Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 36 din 71

1. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

   CC pe triunghiuri care nu sunt dreptunghice

   Radu vede două perechi de laturi egale și scrie „CC”. Ce greșește?

   Arată rezolvarea

   Triunghiurile nu au unghi drept, deci nu au catete: CC nu se aplică. Cu două laturi ar trebui și unghiul cuprins egal (LUL), dar $\angle A \neq \angle D$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

   Elemente care nu sunt corespunzătoare

   Pe figură, $BC = DE$ și $AB = DF$. Ioana spune: „ipotenuză și catetă, deci IC”. Are dreptate?

   Arată rezolvarea

   Nu. $BC$ este ipotenuza lui $\triangle ABC$, dar $DE$ este o catetă a lui $\triangle DEF$ (trece prin $D$). La IC trebuie ipotenuză cu ipotenuză și catetă cu catetă.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

   Date insuficiente

   Două triunghiuri dreptunghice au doar ipotenuzele egale. Sunt congruente?

   Arată rezolvarea

   Nu neapărat. Pe lângă unghiul drept, fiecare criteriu cere două elemente. Figura arată două triunghiuri cu aceeași ipotenuză, dar cu catete diferite.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

   Deducerea unei catete

   $\angle A = \angle D = 90°$, $BC = EF = 10\text{ cm}$, $AB = DE = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$. Află $DF$.

   Arată rezolvarea

   Ipotenuza și o catetă: IC, deci $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$. $DF$ corespunde lui $AC$, deci $DF = 8\text{ cm}$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

   Orientări și litere diferite

   Al doilea triunghi, $MNP$, este dreptunghic în $M$, în oglindă și rotit. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?

   Arată rezolvarea

   $AB = MN$: catete (trec prin $A$, respectiv $M$). $\angle B = \angle N$: unghiuri ascuțite. Criteriul CU (Catetă – Unghi).

   $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, deci $C \leftrightarrow P$: $\triangle ABC \equiv \triangle MNP$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

   Un element ascuns: latura comună

   În figură, $AB \perp BC$, $DC \perp BC$ și $AB = CD$. Sunt congruente triunghiurile $ABC$ și $DCB$?

   Arată rezolvarea

   Ambele sunt dreptunghice: $\triangle ABC$ în $B$, $\triangle DCB$ în $C$. Catete: $AB$ și $BC$, respectiv $DC$ și $CB$.

   $AB = DC$ (marcate), iar $BC$ este latură comună, deci egală cu ea însăși. Două catete: CC, $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

   Latura comună: două unghiuri egale

   În figură, $AB = AD$ și $CB = CD$. Demonstrează că $\angle ABC = \angle ADC$.

   Arată rezolvarea

   $\angle ABC$ este în $\triangle ABC$, $\angle ADC$ în $\triangle ADC$. Cele două triunghiuri au latura $AC$ comună, deci avem trei laturi.

   Date

   • $AB = AD$
   • $CB = CD$

   De demonstrat

   $\angle ABC = \angle ADC$

   Demonstrație

   Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ADC$. Avem:

   1. $AB = AD$ (dat)
   2. $BC = DC$ (dat)
   3. $AC = AC$ (latură comună)

   Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$.

   Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow C$.

   Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABC = \angle ADC$.

   Concluzie

   Deci $\angle ABC = \angle ADC$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

   Bisectoarea: două segmente egale

   $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar $OA = OB$. Demonstrează că $PA = PB$.

   Arată rezolvarea

   $PA$ și $PB$ sunt în $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$. Bisectoarea dă unghiurile din $O$, iar $OP$ este latura comună. Unghiul din $O$ este cuprins între $OA$ și $OP$: LUL.

   Date

   • $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$
   • $OA = OB$

   De demonstrat

   $PA = PB$

   Demonstrație

   Considerăm triunghiurile $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$. Avem:

   1. $OA = OB$ (dat)
   2. $\angle AOP = \angle BOP$ ($OP$ este bisectoare)
   3. $OP = OP$ (latură comună)

   Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$.

   Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$, $A \leftrightarrow B$, $P \leftrightarrow P$.

   Elementele corespunzătoare sunt egale: $PA = PB$.

   Concluzie

   Deci $PA = PB$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

   Mijlocul unui segment

   $M$ este mijlocul lui $BC$, $AB = DC$ și $\angle ABC = \angle DCB$. Demonstrează că $MA = MD$.

   Arată rezolvarea

   $MA$ este în $\triangle ABM$, $MD$ în $\triangle DCM$. Mijlocul dă $BM = MC$. Unghiul dat $\angle ABC$ este același cu $\angle ABM$, pentru că $M$ este pe $BC$.

   Date

   • $M$ este mijlocul segmentului $BC$
   • $AB = DC$
   • $\angle ABC = \angle DCB$

   De demonstrat

   $MA = MD$

   Demonstrație

   Considerăm triunghiurile $\triangle ABM$ și $\triangle DCM$. Avem:

   1. $AB = DC$ (dat)
   2. $\angle ABM = \angle DCM$ (dat)
   3. $BM = CM$ ($M$ este mijlocul lui $BC$)

   Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABM \equiv \triangle DCM$.

   Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$, $M \leftrightarrow M$.

   Elementele corespunzătoare sunt egale: $MA = MD$.

   Concluzie

   Deci $MA = MD$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Unghiuri opuse la vârf: un punct este mijloc

    Segmentele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$, $OA = OB$ și $\angle OAC = \angle OBD$. Demonstrează că $O$ este mijlocul lui $CD$.

    Arată rezolvarea

    „$O$ este mijlocul lui $CD$” înseamnă $OC = OD$ ($O$ este deja pe $CD$). $OC$ este în $\triangle OAC$, $OD$ în $\triangle OBD$. Latura $OA$ este între unghiurile din $A$ și din $O$: ULU.

    Date

    • segmentele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$
    • $OA = OB$
    • $\angle OAC = \angle OBD$

    De demonstrat

    $O$ este mijlocul segmentului $CD$ (adică $OC = OD$)

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle OAC$ și $\triangle OBD$. Avem:

    1. $\angle OAC = \angle OBD$ (dat)
    2. $OA = OB$ (dat)
    3. $\angle AOC = \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf)

    Din aceste egalități, prin criteriul ULU (Unghi – Latură – Unghi), rezultă $\triangle OAC \equiv \triangle OBD$.

    Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$, $A \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow D$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $OC = OD$.

    Concluzie

    Deci $OC = OD$, adică $O$ este mijlocul segmentului $CD$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Două surse: mijloc și unghiuri opuse la vârf

    $O$ este mijlocul segmentelor $AB$ și $CD$. Demonstrează că $AC = BD$.

    Arată rezolvarea

    Enunțul nu dă niciun unghi, dar intersecția dă unghiurile opuse la vârf $\angle AOC$ și $\angle BOD$. Unghiul din $O$ este cuprins între $OA$ și $OC$.

    Date

    • $O$ este mijlocul segmentului $AB$
    • $O$ este mijlocul segmentului $CD$

    De demonstrat

    $AC = BD$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle OAC$ și $\triangle OBD$. Avem:

    1. $OA = OB$ ($O$ este mijlocul lui $AB$)
    2. $\angle AOC = \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf)
    3. $OC = OD$ ($O$ este mijlocul lui $CD$)

    Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle OAC \equiv \triangle OBD$.

    Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$, $A \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow D$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $AC = BD$.

    Concluzie

    Deci $AC = BD$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Corespondența hotărăște concluzia

    În patrulaterul $ABCD$, $AB = CD$ și $AD = CB$. Demonstrează că $\angle BAD = \angle DCB$.

    Arată rezolvarea

    Diagonala $BD$ împarte figura în $\triangle ABD$ și $\triangle CDB$, cu $BD$ comună. $AB = CD$ și $AD = CB$ dau $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow B$.

    Date

    • $AB = CD$
    • $AD = CB$

    De demonstrat

    $\angle BAD = \angle DCB$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle CDB$. Avem:

    1. $AB = CD$ (dat)
    2. $AD = CB$ (dat)
    3. $BD = DB$ (latură comună)

    Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$.

    Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow B$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle BAD = \angle DCB$.

    Concluzie

    Deci $\angle BAD = \angle DCB$.

    Unghiul din $A$ corespunde unghiului din $C$, de aceea $\angle BAD = \angle DCB$. Cu ordinea greșită $\triangle CBD$ ai fi pus $AB$ în dreptul lui $CB$, deși datele spun $AB = CD$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Triunghiuri dreptunghice: punctul de pe bisectoare

    $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, $MA \perp OA$ și $MB \perp OB$. Demonstrează că $MA = MB$.

    Arată rezolvarea

    $\triangle OAM$ și $\triangle OBM$ sunt dreptunghice în $A$ și $B$. $OM$ este ipotenuza comună, iar bisectoarea dă un unghi ascuțit: IU.

    Date

    • $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$
    • $MA \perp AO$
    • $MB \perp BO$

    De demonstrat

    $MA = MB$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle OAM$ și $\triangle OBM$. Avem:

    1. $\angle OAM = \angle OBM$ (unghiuri drepte)
    2. $OM = OM$ (latură comună)
    3. $\angle AOM = \angle BOM$ ($OM$ este bisectoare)

    Din aceste egalități, prin criteriul IU (Ipotenuză – Unghi), rezultă $\triangle OAM \equiv \triangle OBM$.

    Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$, $A \leftrightarrow B$, $M \leftrightarrow M$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $MA = MB$.

    Concluzie

    Deci $MA = MB$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    O semidreaptă este bisectoare

    $OA = OB$ și $PA = PB$, cu $P$ în interiorul unghiului $AOB$. Demonstrează că $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$.

    Arată rezolvarea

    Trebuie arătat $\angle AOP = \angle POB$. Unghiurile sunt în $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$, cu $OP$ comună: trei laturi.

    Date

    • $OA = OB$
    • $PA = PB$

    De demonstrat

    $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$ (adică $\angle AOP = \angle BOP$)

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$. Avem:

    1. $OA = OB$ (dat)
    2. $PA = PB$ (dat)
    3. $OP = OP$ (latură comună)

    Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$.

    Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$, $A \leftrightarrow B$, $P \leftrightarrow P$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle AOP = \angle BOP$.

    Concluzie

    Deci $\angle AOP = \angle BOP$, adică $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Două perechi posibile, doar una utilă

    $O$ este mijlocul lui $AB$ și al lui $CD$. Demonstrează că $AD = BC$.

    Arată rezolvarea

    Perechea $\triangle AOC$, $\triangle BOD$ este congruentă, dar conține $AC$ și $BD$, nu $AD$ și $BC$. Alegem $\triangle AOD$ și $\triangle BOC$ și unghiurile opuse la vârf $\angle AOD$, $\angle BOC$.

    Date

    • $O$ este mijlocul segmentului $AB$
    • $O$ este mijlocul segmentului $CD$

    De demonstrat

    $AD = BC$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle OAD$ și $\triangle OBC$. Avem:

    1. $OA = OB$ ($O$ este mijlocul lui $AB$)
    2. $\angle AOD = \angle BOC$ (unghiuri opuse la vârf)
    3. $OD = OC$ ($O$ este mijlocul lui $CD$)

    Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle OAD \equiv \triangle OBC$.

    Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$, $A \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow C$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $AD = BC$.

    Concluzie

    Deci $AD = BC$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Demonstrație în doi pași

    $AB = AD$, $CB = CD$ și $P$ este un punct pe $AC$. Demonstrează că $PB = PD$.

    Arată rezolvarea

    $PB$ și $PD$ sunt în $\triangle ABP$ și $\triangle ADP$. Avem $AB = AD$ și $AP$ comună, dar lipsește unghiul din $A$. Îl obținem întâi dintr-o altă congruență, apoi îl folosim ca rezultat anterior.

    Date

    • $AB = AD$
    • $CB = CD$
    • $P$ este pe segmentul $AC$

    De demonstrat

    $PB = PD$

    Demonstrație

    Pasul 1. Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ADC$. Avem:

    1. $AB = AD$ (dat)
    2. $BC = DC$ (dat)
    3. $AC = AC$ (latură comună)

    Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$.

    Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow C$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle BAC = \angle DAC$.

    Pasul 2. Considerăm triunghiurile $\triangle ABP$ și $\triangle ADP$. Avem:

    1. $AB = AD$ (dat)
    2. $\angle BAP = \angle DAP$ (din $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$)
    3. $AP = AP$ (latură comună)

    Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABP \equiv \triangle ADP$.

    Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow D$, $P \leftrightarrow P$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $PB = PD$.

    Concluzie

    Deci $PB = PD$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Corectează demonstrația circulară

    $AB = DC$ și $AC = DB$. Demonstrează că $\angle ABC = \angle DCB$ fără să folosești concluzia (vezi demonstrația greșită din secțiunea „Nu folosi concluzia ca premisă”).

    Arată rezolvarea

    Varianta greșită scria $\angle ABC = \angle DCB$ ca „dat”. Datele sunt de fapt două laturi, $AB = DC$ și $AC = DB$; a treia este $BC$, comună.

    Date

    • $AB = DC$
    • $AC = DB$

    De demonstrat

    $\angle ABC = \angle DCB$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle DCB$. Avem:

    1. $AB = DC$ (dat)
    2. $AC = DB$ (dat)
    3. $BC = CB$ (latură comună)

    Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$.

    Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow B$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABC = \angle DCB$.

    Concluzie

    Deci $\angle ABC = \angle DCB$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Metoda triunghiurilor congruente

    Găsește greșeala de corespondență

    $AB = CD$ și $AD = CB$. Un elev vrea să arate că $\angle ABD = \angle CDB$ și scrie demonstrația de mai jos. Ce greșește?

    Arată rezolvarea

    Demonstrație greșită: citește-o și găsește greșeala

    Date

    • $AB = CD$
    • $AD = CB$

    De demonstrat

    $\angle ABD = \angle CDB$

    Demonstrație

    Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle CBD$. Avem:

    1. $AB = CD$ (dat)
    2. $AD = CB$ (dat)
    3. $BD = BD$ (latură comună)

    Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle CBD$.

    Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow D$.

    Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABD = \angle CBD$.

    Concluzie

    Concluzia scrisă: $\angle ABD = \angle CBD$.

    Unde este greșeala

    $AB = CD$ pune $A \leftrightarrow C$ și $B \leftrightarrow D$; atunci $D \leftrightarrow B$. Congruența corectă este $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$, iar unghiul care corespunde lui $\angle ABD$ este $\angle CDB$, nu $\angle CBD$. Deci $\angle ABD = \angle CDB$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

    Baza și vârful principal

    În $\triangle MNP$, $MN = MP$. Care este baza, care este vârful principal și care sunt unghiurile de la bază?

    Arată rezolvarea

    Laturile egale, $MN$ și $MP$, se întâlnesc în $M$: acesta este vârful principal. Baza este latura opusă lui, $NP$. Unghiurile de la bază sunt $\angle N$ și $\angle P$, deci $\angle N = \angle P$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

    Unghiul din vârf dat

    În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB = AC$, $\angle A = 40°$. Află $\angle B$ și $\angle C$.

    Arată rezolvarea

    $\angle B = \angle C$ (unghiurile de la bază). Împreună au $180° - 40° = 140°$, deci fiecare are $140° : 2 = 70°$.

    Vezi lecția