Probleme de matematică rezolvate

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Notație corectă sau greșită?

Pentru triunghiurile din figură, Ioana scrie $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ Este corect?

Arată rezolvarea

Laturile cu o liniuță sunt $AB$ și $ED$ cele cu două $BC$ și $DF$ Capătul comun al lui $AB$ și $BC$ este $B$ iar al lui $ED$ și $DF$ este $D$ deci $B \leftrightarrow D$ nu $B \leftrightarrow E$

La fel, $A \leftrightarrow E$ și $C \leftrightarrow F$ Notația corectă este $\triangle ABC \equiv \triangle EDF$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

LUL, pas cu pas

În figură, ce date sunt marcate? Ce criteriu se aplică?

Arată rezolvarea

În cuvinte: două perechi de laturi egale, $AB = DE$ (o liniuță) și $AC = DF$ (două liniuțe), și o pereche de unghiuri egale, $\angle A = \angle D$

$\angle A$ are vârful în capătul comun al lui $AB$ și $AC$ deci este cuprins între ele; la fel $\angle D$ între $DE$ și $DF$ Criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

ULU, pas cu pas

În figură, al doilea triunghi este desenat în oglindă. Ce criteriu se aplică?

Arată rezolvarea

În cuvinte: o pereche de laturi egale, $BC = EF$ și două perechi de unghiuri egale, $\angle B = \angle E$ și $\angle C = \angle F$

$\angle B$ și $\angle C$ sunt în capetele laturii $BC$ deci sunt alăturate ei. Criteriul ULU (Unghi – Latură – Unghi): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ Desenul în oglindă nu schimbă nimic.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

LLL, pas cu pas

În figură sunt marcate doar laturi. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?

Arată rezolvarea

Toate cele trei perechi de laturi sunt egale: $AB = DE$ $BC = EF$ $CA = FD$ Criteriul LLL (Latură – Latură – Latură).

Corespondența: $B$ este între laturile cu una și două liniuțe, la fel $E$ deci $B \leftrightarrow E$ la fel $A \leftrightarrow D$ $C \leftrightarrow F$ $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Alege criteriul, fără figură

Pentru fiecare set de date, spune criteriul: a) $AB = DE$ $BC = EF$ $AC = DF$ b) $AB = DE$ $\angle A = \angle D$ $\angle B = \angle E$ c) $AB = DE$ $BC = EF$ $\angle B = \angle E$

Arată rezolvarea

a) Trei laturi: LLL (Latură – Latură – Latură).

b) Latura $AB$ și unghiurile din capetele ei, $\angle A$ și $\angle B$ ULU (Unghi – Latură – Unghi).

c) Laturile $AB$ și $BC$ și unghiul dintre ele, $\angle B$ LUL (Latură – Unghi – Latură).

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Criteriu aplicat greșit

Radu vede două laturi și un unghi marcate și spune: „LUL, deci triunghiurile sunt congruente.” Are dreptate?

Arată rezolvarea

Laturile marcate sunt $AB$ și $AC$ cu capătul comun $A$ Unghiul cuprins între ele ar fi $\angle A$ dar unghiul marcat este $\angle B$

Nu este LUL. Figura arată chiar că triunghiurile nu sunt congruente: unul are un unghi obtuz, celălalt nu.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Deducerea unei laturi

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ și $BC = 7\text{ cm}$ Află $EF$

Arată rezolvarea

$B \leftrightarrow E$ și $C \leftrightarrow F$ deci latura $BC$ corespunde lui $EF$ Laturile corespunzătoare sunt egale: $EF = 7\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Deducerea unui unghi

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ $\angle A = 48°$ și $\angle B = 70°$ Află $\angle D$ și $\angle F$

Arată rezolvarea

$A \leftrightarrow D$ deci $\angle D = \angle A = 48°$ $C \leftrightarrow F$ iar $\angle C = 180° - (48° + 70°) = 62°$ deci $\angle F = 62°$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Triunghi rotit, litere amestecate

În figură, al doilea triunghi este $MNP$ rotit. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?

Arată rezolvarea

Laturile egale: $AB$ cu $NP$ (o liniuță), $AC$ cu $NM$ (două liniuțe). Unghiurile egale: $\angle A$ cu $\angle N$ dintre laturile marcate. Criteriul LUL.

$A \leftrightarrow N$ $B$ este celălalt capăt al laturii cu o liniuță, deci $B \leftrightarrow P$ iar $C \leftrightarrow M$ $\triangle ABC \equiv \triangle NPM$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Triunghi în oglindă

Al doilea triunghi, $XYZ$ este desenat în oglindă și rotit. Ce criteriu se aplică?

Arată rezolvarea

$AC = XZ$ (o liniuță), $\angle A = \angle X$ (un arc), $\angle C = \angle Z$ (două arce). Unghiurile sunt în capetele laturii $AC$ ULU (Unghi – Latură – Unghi).

$A \leftrightarrow X$ $C \leftrightarrow Z$ deci $B \leftrightarrow Y$ $\triangle ABC \equiv \triangle XYZ$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Latura nu este între unghiuri

Se dau $AB = DE$ $\angle A = \angle D$ și $\angle C = \angle F$ Se poate aplica direct ULU?

Arată rezolvarea

Nu direct: unghiurile din capetele lui $AB$ sunt $\angle A$ și $\angle B$ nu $\angle C$

Dar $\angle B = 180° - \angle A - \angle C$ și $\angle E = 180° - \angle D - \angle F$ deci $\angle B = \angle E$ Acum ai $AB$ $\angle A$ $\angle B$ ULU.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCriteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Aceeași formă, altă mărime

Două triunghiuri au toate unghiurile corespunzătoare egale. Sunt congruente?

Arată rezolvarea

Nu neapărat. Unghiurile egale dau aceeași formă, dar un triunghi poate fi mai mic. Niciun criteriu nu folosește doar unghiuri: fiecare cere cel puțin o latură.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

Catetele și ipotenuza

În figură, triunghiul este dreptunghic în $A$ Care sunt catetele și care este ipotenuza?

Arată rezolvarea

Careul este în $A$ deci catetele sunt laturile din $A$ $AB$ și $AC$ Ipotenuza este latura din fața lui $A$ $BC$ chiar dacă este desenată orizontal, jos.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

CC, pas cu pas

Ce este marcat egal în figură și ce criteriu se aplică?

Arată rezolvarea

Ambele triunghiuri sunt dreptunghice, în $A$ și în $D$ Marcate: $AB = DE$ și $AC = DF$ Ambele sunt laturi ale unghiului drept, deci catete.

În cuvinte: două catete. Criteriul CC (Catetă – Catetă): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

IC, pas cu pas

Al doilea triunghi este întors. Ce criteriu se aplică?

Arată rezolvarea

Unghiurile drepte: $A$ și $D$ $BC$ nu trece prin $A$ deci este ipotenuză; la fel $EF$ $AB$ și $DE$ trec prin vârful unghiului drept, deci sunt catete.

În cuvinte: ipotenuza și o catetă. Criteriul IC (Ipotenuză – Catetă): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

CU cu unghiul alăturat catetei

Ce date sunt marcate? Ce criteriu se aplică?

Arată rezolvarea

$AC = DF$ sunt catete. $\angle C = \angle F$ sunt unghiuri ascuțite, în capătul catetelor marcate.

În cuvinte: o catetă și un unghi ascuțit corespunzător. Criteriul CU (Catetă – Unghi).

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

CU cu unghiul opus catetei

Aici unghiul marcat nu este lângă cateta marcată. Se aplică tot CU?

Arată rezolvarea

Da. $AB = DE$ sunt catete, iar $\angle C = \angle F$ sunt unghiuri ascuțite, fiecare în fața catetei marcate. În ambele triunghiuri unghiul este la fel așezat, deci elementele sunt corespunzătoare.

Criteriul CU (Catetă – Unghi): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

IU și unghiurile ascuțite

$\angle A = \angle D = 90°$ $BC = EF$ și $\angle B = \angle E = 55°$ Ce criteriu se aplică? Cât este $\angle F$

Arată rezolvarea

Ipotenuzele și un unghi ascuțit: criteriul IU (Ipotenuză – Unghi), $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

$C \leftrightarrow F$ iar $\angle C = 90° - 55° = 35°$ deci $\angle F = 35°$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

Alege criteriul, fără figură

$\triangle ABC$ și $\triangle DEF$ sunt dreptunghice în $A$ și $D$ Spune criteriul: a) $AB = DE$ $AC = DF$ b) $BC = EF$ $AC = DF$ c) $AB = DE$ $\angle B = \angle E$ d) $BC = EF$ $\angle C = \angle F$

Arată rezolvarea

Ipotenuzele sunt $BC$ și $EF$ catetele sunt $AB$ $AC$ și $DE$ $DF$

a) două catete: CC. b) ipotenuza și o catetă: IC. c) o catetă și un unghi ascuțit: CU. d) ipotenuza și un unghi ascuțit: IU.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

Congruența triunghiurilorCongruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

Ipotenuza desenată orizontal

Maria spune că pe figură sunt marcate „două catete”, pentru că $BC$ este desenată orizontal, jos, ca o bază, și nu poate fi ipotenuză. Are dreptate?

Arată rezolvarea

Nu. Careurile sunt în $A$ și $D$ deci ipotenuzele sunt $BC$ și $EF$ laturile din fața unghiurilor drepte. Marcate sunt ipotenuzele și catetele $AC$ $DF$

Criteriul este IC (Ipotenuză – Catetă), nu CC.

Vezi lecția