 4{,}5$. Mai exact, $\sqrt{20} \approx 4{,}47$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 7: alege intervalul corect

   În care interval se află $\sqrt{30}$: între $4$ și $5$, între $5$ și $6$ sau între $6$ și $7$?

   Arată rezolvarea

   Calculez pătratele capetelor: $5^2 = 25$ și $6^2 = 36$. Cum $25 < 30 < 36$, rădăcina este între $5$ și $6$.

   $$5 < \sqrt{30} < 6$$

   $5{,}5^2 = 30{,}25$, foarte aproape de $30$, deci $\sqrt{30} \approx 5{,}5$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 8: compară $\sqrt{20}$ cu $4{,}5$

   Care este mai mare, $\sqrt{20}$ sau $4{,}5$?

   Arată rezolvarea

   Compar prin pătrate. Ridic ambele numere la pătrat: $\left(\sqrt{20}\right)^2 = 20$ și $4{,}5^2 = 20{,}25$.

   $$20 < 20{,}25 \;\Rightarrow\; \sqrt{20} < 4{,}5$$

   Comparația radicalilor merge după comparația numerelor de sub radical și a pătratelor, nu „din ochi”.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-a

   Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

   Exemplul 9: latura unei plăci pătrate

   O placă pătrată are aria $40 \text{ m}^2$. Între ce valori întregi, în metri, este latura ei? Dă și o estimare la zecimi.

   Arată rezolvarea

   Latura este $\sqrt{40}$. Caut pătratele perfecte din jur: $6^2 = 36$ și $7^2 = 49$.

   $$36 < 40 < 49 \;\Rightarrow\; 6 < \sqrt{40} < 7$$

   Latura este între $6$ și $7$ metri. $40$ este aproape de $36$, deci latura este în jur de $6{,}3$ m: $6{,}3^2 = 39{,}69$, aproape de $40$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 1: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}$

    Calculează $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}$.

    Arată rezolvarea

    Ambele numere de sub radical sunt nenegative, deci aplic regula produsului.

    $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{18} = \sqrt{2\cdot 18} = \sqrt{36} = 6$$

    Verific: $6^2 = 36 = 2\cdot 18$. Corect.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 2: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$, produsul nu este pătrat perfect

    Calculează $\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$.

    Arată rezolvarea

    Ambele numere de sub radical sunt nenegative, deci regula produsului se aplică și aici.

    $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{3\cdot 5} = \sqrt{15}$$

    $15$ nu este pătrat perfect ($9 < 15 < 16$), deci rezultatul rămâne $\sqrt{15}$. Regula nu dă mereu un număr natural: uneori doar scrie produsul sub un singur radical.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 3: $\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{4}$

    Calculează $\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{4}$.

    Arată rezolvarea

    Pot calcula fiecare radical separat sau pot folosi regula produsului. Aleg regula.

    $$\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{4} = \sqrt{0{,}25\cdot 4} = \sqrt{1} = 1$$

    Control: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ și $\sqrt{4} = 2$, iar $0{,}5\cdot 2 = 1$. Același rezultat.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 4: $\sqrt{\frac{1}{4}}\cdot\sqrt{16}$

    Calculează $\sqrt{\frac{1}{4}}\cdot\sqrt{16}$.

    Arată rezolvarea

    Numerele de sub radical sunt $\frac{1}{4} \ge 0$ și $16 \ge 0$.

    $\sqrt{\dfrac{1}{4}}\cdot\sqrt{16} = \sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 16}$

    $= \sqrt{4} = 2$$\dfrac{16}{4} = 4$

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 5: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

    Calculează $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$.

    Arată rezolvarea

    La numitor, sub radical este $2 > 0$, deci regula câtului se aplică.

    $$\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$$

    Verific: $5^2 = 25$ și $25\cdot 2 = 50$. Corect.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 6: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

    Calculează $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$$

    $27 : 3 = 9$, iar $9$ este pătrat perfect.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 7: $\dfrac{\sqrt{\frac{25}{9}}}{\sqrt{\frac{1}{9}}}$

    Calculează $\dfrac{\sqrt{\frac{25}{9}}}{\sqrt{\frac{1}{9}}}$.

    Arată rezolvarea

    Ambele numere de sub radical sunt pozitive. Aplic regula câtului, apoi împart fracțiile.

    $\dfrac{\sqrt{\frac{25}{9}}}{\sqrt{\frac{1}{9}}} = \sqrt{\dfrac{25}{9} : \dfrac{1}{9}}$

    $= \sqrt{\dfrac{25}{9}\cdot\dfrac{9}{1}}$împărțirea fracțiilor: înmulțesc cu inversul

    $= \sqrt{25} = 5$

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 8: este transformarea corectă?

    Un elev scrie $\sqrt{4}+\sqrt{9} = \sqrt{13}$. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Regula sub un singur radical este pentru produs, nu pentru sumă. Verific numeric.

    $$\sqrt{4}+\sqrt{9} = 2 + 3 = 5, \qquad \sqrt{13} \approx 3{,}61$$

    $5 \ne \sqrt{13}$, deci transformarea este greșită. Corect ar fi fost $\sqrt{4}\cdot\sqrt{9} = \sqrt{36} = 6$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

    Exemplul 9: aria unui dreptunghi

    Un dreptunghi are lungimea $\sqrt{12}$ și lățimea $\sqrt{3}$ (în cm). Cât este aria lui?

    Arată rezolvarea

    Aria unui dreptunghi este lungimea înmulțită cu lățimea. Ambele numere sunt pozitive.

    $$A = \sqrt{12}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$$

    Aria este $6 \text{ cm}^2$. Regula produsului transformă un calcul cu doi radicali într-unul cu un pătrat perfect.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

    Exemplul 1: $\sqrt{12}$

    Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{12}$.

    Arată rezolvarea

    Caut un pătrat perfect care divide $12$. $12 = 4\cdot 3$, iar $4 = 2^2$.

    $$\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

    Verific prin ridicare la pătrat: $\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4\cdot 3 = 12$. Corect.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

    Exemplul 2: $\sqrt{18}$

    Scrie $\sqrt{18}$ în formă simplă.

    Arată rezolvarea

    $18 = 9\cdot 2$, cu $9 = 3^2$ pătrat perfect. $2$ nu mai are niciun pătrat perfect.

    $$\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}$$

    Vezi lecția