Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 34 din 71

1. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Construcția mediatoarei unei laturi

   Explică de ce dreapta $XY$ din figură este mediatoarea lui $BC$.

   Arată rezolvarea

   Arcele din $B$ și din $C$ au aceeași rază, deci $XB = XC$ și $YB = YC$. Punctele egal depărtate de $B$ și $C$ sunt pe mediatoarea lui $BC$. Două puncte determină o dreaptă, deci $XY$ este chiar mediatoarea.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Un punct de pe mediatoare

   $P$ este pe mediatoarea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$, iar $PA = 5\text{ cm}$. Cât este $PB$?

   Arată rezolvarea

   Orice punct de pe mediatoarea lui $AB$ este egal depărtat de $A$ și de $B$: $PB = PA = 5\text{ cm}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Raza cercului circumscris

   $O$ este circumcentrul triunghiului $ABC$ și $OA = 3{,}2\text{ cm}$. Află $OB$, $OC$ și raza cercului circumscris.

   Arată rezolvarea

   $O$ este egal depărtat de vârfuri: $OB = OC = OA = 3{,}2\text{ cm}$. Aceasta este și raza cercului circumscris.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Care punct este centrul cercului înscris?

   Într-un triunghi s-au construit punctul $I$ (bisectoare) și punctul $O$ (mediatoare). Care dintre ele este centrul cercului care atinge toate laturile? Dar al cercului care trece prin vârfuri?

   Arată rezolvarea

   Cercul care atinge laturile este cercul înscris, cu centrul $I$, egal depărtat de laturi. Cercul care trece prin vârfuri este cercul circumscris, cu centrul $O$, egal depărtat de vârfuri.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Găsește greșeala din desen

   Mihai spune că cercul din figură este cercul înscris în $\triangle ABC$, pentru că are centrul în incentrul $I$. Are dreptate?

   Arată rezolvarea

   Nu. Centrul este bun, dar raza este prea mică: cercul nu atinge nicio latură. Raza cercului înscris este distanța de la $I$ la o latură, măsurată pe perpendiculară.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Bisectoarea și mediatoarea aceleiași laturi

   În $\triangle ABC$ oarecare, $AD$ este bisectoarea unghiului $A$, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Coincid $D$ și $M$?

   Arată rezolvarea

   Nu, în general. $M$ împarte latura în două segmente egale, $D$ împarte unghiul în două unghiuri egale. Pe figură, $D$ și $M$ sunt puncte diferite, iar mediatoarea lui $BC$ nu trece prin $A$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Recunoașterea înălțimii

   În figură, ce este segmentul $AD$ și cum se numește punctul $D$?

   Arată rezolvarea

   Careul din $D$ arată $AD \perp BC$. $AD$ este înălțimea din $A$, iar $D$ este piciorul înălțimii.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Unghiurile din piciorul înălțimii

   $AD$ este înălțimea triunghiului $ABC$, cu $D$ pe $BC$. Cât au $\angle ADB$ și $\angle ADC$?

   Arată rezolvarea

   Înălțimea este perpendiculară pe $BC$, deci $\angle ADB = \angle ADC = 90°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Un unghi din triunghiul format de înălțime

   În $\triangle ABC$, $\angle B = 62°$, iar $AD$ este înălțimea din $A$. Află $\angle BAD$.

   Arată rezolvarea

   În $\triangle ABD$, $\angle ADB = 90°$. Deci $\angle BAD = 180° - (90° + 62°) = 28°$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Înălțimea pe prelungire

    Triunghiul $ABC$ are unghiul $A$ obtuz. Unde cade piciorul înălțimii din $B$?

    Arată rezolvarea

    Unghiul din $A$ este obtuz, deci perpendiculara din $B$ pe dreapta $CA$ cade dincolo de $A$, pe prelungirea laturii $CA$. Piciorul $E$ nu este pe latura $CA$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Ortocentrul unui triunghi dreptunghic

    $\triangle ABC$ este dreptunghic în $A$. Unde este ortocentrul?

    Arată rezolvarea

    $BA \perp CA$, deci $BA$ este înălțimea din $B$, iar $CA$ înălțimea din $C$. Ele se întâlnesc în $A$, deci ortocentrul este $A$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic

    În figură, triunghiul este obtuzunghic în $A$. Unde este $H$ și de ce apar linii punctate?

    Arată rezolvarea

    Picioarele $E$ și $F$ sunt pe prelungirile laturilor, iar înălțimile, prelungite, se întâlnesc deasupra lui $A$. $H$ este în afara triunghiului. Liniile punctate sunt prelungirile laturilor și ale înălțimilor.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Mediana și mijlocul laturii

    $AM$ este mediana din $A$ a triunghiului $ABC$, iar $BC = 7\text{ cm}$. Află $BM$.

    Arată rezolvarea

    $M$ este mijlocul lui $BC$: $BM = MC = 7 : 2 = 3{,}5\text{ cm}$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Latura, din jumătatea ei

    $BN$ este mediana din $B$ a triunghiului $ABC$, iar $AN = 4{,}2\text{ cm}$. Află $AC$.

    Arată rezolvarea

    $N$ este mijlocul lui $AC$, deci $AC = 2 \cdot AN = 8{,}4\text{ cm}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Centrul de greutate

    În figură, $AM$, $BN$ și $CP$ sunt medianele. Cum se numește $G$? Trece mediana $CP$ prin $G$?

    Arată rezolvarea

    $G$ este punctul comun al medianelor, centrul de greutate. Medianele sunt concurente, deci și $CP$ trece prin $G$: ajung două mediane ca să găsești $G$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Trei linii din același vârf

    În $\triangle ABC$ oarecare, din $A$ se duc înălțimea, bisectoarea și mediana. Ajung în același punct pe $BC$?

    Arată rezolvarea

    Nu. Înălțimea ajunge în piciorul perpendicularei $D$, bisectoarea în $E$, cu $\angle BAE = \angle EAC$, mediana în mijlocul $M$. Într-un triunghi oarecare sunt trei puncte diferite.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Găsește greșeala

    Elena spune că $AM$ din figură este înălțimea triunghiului, pentru că pornește din $A$ și ajunge pe $BC$. Are dreptate?

    Arată rezolvarea

    Nu. Marcajele arată $BM = MC$, deci $AM$ este mediana. Nu există careu de unghi drept în $M$, iar $AM$ nu este perpendiculară pe $BC$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Mediană sau mediatoare?

    O linie trece prin mijlocul $M$ al lui $BC$ și este perpendiculară pe $BC$. Este mediana din $A$?

    Arată rezolvarea

    Nu, este mediatoarea lui $BC$. Mediana din $A$ trebuie să pornească din $A$; mediatoarea trece prin $A$ doar în cazuri speciale.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Criteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

    Perechile dintr-o notație

    Se știe că $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$. Scrie perechile de vârfuri, laturi și unghiuri corespunzătoare.

    Arată rezolvarea

    Vârfurile, pe poziții: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.

    Laturile: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$. Unghiurile: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Congruența triunghiurilor›Criteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

    Corespondența din marcaje

    În figură, al doilea triunghi este întors. Folosește marcajele ca să scrii congruența.

    Arată rezolvarea

    Unghiul cu un arc: $\angle A$ și $\angle Q$, deci $A \leftrightarrow Q$. Două arce: $B \leftrightarrow R$. Trei arce: $C \leftrightarrow P$.

    Scriem vârfurile în această ordine: $\triangle ABC \equiv \triangle QRP$. Verificare: $AB$ (o liniuță) corespunde lui $QR$ (o liniuță).

    Vezi lecția