Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 31 din 71

1. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 2: paralele sau concurente?

   Dreptele distincte $m$ și $n$ au în comun punctul $P$. Pot fi paralele?

   Arată rezolvarea

   Nu. Dreptele paralele nu au niciun punct comun. Pentru că $m \cap n = \{P\}$, dreptele $m$ și $n$ sunt concurente: $m \nparallel n$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 3: axioma paralelelor

   Punctul $M$ nu se află pe dreapta $d$. Prin $M$ se duc dreptele $p$ și $q$, amândouă paralele cu $d$. Ce poți spune despre $p$ și $q$?

   Arată rezolvarea

   Axioma paralelelor spune că prin $M$ trece o singură paralelă la $d$. Deci $p$ și $q$ nu pot fi două drepte diferite: sunt aceeași dreaptă.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 4: numele perechilor de unghiuri

   Folosind figura, spune ce fel de unghiuri sunt perechile: a) $\angle 4$ și $\angle 6$; b) $\angle 2$ și $\angle 6$; c) $\angle 3$ și $\angle 6$; d) $\angle 2$ și $\angle 8$.

   Arată rezolvarea

   • a) $\angle 4$ și $\angle 6$: amândouă între drepte, de părți diferite ale secantei, deci alterne interne.
   • b) $\angle 2$ și $\angle 6$: amândouă sus-stânga, deci corespondente.
   • c) $\angle 3$ și $\angle 6$: amândouă între drepte, în stânga secantei, deci interne de aceeași parte a secantei.
   • d) $\angle 2$ și $\angle 8$: amândouă în afara dreptelor, de părți diferite ale secantei, deci alterne externe.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 5: criteriul cu unghiuri corespondente

   Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$, iar $m(\angle 1) = m(\angle 5) = 48°$. Sunt dreptele $a$ și $b$ paralele?

   Arată rezolvarea

   $\angle 1$ și $\angle 5$ sunt corespondente și au aceeași măsură. Conform criteriului cu unghiuri corespondente, $a \parallel b$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 6: criteriul cu unghiuri suplementare

   Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$, iar $m(\angle 4) = 115°$ și $m(\angle 5) = 65°$. Sunt dreptele $a$ și $b$ paralele?

   Arată rezolvarea

   $\angle 4$ și $\angle 5$ sunt interne de aceeași parte a secantei. Suma lor:

   $$115° + 65° = 180°$$

   Unghiurile sunt suplementare, deci $a \parallel b$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 7: toate unghiurile dintr-unul singur

   Știm că $a \parallel b$, secanta $c$ le taie, iar $m(\angle 1) = 58°$. Calculează măsurile celorlalte șapte unghiuri.

   Arată rezolvarea

   $m(\angle 2) = 180° - 58° = 122°$$\angle 1$ și $\angle 2$ sunt adiacente suplementare

   $m(\angle 3) = m(\angle 1) = 58°$opuse la vârf

   $m(\angle 4) = m(\angle 2) = 122°$opuse la vârf

   $m(\angle 5) = m(\angle 1) = 58°$corespondente, $a \parallel b$

   $m(\angle 6) = m(\angle 2) = 122°$corespondente, $a \parallel b$

   $m(\angle 7) = m(\angle 3) = 58°$corespondente, $a \parallel b$

   $m(\angle 8) = m(\angle 4) = 122°$corespondente, $a \parallel b$

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 8: desenul nu ajunge

   Pe o figură, dreptele $a$ și $b$ arată paralele, iar secanta $c$ formează $m(\angle 3) = 81°$ și $m(\angle 5) = 80°$. Sunt dreptele paralele?

   Arată rezolvarea

   $\angle 3$ și $\angle 5$ sunt alterne interne. Dacă $a$ și $b$ ar fi paralele, ar trebui să aibă aceeași măsură. Dar $81° \ne 80°$.

   Deci $a \nparallel b$, chiar dacă pe desen diferența de $1°$ nu se vede.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 9: problemă cu necunoscută

   Știm că $a \parallel b$, iar secanta $c$ formează unghiurile alterne interne $m(\angle 3) = 3x + 10°$ și $m(\angle 5) = 5x - 20°$. Calculează $x$ și $m(\angle 3)$.

   Arată rezolvarea

   Pentru că $a \parallel b$, unghiurile alterne interne sunt congruente:

   $3x + 10° = 5x - 20°$

   $10° + 20° = 5x - 3x$

   $30° = 2x$

   $x = 15°$

   $$m(\angle 3) = 3 \cdot 15° + 10° = 55°$$

   Verificare: $5 \cdot 15° - 20° = 55°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Exemplul 10: două paralele cu a treia

   Știm că $a \parallel b$ și $c \parallel b$, unde $a$ și $c$ sunt drepte distincte. Ce poziție au dreptele $a$ și $c$?

   Arată rezolvarea

   Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele, consecință a axiomei paralelelor. Deci $a \parallel c$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 1: ce drepte sunt perpendiculare?

    În figură, care drepte sunt date ca perpendiculare?

    Arată rezolvarea

    În $O$ este marcat unghiul drept, deci $a \perp b$. În $K$ nu există marcaj și nu avem date, deci nu putem afirma că $c \perp a$, chiar dacă $c$ pare aproape verticală.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 2: un unghi în interiorul unghiului drept

    Semidreptele $OA$ și $OB$ sunt perpendiculare, iar $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$, cu $m(\angle AOC) = 35°$. Calculează $m(\angle COB)$.

    Arată rezolvarea

    $OA \perp OB$, deci $m(\angle AOB) = 90°$. Unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt adiacente și formează împreună unghiul $AOB$:

    $$m(\angle COB) = 90° - 35° = 55°$$

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 3: care segment este distanța?

    În figură, $A$, $H$ și $B$ sunt pe dreapta $d$. Care segment are lungimea egală cu distanța de la $P$ la $d$?

    Arată rezolvarea

    Distanța este lungimea segmentului perpendicular pe $d$. Careul de unghi drept este în $H$, deci $PH \perp d$, iar distanța de la $P$ la $d$ este $PH$. Segmentele $PA$ și $PB$ sunt oblice.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 4: distanța, când ai mai multe lungimi

    Punctele $H$, $A$, $B$ sunt pe dreapta $d$, $PH \perp d$, $PH = 4\text{ cm}$, $PA = 5\text{ cm}$, $PB = 6\text{ cm}$. Cât este distanța de la $P$ la $d$?

    Arată rezolvarea

    Distanța este lungimea perpendicularei, nu a unei oblice: $4\text{ cm}$. Ca verificare, perpendiculara este cel mai scurt segment, iar $4\text{ cm}$ este cea mai mică dintre lungimi.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 5: distanța, pe o figură la scară

    În figură, $PH \perp d$, $PH = 5\text{ cm}$ și $PA = 7\text{ cm}$, cu $A$ pe $d$. Care este distanța de la $P$ la $d$?

    Arată rezolvarea

    $PH \perp d$, deci distanța de la $P$ la $d$ este $PH = 5\text{ cm}$. Lungimea $PA = 7\text{ cm}$ este a unei oblice și nu contează aici.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 6: este dreapta mediatoarea?

    Dreapta $e$ trece prin mijlocul $M$ al segmentului $AB$ și formează cu $AB$ un unghi de $70°$. Este $e$ mediatoarea lui $AB$?

    Arată rezolvarea

    Nu. Prima condiție este îndeplinită ($e$ trece prin $M$), dar a doua nu: unghiul dintre $e$ și $AB$ are $70°$, nu $90°$. Mediatoarea trebuie să fie și perpendiculară pe segment.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 7: calcul cu mijlocul

    Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $AB$ și îl taie în $M$. a) Dacă $AB = 14\text{ cm}$, cât este $AM$? b) Dacă $MB = 4{,}5\text{ cm}$, cât este $AB$? c) Ce măsură are unghiul dintre $d$ și $AB$?

    Arată rezolvarea

    Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, deci $M$ este mijlocul lui $AB$ și $AM = MB = AB : 2$.

    $$\text{a) } AM = 14 : 2 = 7\text{ cm}$$

    $$\text{b) } AB = 2 \cdot 4{,}5 = 9\text{ cm}$$

    c) Mediatoarea este perpendiculară pe segment, deci unghiul are $90°$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 8: simetricul unui punct

    Punctul $P$ este la $2\text{ cm}$ de dreapta $d$, iar $P'$ este simetricul lui $P$ față de $d$. Segmentul $PP'$ taie $d$ în $H$. Calculează $HP'$ și $PP'$.

    Arată rezolvarea

    $d$ este mediatoarea lui $PP'$, deci $PP' \perp d$ și $H$ este mijlocul lui $PP'$. Pentru că $PH \perp d$, distanța de la $P$ la $d$ este $PH = 2\text{ cm}$.

    $$HP' = PH = 2\text{ cm}, \quad PP' = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 9: construcția mediatoarei unui segment de 6 cm

    Construiește mediatoarea unui segment $AB$ cu $AB = 6\text{ cm}$.

    Arată rezolvarea

    1. Desenează cu rigla gradată segmentul $AB$ de $6\text{ cm}$.
    2. Deschide compasul mai mult decât $3\text{ cm}$, de exemplu $4\text{ cm}$.
    3. Cu vârful în $A$, trage un arc deasupra lui $AB$ și unul dedesubt. Cu aceeași deschidere, vârful în $B$, trage încă două arce. Notează cu $P$ și $Q$ punctele în care se taie arcele.
    4. Trasează dreapta $PQ$ și notează cu $M$ intersecția ei cu $AB$. Verificare: $AM = MB = 3\text{ cm}$, iar echerul se potrivește exact în unghiul din $M$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 10: puncte simetrice, distanța până la axă

    Punctele $A$ și $B$ sunt simetrice față de dreapta $d$, iar $AB = 10\text{ cm}$. Segmentul $AB$ taie $d$ în $M$. Ce măsură are unghiul dintre $AB$ și $d$? Cât este distanța de la $A$ la $d$?

    Arată rezolvarea

    • $A$ și $B$ sunt simetrice față de $d$, deci $d$ este mediatoarea lui $AB$: $AB \perp d$ (unghiul are $90°$) și $M$ este mijlocul lui $AB$.
    • $AM = 10 : 2 = 5\text{ cm}$.
    • $AM \perp d$ și $M$ este pe $d$, deci distanța de la $A$ la $d$ este $AM = 5\text{ cm}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Exemplul 11: găsește greșeala

    Un elev scrie: „Punctul $M$ este mijlocul lui $AB$ și dreapta $d$ trece prin $M$. Deci $d$ este mediatoarea lui $AB$.” Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Raționamentul verifică doar o condiție. Prin $M$ trec o infinitate de drepte, dar numai una dintre ele este perpendiculară pe $AB$. Ca să spunem că $d$ este mediatoarea, trebuie să știm și că $d \perp AB$.

    Vezi lecția