Probleme de matematică rezolvate

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 1: recunoaște elementele cercului

În figură, $O$ este centrul cercului. Ce reprezintă segmentele $OA$ $BC$ și $DE$

Arată rezolvarea

$OA$ unește centrul cu un punct al cercului: este o rază.
$BC$ are capetele pe cerc și trece prin $O$ este un diametru (deci și o coardă).
$DE$ are capetele pe cerc, dar nu trece prin $O$ este o coardă care nu este diametru.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 2: de la rază la diametru

Un cerc are raza $r = 4{,}5\text{ cm}$ Cât este diametrul lui?

Arată rezolvarea

d = 2r

d = 2 \cdot 4{,}5\text{ cm} = 9\text{ cm}

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 3: de la diametru la rază

Diametrul unui cerc este $13\text{ cm}$ Cât este raza?

Arată rezolvarea

r = \dfrac{d}{2}

r = \dfrac{13\text{ cm}}{2} = 6{,}5\text{ cm}

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 4: care unghiuri sunt unghiuri la centru?

În figură, $O$ este centrul cercului, $A$ $B$ $C$ sunt pe cerc, iar $P$ este în interiorul cercului. Care dintre unghiurile $\angle AOB$ $\angle BOC$ și $\angle APC$ sunt unghiuri la centru?

Arată rezolvarea

$\angle AOB$ și $\angle BOC$ au vârful $O$ în centrul cercului: sunt unghiuri la centru. $\angle APC$ are vârful $P$ care nu este centrul: nu este unghi la centru.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 5: măsura arcelor

Unghiul la centru $\angle AOB$ are $64°$ Care sunt măsurile celor două arce cu capetele $A$ și $B$

Arată rezolvarea

m(\overset{\frown}{AB}) = \angle AOB = 64°

arcul mic

360° - 64° = 296°

arcul mare

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 6: unghiuri la centru în jurul lui O

Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe cercul de centru $O$ $\angle AOB = 90°$ și $\angle BOC = 150°$ iar unghiurile $\angle AOB$ $\angle BOC$ $\angle COA$ sunt în jurul punctului $O$ Află $\angle COA$ și măsura arcului mic $\overset{\frown}{CA}$

Arată rezolvarea

\angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360°

unghiuri în jurul unui punct

90° + 150° + \angle COA = 360°

\angle COA = 360° - 240° = 120°

m(\overset{\frown}{CA}) = 120°

arcul mic, egal cu unghiul la centru

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 7: poziția unor puncte față de cerc

Cercul are centrul $O$ și raza $r = 5\text{ cm}$ Știm $OA = 3\text{ cm}$ $OB = 5\text{ cm}$ $OC = 7{,}5\text{ cm}$ Unde se află punctele $A$ $B$ $C$

Arată rezolvarea

$OA = 3\text{ cm} < 5\text{ cm}$ $A$ este în interiorul cercului.
$OB = 5\text{ cm} = r$ $B$ este pe cerc.
$C$ este în exteriorul cercului, pentru că $OC = 7{,}5\text{ cm} > 5\text{ cm}$

$A$ și $B$ aparțin discului de centru $O$ și rază $5\text{ cm}$ dintre ele, doar $B$ aparține cercului.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 8: poziția unor drepte față de cerc

Cercul are centrul $O$ și raza $r = 4\text{ cm}$ Distanțele de la $O$ la dreptele $a$ $b$ $c$ sunt $3\text{ cm}$ $4\text{ cm}$ și $6\text{ cm}$ Stabilește poziția fiecărei drepte și câte puncte comune are cu cercul.

Arată rezolvarea

Dreapta	Comparația	Poziția
$a$	$3\text{ cm} < 4\text{ cm}$	secantă, $2$ puncte comune
$b$	$4\text{ cm} = 4\text{ cm}$	tangentă, $1$ punct comun
$c$	$6\text{ cm} > 4\text{ cm}$	exterioară, $0$ puncte comune

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 9: dreapta care pare tangentă

Cercul are raza $r = 3\text{ cm}$ iar distanța de la centrul $O$ la dreapta $a$ este $OH = 2{,}9\text{ cm}$ Pe desen, dreapta pare aproape să atingă cercul. Este tangentă?

Arată rezolvarea

$OH = 2{,}9\text{ cm} < 3\text{ cm} = r$ deci dreapta $a$ este secantă: are două puncte comune cu cercul, $A$ și $B$ chiar dacă sunt apropiate. Ar fi tangentă numai dacă distanța ar fi exact $3\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 10: poziția a două cercuri

Cercurile $\mathcal{C}_1(O_1, 5\text{ cm})$ și $\mathcal{C}_2(O_2, 3\text{ cm})$ au $O_1O_2 = 8\text{ cm}$ Ce poziție au? Dar dacă $O_1O_2 = 2\text{ cm}$ Dar dacă $O_1O_2 = 6\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$R + r = 5\text{ cm} + 3\text{ cm} = 8\text{ cm}$ și $R - r = 5\text{ cm} - 3\text{ cm} = 2\text{ cm}$

$O_1O_2 = 8\text{ cm} = R + r$ cercurile sunt tangente exterior.
$O_1O_2 = 2\text{ cm} = R - r$ cercurile sunt tangente interior.
$2\text{ cm} < 6\text{ cm} < 8\text{ cm}$ cercurile sunt secante.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Exemplul 11: diametru, rază și unghi la centru

$AB$ este un diametru al cercului de centru $O$ și rază $6\text{ cm}$ Punctul $C$ este pe cerc și $\angle AOC = 50°$ Află lungimea lui $AB$ lungimea lui $OC$ $\angle COB$ și măsura arcului mic $\overset{\frown}{CB}$

Arată rezolvarea

AB = 2r = 2 \cdot 6\text{ cm} = 12\text{ cm}

OC = r = 6\text{ cm}

C

este pe cerc

\angle AOC + \angle COB = 180°

A

O

B

sunt coliniare: unghiuri suplementare

\angle COB = 180° - 50° = 130°

m(\overset{\frown}{CB}) = 130°

Vezi lecția

Clasa a VI-a

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Elementele unui triunghi

Scrie vârfurile, laturile și unghiurile triunghiului $MNP$ din figură. Ce latură se opune unghiului $M$

Arată rezolvarea

Vârfurile: $M$ $N$ $P$
Laturile: $MN$ $NP$ $PM$
Unghiurile: $\angle NMP$ $\angle MNP$ $\angle MPN$ adică $\angle M$ $\angle N$ $\angle P$

Latura opusă unghiului $M$ este cea care nu trece prin $M$ $NP$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Clasificare după laturi

Un triunghi are laturile de $6\text{ cm}$ $8\text{ cm}$ și $6\text{ cm}$ Clasifică-l după laturi și spune care este baza.

Arată rezolvarea

Două laturi au aceeași lungime, $6\text{ cm}$ iar a treia este diferită. Triunghiul este isoscel. Baza este latura diferită, cea de $8\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Clasificare după unghiuri

Clasifică după unghiuri triunghiurile cu unghiurile: a) $35°$ $55°$ $90°$ b) $30°$ $40°$ $110°$ c) $50°$ $60°$ $70°$

Arată rezolvarea

a) are un unghi de $90°$ dreptunghic;
b) are un unghi de $110° > 90°$ obtuzunghic;
c) cel mai mare unghi are $70° < 90°$ deci toate sunt ascuțite: ascuțitunghic.

Vezi lecția

Clasa a VI-a

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Clasificare dublă după figură

Clasifică triunghiul din figură după laturi și după unghiuri.

Arată rezolvarea

Liniuțele spun că $AB = AC$ triunghiul este isoscel. Careul din $A$ spune că $\angle A = 90°$ triunghiul este dreptunghic. Răspuns: triunghi isoscel dreptunghic, cu ipotenuza $BC$

Vezi lecția

Clasa a VI-a

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Perimetrul unui triunghi oarecare

Calculează perimetrul triunghiului $ABC$ cu $AB = 5\text{ cm}$ $BC = 9\text{ cm}$ $CA = 7\text{ cm}$

Arată rezolvarea

P = AB + BC + CA

P = 5 + 9 + 7 = 21\text{ (cm)}

Vezi lecția

Clasa a VI-a

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Perimetrul triunghiului isoscel și echilateral

a) Un triunghi isoscel are laturile egale de $5\text{ cm}$ și baza de $6\text{ cm}$ Cât este perimetrul? b) Un triunghi echilateral are perimetrul de $27\text{ cm}$ Cât are latura?