Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 38 din 71

1. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Două proprietăți împreună

   În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle B = 30°$, $BC = 12\text{ cm}$, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Arată că $\triangle AMC$ este echilateral și află perimetrul lui.

   Arată rezolvarea

   $AC = 6\text{ cm}$ (opusă lui $30°$). $AM = CM = 6\text{ cm}$ (mediana ipotenuzei). Deci $AM = MC = CA$: echilateral, cu perimetrul $18\text{ cm}$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Problemă în trei pași

   În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle B = 30°$, $BC = 16\text{ cm}$, iar $AD \perp BC$, $D$ pe $BC$. Află $DC$ și $BD$.

   Arată rezolvarea

   1. $AC = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$ (opusă lui $\angle B = 30°$ în $\triangle ABC$).
   2. În $\triangle ADC$, dreptunghic în $D$: $\angle C = 60°$, deci $\angle DAC = 30°$. Cateta opusă lui este $DC = \frac{AC}{2} = 4\text{ cm}$.
   3. $BD = 16 - 4 = 12\text{ cm}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Mediana și un unghi

   În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle B = 35°$ și $M$ este mijlocul lui $BC$. Află $\angle AMC$.

   Arată rezolvarea

   $MA = MB$ (mediana ipotenuzei), deci $\triangle ABM$ este isoscel și $\angle BAM = \angle B = 35°$. $\angle AMC$ este unghi exterior lui $\triangle ABM$: $35° + 35° = 70°$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Afirmația greșită: cateta și cealaltă catetă

   Radu scrie: „În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, $AC = 3\text{ cm}$ și $AB = 6\text{ cm}$, deci $\angle B = 30°$.” Are dreptate?

   Arată rezolvarea

   Nu. $AC$ este jumătate din cateta $AB$, nu din ipotenuză. Reciproca cere $AC = \frac{BC}{2}$, iar $BC$ este mai lungă decât $AB$, deci $\frac{BC}{2} > 3\text{ cm}$. Unghiul $B$ este mai mic de $30°$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Afirmația greșită: fără unghi drept

   Ioana spune: „În $\triangle ABC$, $\angle B = 30°$, deci $AC = \frac{BC}{2}$.” Ce lipsește?

   Arată rezolvarea

   Lipsește unghiul drept. Proprietatea este doar pentru triunghiul dreptunghic, iar $BC$ trebuie să fie ipotenuza (unghiul drept în $A$). În figură $\angle A$ este obtuz și $AC \ne \frac{BC}{2}$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Direct sau reciproc?

   Pentru fiecare raționament, spune dacă folosești proprietatea directă sau reciproca: a) $\angle A = 90°$, $M$ mijlocul lui $BC$, deci $AM = \frac{BC}{2}$; b) $M$ mijlocul lui $BC$ și $AM = \frac{BC}{2}$, deci $\angle A = 90°$; c) $\angle A = 90°$, $AB = \frac{BC}{2}$, deci $\angle C = 30°$.

   Arată rezolvarea

   a) directă (mediana); b) reciprocă (mediana); c) reciprocă (unghiul de $30°$; $AB$ este opusă lui $\angle C$).

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Teorema lui Pitagora

   Exemplul 1: afli ipotenuza

   Un triunghi dreptunghic are catetele de $3\text{ cm}$ și $4\text{ cm}$. Calculează ipotenuza.

   Arată rezolvarea

   Notez catetele $a=4$ și $b=3$ și scriu teorema lui Pitagora.

   $$c^2 = a^2 + b^2$$

   $c^2 = 4^2 + 3^2$înlocuiesc valorile

   $c^2 = 16 + 9 = 25$

   $c = \sqrt{25} = 5$nu uit radicalul

   La ultimul pas, din $c^2=25$ afli $c$ căutând numărul care, înmulțit cu el însuși, dă $25$: $c=5$, pentru că $5^2=25$. Acest număr se notează $\sqrt{25}$ și se citește „radical din 25”. Aici folosim notația doar pentru pătrate perfecte ($25$, $100$, $169$…); radicalii se studiază pe larg în clasa a VII-a.

   Ipotenuza are $5\text{ cm}$. Recunoști aici tripletul pitagoreic $(3,4,5)$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Teorema lui Pitagora

   Exemplul 2: afli o catetă

   Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $13\text{ cm}$ și o catetă de $5\text{ cm}$. Calculează cealaltă catetă.

   Arată rezolvarea

   Aici este cunoscută ipotenuza, nu o catetă. Scriu teorema lui Pitagora și izolez catetă necunoscută.

   $$a^2 + b^2 = c^2 \;\Longrightarrow\; b^2 = c^2 - a^2$$

   Ideea importantă

   Când cauți o catetă, nu aduni pătratele, ci scazi: din pătratul ipotenuzei scazi pătratul catetei cunoscute.

   $b^2 = 13^2 - 5^2$înlocuiesc valorile

   $b^2 = 169 - 25 = 144$

   $b = \sqrt{144} = 12$

   Cealaltă catetă are $12\text{ cm}$. Recunoști tripletul pitagoreic $(5,12,13)$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Teorema lui Pitagora

   Exemplul 3: diagonala unui dreptunghi

   Un dreptunghi are lungimea de $8\text{ cm}$ și lățimea de $6\text{ cm}$. Calculează diagonala dreptunghiului.

   Arată rezolvarea

   Diagonala $AC$ împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente. Iau triunghiul $ACD$: unghiul din $D$ este drept, pentru că este un unghi al dreptunghiului, $AD=6\text{ cm}$ și $DC=8\text{ cm}$ sunt catete, iar $AC$ este ipotenuza.

   $AC^2 = AD^2 + DC^2$teorema lui Pitagora în triunghiul ACD

   $AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

   $AC = \sqrt{100} = 10$

   Diagonala dreptunghiului are $10\text{ cm}$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Teorema lui Pitagora

    Exemplul 4: reciproca, când triunghiul nu este dreptunghic

    Un triunghi are laturile de $7\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ și $11\text{ cm}$. Este triunghiul dreptunghic?

    Arată rezolvarea

    Cea mai lungă latură este $11\text{ cm}$; doar ea poate fi ipotenuza. Compar suma pătratelor celorlalte două laturi cu pătratul ei.

    $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$suma pătratelor laturilor mai mici

    $11^2 = 121$pătratul celei mai lungi laturi

    $113 \ne 121$

    Relația $a^2+b^2=c^2$ nu este adevărată, deci triunghiul nu este dreptunghic.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 1: calculează $\sqrt{36}$

    Cât este $\sqrt{36}$?

    Arată rezolvarea

    Caut numărul natural care ridicat la pătrat dă $36$. Știu că $6^2 = 36$.

    $$\sqrt{36} = 6$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 2: calculează $\sqrt{81}$

    Cât este $\sqrt{81}$?

    Arată rezolvarea

    Trec prin pătratele pe care le știu: $8^2 = 64$, prea mic; $9^2 = 81$, exact.

    $$\sqrt{81} = 9$$

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 3: verifică o rădăcină pătrată

    Este adevărat că $\sqrt{64} = 8$?

    Arată rezolvarea

    Ridic $8$ la pătrat și văd dacă obțin numărul de sub radical.

    $$8^2 = 64$$

    Am obținut $64$, adică numărul de sub radical, deci afirmația este adevărată: $\sqrt{64} = 8$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 4: găsește numărul din pătratul lui

    Găsește numărul natural $n$ pentru care $n^2 = 121$.

    Arată rezolvarea

    Îmi trebuie numărul a cărui pătrat este $121$, adică rădăcina pătrată a lui $121$.

    $$n = \sqrt{121} = 11$$

    Verific: $11^2 = 121$. Corect.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 5: latura unui pătrat din arie

    Un pătrat are aria $144$. Cât este latura lui?

    Arată rezolvarea

    Latura unui pătrat cu aria $A$ este $\sqrt{A}$, dacă $A$ este pătrat perfect. Aici $A = 144$.

    $$l = \sqrt{144} = 12$$

    Verific: $12^2 = 144$. Latura este $12$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 6: este $196$ pătrat perfect?

    Decide dacă $196$ este un număr pătrat perfect.

    Arată rezolvarea

    Caut un număr natural cu pătratul $196$. $13^2 = 169$, prea mic. $14^2 = 196$, exact.

    Deci $196 = 14^2$ este pătrat perfect și $\sqrt{196} = 14$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 7: compară două rădăcini pătrate

    Care este mai mare, $\sqrt{9}$ sau $\sqrt{25}$?

    Arată rezolvarea

    Calculez fiecare rădăcină: $\sqrt{9} = 3$ și $\sqrt{25} = 5$.

    $$\sqrt{9} = 3 < 5 = \sqrt{25}$$

    La radicali exacți compari rezultatele. Cum $9 < 25$, și $\sqrt{9} < \sqrt{25}$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 8: o problemă cu o suprafață pătrată

    O grădină în formă de pătrat are aria $400 \text{ m}^2$. De câți metri de gard este nevoie pentru tot conturul ei?

    Arată rezolvarea

    Întâi aflu latura. Aria este pătrat perfect: $400 = 20^2$.

    $$l = \sqrt{400} = 20 \text{ m}$$

    Conturul unui pătrat are patru laturi egale, deci perimetrul este $4 \cdot 20 = 80$. Este nevoie de $80 \text{ m}$ de gard.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 9: un radical care nu este natural

    Are $\sqrt{50}$ o valoare naturală?

    Arată rezolvarea

    Verific dacă $50$ este pătrat perfect. $7^2 = 49$ și $8^2 = 64$, iar $50$ este între ele.

    Nu există niciun număr natural cu pătratul $50$, deci $\sqrt{50}$ nu este un număr natural. $50$ nu este pătrat perfect.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-a

    Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

    Exemplul 10: o sumă de rădăcini exacte

    Calculează $\sqrt{0} + \sqrt{1} + \sqrt{100}$.

    Arată rezolvarea

    Calculez fiecare radical separat: $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{100} = 10$.

    $$\sqrt{0} + \sqrt{1} + \sqrt{100} = 0 + 1 + 10 = 11$$

    Vezi lecția