Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 37 din 71

1. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Un unghi de la bază dat

   În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB = AC$, $\angle B = 65°$. Află $\angle A$.

   Arată rezolvarea

   $\angle C = \angle B = 65°$ (unghiurile de la bază). Atunci $\angle A = 180° - 65° - 65° = 50°$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Reciproca: din unghiuri, laturi

   În $\triangle ABC$, $\angle B = \angle C = 50°$ și $AB = 7\text{ cm}$. Cât este $AC$?

   Arată rezolvarea

   Triunghiul are două unghiuri egale, deci este isoscel (reciproca). Laturile egale sunt opuse unghiurilor egale: $AC$ este opusă lui $\angle B$, $AB$ este opusă lui $\angle C$. Deci $AC = AB = 7\text{ cm}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Care laturi sunt egale?

   Un triunghi $ABC$ are $\angle A = 70°$, $\angle B = 40°$, $\angle C = 70°$. Este isoscel? Care laturi sunt egale și care este vârful principal?

   Arată rezolvarea

   $\angle A = \angle C$, deci triunghiul este isoscel (reciproca). Latura opusă lui $\angle A$ este $BC$, cea opusă lui $\angle C$ este $AB$. Deci $BA = BC$, iar vârful principal este $B$, cel cu unghiul diferit.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Bisectoarea din vârf

   În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$, $AD$ este bisectoarea unghiului $A$, cu $D$ pe $BC$, și $BC = 10\text{ cm}$. Află $BD$ și $\angle ADB$.

   Arată rezolvarea

   Bisectoarea din vârful principal este și mediană, deci $D$ este mijlocul lui $BC$: $BD = 10 : 2 = 5\text{ cm}$. Este și înălțime, deci $\angle ADB = 90°$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Mediana din vârf

   În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$, $\angle BAC = 80°$ și $D$ este mijlocul lui $BC$. Află $\angle BAD$ și $\angle ADB$.

   Arată rezolvarea

   Mediana din vârful principal este și bisectoare: $\angle BAD = 80° : 2 = 40°$. Este și înălțime: $\angle ADB = 90°$. Verificare în $\triangle ABD$: $\angle B = 180° - 40° - 90° = 50°$, iar din $\triangle ABC$, $\angle B = (180° - 80°) : 2 = 50°$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Înălțimea din vârf

   În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$, $AD \perp BC$, $D$ pe $BC$, și $BD = 4\text{ cm}$. Cât este $BC$?

   Arată rezolvarea

   Înălțimea din vârful principal este și mediană, deci $DC = BD = 4\text{ cm}$ și $BC = 8\text{ cm}$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Reciproca liniilor, cu calcul

   În $\triangle ABC$, $AD \perp BC$ și $D$ este mijlocul lui $BC$. $AB = 9\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$. Află perimetrul.

   Arată rezolvarea

   $AD$ este înălțime și mediană, deci triunghiul este isoscel cu $AC = AB = 9\text{ cm}$ (reciproca, criteriul CC). Perimetrul este $9 + 9 + 8 = 26\text{ cm}$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Triunghiul echilateral

   Un triunghi echilateral are perimetrul $18\text{ cm}$. Află latura și unghiurile.

   Arată rezolvarea

   Laturile sunt egale: $18 : 3 = 6\text{ cm}$. Unghiurile sunt egale, deci au câte $60°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   Isoscel cu un unghi de 60°

   În $\triangle ABC$, $AB = AC$ și $\angle A = 60°$. Arată că triunghiul este echilateral.

   Arată rezolvarea

   $\angle B = \angle C$ (unghiurile de la bază) și $\angle B + \angle C = 180° - 60° = 120°$, deci $\angle B = \angle C = 60°$. Toate unghiurile au $60°$, deci toate laturile sunt egale (reciproca pentru echilateral).

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

    Problemă în doi pași

    În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$, $\angle B = 35°$, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $A$. Află $\angle BAD$.

    Arată rezolvarea

    Pasul 1: $\angle C = \angle B = 35°$, deci $\angle A = 180° - 70° = 110°$. Pasul 2: bisectoarea îl împarte în două: $\angle BAD = 110° : 2 = 55°$.

    Altfel: bisectoarea din vârf este și înălțime, deci în $\triangle ABD$, $\angle BAD = 180° - 90° - 35° = 55°$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

    Afirmația falsă

    Ana spune: „În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$, bisectoarea din $B$ este și mediană.” Are dreptate?

    Arată rezolvarea

    Nu. Proprietatea este doar pentru vârful principal, $A$. Din $B$, bisectoarea $BE$ și mediana $BF$ ajung în puncte diferite ale lui $AC$ (figura). Ar coincide doar dacă și $BA = BC$, adică dacă triunghiul ar fi echilateral.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

    Găsește greșeala

    Un elev vrea să demonstreze că, dacă $AB = AC$ și $D$ este mijlocul lui $BC$, atunci $\angle ABC = \angle ACB$. Unde greșește?

    Arată rezolvarea

    Demonstrație greșită: citește-o și găsește greșeala

    Date

    • $AB = AC$
    • $D$ este mijlocul segmentului $BC$

    De demonstrat

    $\angle ABC = \angle ACB$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$. Avem:

    1. $AB = AC$ (dat)
    2. $\angle ABD = \angle ACD$ („triunghiul este isoscel”)
    3. $BD = CD$ ($D$ este mijlocul lui $BC$)

    Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$.

    Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow D$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABD = \angle ACD$.

    Concluzie

    Concluzia scrisă: $\angle ABD = \angle ACD$.

    Unde este greșeala

    Pasul 2 spune chiar ce trebuia demonstrat: $\angle ABD = \angle ACD$ este $\angle ABC = \angle ACB$ ($D$ este pe $BC$). Justificarea „triunghiul este isoscel” înseamnă „unghiurile de la bază sunt egale”, adică exact teorema. Corect: cu $D$ mijlocul lui $BC$ ai trei laturi, $AB = AC$, $BD = CD$ și $AD$ comună, deci criteriul LLL, fără niciun unghi.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Din ipotenuză, cateta

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle B = 30°$ și $BC = 10\text{ cm}$. Află $AC$.

    Arată rezolvarea

    $AC$ este cateta opusă unghiului de $30°$, deci $AC = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Din catetă, ipotenuza

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle B = 30°$ și $AC = 4\text{ cm}$. Află $BC$.

    Arată rezolvarea

    $AC$ este opusă lui $\angle B = 30°$, deci $AC = \frac{BC}{2}$ și $BC = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Care catetă este opusă?

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle C = 30°$ și $BC = 14\text{ cm}$. Care catetă este jumătate din ipotenuză? Cât are?

    Arată rezolvarea

    Unghiul de $30°$ este în $C$. Cateta opusă lui este cea care nu trece prin $C$: $AB$. Deci $AB = 14 : 2 = 7\text{ cm}$. Cateta $AC$ nu este jumătate din ipotenuză.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Reciproca: aflăm unghiurile

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $AC = 6\text{ cm}$ și $BC = 12\text{ cm}$. Află $\angle B$ și $\angle C$.

    Arată rezolvarea

    $AC = \frac{BC}{2}$ și triunghiul este dreptunghic, deci unghiul opus lui $AC$, adică $\angle B$, are $30°$ (reciproca). Atunci $\angle C = 90° - 30° = 60°$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Alege proprietatea

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $\angle C = 60°$ și $BC = 14\text{ cm}$. Ce latură poți afla doar cu proprietățile din lecție?

    Arată rezolvarea

    $\angle B = 90° - 60° = 30°$. Cateta opusă lui $\angle B$ este $AC$, deci $AC = 7\text{ cm}$. Cateta $AB$, opusă unghiului de $60°$, nu se află cu această proprietate (ai nevoie de teorema lui Pitagora).

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Mediana ipotenuzei

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 90°$, $M$ este mijlocul lui $BC$ și $BC = 10\text{ cm}$. Află $AM$, $BM$ și $CM$.

    Arată rezolvarea

    Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $AM = BM = CM = 5\text{ cm}$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Din mediană, ipotenuza

    În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, mediana $AM$ are $4\text{ cm}$. Cât are ipotenuza?

    Arată rezolvarea

    $AM = \frac{BC}{2}$, deci $BC = 8\text{ cm}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Reciproca medianei

    În $\triangle ABC$, $M$ este mijlocul lui $BC$ și $MA = MB = MC = 5\text{ cm}$. Ce fel de triunghi este $ABC$?

    Arată rezolvarea

    Mediana $AM$ este jumătate din latura $BC$ ($BC = 10\text{ cm}$), deci triunghiul este dreptunghic în $A$, vârful din care pleacă mediana (reciproca).

    Vezi lecția