Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 33 din 71

1. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

   Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic

   Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ și $\angle C = 38°$. Află $\angle A$.

   Arată rezolvarea

   Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic au împreună $90°$:

   $\angle A = 90° - 38° = 52°$

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

   Unghiul exterior, în două feluri

   În $\triangle ABC$, $\angle A = 50°$ și $\angle B = 70°$. $D$ este pe prelungirea laturii $BC$ dincolo de $C$. Află $\angle ACD$.

   Arată rezolvarea

   Cu teorema unghiului exterior: $\angle ACD = \angle A + \angle B = 50° + 70° = 120°$.

   Verificare pe altă cale: $\angle ACB = 180° - (50° + 70°) = 60°$, iar $\angle ACD = 180° - 60° = 120°$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

   Din unghiul exterior spre unghiurile interioare

   Unghiul exterior $\angle ACD$ al triunghiului $ABC$ are $130°$, iar $\angle A = 55°$. Află $\angle B$ și $\angle ACB$.

   Arată rezolvarea

   $\angle A + \angle B = \angle ACD$teorema unghiului exterior

   $\angle B = 130° - 55° = 75°$

   $\angle ACB = 180° - 130° = 50°$unghiuri adiacente suplementare

   Verificare: $55° + 75° + 50° = 180°$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

   Recunoaște cazul de construcție

   Ce caz de construcție corespunde datelor? a) $AB = 6\text{ cm}$, $\angle A = 40°$, $AC = 5\text{ cm}$; b) $BC = 7\text{ cm}$, $\angle B = 30°$, $\angle C = 70°$; c) $AB = 4\text{ cm}$, $\angle A = 50°$, $BC = 6\text{ cm}$.

   Arată rezolvarea

   • a) Laturile $AB$ și $AC$ au capătul comun $A$, iar unghiul dat este $\angle A$: LUL.
   • b) Latura $BC$ și unghiurile din capetele ei, $\angle B$ și $\angle C$: ULU.
   • c) Laturile $AB$ și $BC$ au capătul comun $B$, dar unghiul dat este $\angle A$. Unghiul nu este cuprins între ele, deci nu este cazul LUL.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

   Construcție LUL

   Construiește $\triangle MNP$ cu $MN = 5\text{ cm}$, $\angle M = 50°$ și $MP = 4\text{ cm}$. Descrie pașii.

   Arată rezolvarea

   1. Trasezi $MN = 5\text{ cm}$.
   2. În $M$, cu raportorul, trasezi semidreapta $MX$ cu $\angle NMX = 50°$.
   3. Pe $MX$ fixezi $P$ cu $MP = 4\text{ cm}$ (compas sau riglă).
   4. Unești $N$ cu $P$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

   Construcție ULU și unghiul lipsă

   Construiește $\triangle DEF$ cu $EF = 5\text{ cm}$, $\angle E = 45°$ și $\angle F = 75°$. Cât are $\angle D$?

   Arată rezolvarea

   Trasezi $EF = 5\text{ cm}$. În $E$ construiești un unghi de $45°$, în $F$ un unghi de $75°$, de aceeași parte a lui $EF$. Semidreptele se întâlnesc în $D$.

   $\angle D = 180° - (45° + 75°) = 60°$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

   Construcție LLL

   Construiește $\triangle ABC$ cu $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$ și $BC = 4\text{ cm}$.

   Arată rezolvarea

   Mai întâi verifici că triunghiul există: $6 < 5 + 4 = 9$. Trasezi $AB = 6\text{ cm}$, apoi arcul cu centrul $A$ și raza $5\text{ cm}$ și arcul cu centrul $B$ și raza $4\text{ cm}$. Intersecția lor este $C$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

   Triunghi posibil sau imposibil

   Pot fi laturile unui triunghi lungimile: a) $3$, $4$, $5\text{ cm}$; b) $2$, $3$, $6\text{ cm}$; c) $1$, $2$, $3\text{ cm}$?

   Arată rezolvarea

   • a) Cea mai mare este $5$ și $5 < 3 + 4 = 7$: da.
   • b) $6 > 2 + 3 = 5$: nu. Arcele din construcția LLL nu se întâlnesc.
   • c) $3 = 1 + 2$: nu. Cele trei puncte ar fi pe aceeași dreaptă.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

   Între ce valori este a treia latură

   Două laturi ale unui triunghi au $4\text{ cm}$ și $9\text{ cm}$. Între ce valori este a treia latură? Câte valori întregi (în cm) poate avea?

   Arată rezolvarea

   $9 - 4 < x < 9 + 4$

   $5 < x < 13$

   Valorile întregi sunt $6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$: șapte valori. $5$ și $13$ nu sunt bune, pentru că dau un triunghi turtit.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

    Care latură este baza?

    Un triunghi isoscel are două laturi de lungimi $3\text{ cm}$ și $7\text{ cm}$. Află perimetrul.

    Arată rezolvarea

    Sunt două variante: laturile $3$, $3$, $7$ sau $7$, $7$, $3$. Prima nu este posibilă: $7 > 3 + 3 = 6$. A doua este: $7 < 7 + 3$.

    Deci laturile egale au $7\text{ cm}$, baza $3\text{ cm}$, iar $P = 7 + 7 + 3 = 17\text{ cm}$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

    Când ULU nu dă un triunghi

    Se poate construi $\triangle ABC$ cu $BC = 5\text{ cm}$, $\angle B = 100°$ și $\angle C = 85°$?

    Arată rezolvarea

    Nu. Unghiurile date au împreună $185°$, iar într-un triunghi toate trei au $180°$. Pe desen se vede: semidreptele $BX$ și $CY$ se depărtează și nu se întâlnesc.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

    Ordonează laturile după unghiuri

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 80°$, $\angle B = 60°$, $\angle C = 40°$. Ordonează laturile de la cea mai lungă la cea mai scurtă.

    Arată rezolvarea

    • $\angle A = 80°$ se opune lui $BC$;
    • $\angle B = 60°$ se opune lui $AC$;
    • $\angle C = 40°$ se opune lui $AB$.

    Deci $BC > AC > AB$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

    Ordonează unghiurile după laturi

    În $\triangle ABC$, $AB = 7\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$, $CA = 6\text{ cm}$. Care este cel mai mare unghi? Dar cel mai mic?

    Arată rezolvarea

    Cea mai lungă latură, $AB$, se opune lui $\angle C$, deci $\angle C$ este cel mai mare unghi. Cea mai scurtă, $BC$, se opune lui $\angle A$, deci $\angle A$ este cel mai mic. Ordinea: $\angle C > \angle B > \angle A$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Triunghiul›Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

    Cea mai lungă latură a unui triunghi obtuzunghic

    În $\triangle PQR$, $\angle Q = 110°$. Care latură este cea mai lungă?

    Arată rezolvarea

    Celelalte două unghiuri au împreună $70°$, deci fiecare este mai mic decât $110°$. Unghiul cel mai mare este $\angle Q$, iar latura opusă lui este $PR$. $PR$ este cea mai lungă latură.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

    Unghiurile făcute de bisectoare

    În $\triangle ABC$, $\angle A = 68°$, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $A$. Află $\angle BAD$ și $\angle DAC$.

    Arată rezolvarea

    Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale: $\angle BAD = \angle DAC = 68° : 2 = 34°$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

    Unghiul întreg, din jumătate

    $BE$ este bisectoarea unghiului $B$ al triunghiului $ABC$, iar $\angle ABE = 27°$. Află $\angle B$.

    Arată rezolvarea

    $\angle B = 2 \cdot \angle ABE = 2 \cdot 27° = 54°$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

    Bisectoare sau nu?

    În $\triangle ABC$, punctul $D$ este pe $BC$, $\angle BAD = 40°$ și $\angle DAC = 35°$. Este $AD$ bisectoarea unghiului $A$?

    Arată rezolvarea

    Nu. Bisectoarea face două unghiuri egale, iar $40° \ne 35°$. Unghiul $A$ are $75°$, deci bisectoarea ar face unghiuri de $37{,}5°$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

    Recunoașterea incentrului

    Pe figură, $AD$, $BE$ și $CF$ sunt bisectoarele triunghiului $ABC$. Cum se numește punctul $I$ și ce știi despre distanțele de la el la laturi?

    Arată rezolvarea

    $I$ este punctul comun al bisectoarelor, adică incentrul. Este pe fiecare bisectoare, deci este egal depărtat de toate cele trei laturi.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

    Distanța de la un punct de pe bisectoare

    $P$ este pe bisectoarea unghiului $A$ al triunghiului $ABC$. Distanța de la $P$ la $AB$ este $PK = 2\text{ cm}$. Cât este distanța $PL$ de la $P$ la $AC$?

    Arată rezolvarea

    Punctele bisectoarei sunt egal depărtate de laturile unghiului, deci $PL = PK = 2\text{ cm}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

    Raza cercului înscris

    Incentrul $I$ al triunghiului $ABC$ este la $1{,}5\text{ cm}$ de latura $BC$. Cât este raza cercului înscris? La ce distanță este $I$ de $AB$?

    Arată rezolvarea

    Raza cercului înscris este distanța de la $I$ la o latură: $r = 1{,}5\text{ cm}$. $I$ este egal depărtat de toate laturile, deci și distanța la $AB$ este $1{,}5\text{ cm}$.

    Vezi lecția