Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 30 din 71

1. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

   Exemplul 6: ecuație în doi pași

   Rezolvă ecuația $\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 1$.

   Arată rezolvarea

   Întâi elimini termenul $-\dfrac{1}{2}$, apoi împarți la coeficientul $\dfrac{3}{4}$.

   $\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 1$

   $\dfrac{3}{4}x = 1 + \dfrac{1}{2}$aduni 1/2 în ambele părți

   $\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{2}$

   $x = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3}$împarți la 3/4

   $x = 2$

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

   Exemplul 7: eliminarea numitorilor

   Rezolvă ecuația $\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$.

   Arată rezolvarea

   Înmulțești fiecare termen din ambele părți cu 6, multiplu comun al numitorilor 2, 3 și 6.

   $\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

   $3x + 2 = 5$

   $3x = 3$

   $x = 1$

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

   Exemplul 8: problemă în context, cu verificare

   Trei cincimi dintr-o sumă de bani reprezintă 45 de lei. Ce sumă a avut inițial persoana?

   Arată rezolvarea

   Notezi cu $x$ suma inițială, în lei, și construiești ecuația.

   $\dfrac{3}{5}x = 45$

   $x = 45 \cdot \dfrac{5}{3}$

   $x = 75$

   Verific: $\dfrac{3}{5} \cdot 75 = 45$, egalitate adevărată. Suma inițială a fost de 75 de lei.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

   Exemplul 1: recunoști unghiuri adiacente

   În figura de mai jos, $OB$ este între $OA$ și $OC$. Sunt $\angle AOB$ și $\angle BOC$ unghiuri adiacente?

   Arată rezolvarea

   Verific cele trei condiții: $\angle AOB$ și $\angle BOC$ au același vârf $O$; au latura $OB$ comună; interiorul lui $\angle AOB$ (între $OA$ și $OB$) nu se suprapune cu interiorul lui $\angle BOC$ (între $OB$ și $OC$).

   Toate cele trei condiții sunt îndeplinite, deci $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt adiacente.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

   Exemplul 2: unghiul opus la vârf

   Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$. Măsura unghiului $\angle AOC$ este $85°$. Care este unghiul opus la vârf lui $\angle AOC$ și ce măsură are?

   Arată rezolvarea

   Unghiul opus la vârf lui $\angle AOC$ este $\angle BOD$: este format din semidreptele opuse $OB$ și $OD$.

   Unghiurile opuse la vârf au măsuri egale, deci $\angle BOD = 85°$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

   Exemplul 3: unghi necunoscut în jurul unui punct

   Trei unghiuri în jurul unui punct $O$ au măsurile $95°$, $110°$ și $x$. Calculează $x$.

   Arată rezolvarea

   Suma unghiurilor în jurul unui punct este $360°$.

   $95° + 110° + x = 360°$

   $205° + x = 360°$

   $x = 360° - 205° = 155°$

   $x = 155°$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

   Exemplul 4: complementul unui unghi

   Un unghi $\angle AOM$ are $52°$. Calculează măsura complementului lui.

   Arată rezolvarea

   Complementul unui unghi de $52°$ este unghiul care, adunat cu el, dă $90°$.

   $x = 90° - 52° = 38°$

   Complementul are $38°$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

   Exemplul 5: suplementul unui unghi

   Un unghi $\angle AOC$ are $118°$. Calculează măsura suplementului lui.

   Arată rezolvarea

   $x = 180° - 118° = 62°$

   Suplementul are $62°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

   Exemplul 6: problemă cu necunoscută (complementare)

   Două unghiuri complementare au măsurile $x$ și $29°$. Calculează $x$.

   Arată rezolvarea

   Unghiurile sunt complementare, deci suma lor este $90°$.

   $x + 29° = 90°$

   $x = 90° - 29° = 61°$

   $x = 61°$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

    Exemplul 7: problemă cu necunoscută (suplementare)

    Două unghiuri suplementare au măsurile $x$ și $142°$. Calculează $x$.

    Arată rezolvarea

    Unghiurile sunt suplementare, deci suma lor este $180°$.

    $x + 142° = 180°$

    $x = 180° - 142° = 38°$

    $x = 38°$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

    Exemplul 8: mai multe relații în aceeași figură

    Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$. $\angle AOC = 73°$. Calculează $\angle COB$, $\angle BOD$ și $\angle DOA$.

    Arată rezolvarea

    $\angle COB$ este suplementul lui $\angle AOC$, pentru că $A$, $O$, $B$ sunt pe aceeași dreaptă.

    $\angle COB = 180° - 73° = 107°$

    $\angle BOD$ este opus la vârf lui $\angle AOC$, deci are aceeași măsură.

    $\angle BOD = 73°$

    $\angle DOA$ este opus la vârf lui $\angle COB$, deci are aceeași măsură.

    $\angle DOA = 107°$

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 1: identifici bisectoarea dintr-o figură

    În figura de mai jos, $OC$ împarte unghiul $\angle AOB$. Este $OC$ bisectoarea lui $\angle AOB$?

    Arată rezolvarea

    $m(\angle AOC) = 50°$ și $m(\angle COB) = 50°$. Cele două măsuri sunt egale.

    Da, $OC$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 2: calcul din unghiul total

    $OC$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$, iar $m(\angle AOB) = 96°$. Calculează $m(\angle AOC)$ și $m(\angle COB)$.

    Arată rezolvarea

    $m(\angle AOC) = m(\angle COB) = \dfrac{m(\angle AOB)}{2}$

    $m(\angle AOC) = m(\angle COB) = \dfrac{96°}{2} = 48°$

    $m(\angle AOC) = m(\angle COB) = 48°$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 3: calcul din jumătate

    $OC$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$, iar $m(\angle AOC) = 27°$. Calculează $m(\angle COB)$ și $m(\angle AOB)$.

    Arată rezolvarea

    Pentru că $OC$ este bisectoare, cele două unghiuri sunt egale: $m(\angle COB) = m(\angle AOC) = 27°$.

    $m(\angle AOB) = m(\angle AOC) + m(\angle COB) = 27° + 27° = 54°$

    $m(\angle COB) = 27°$ și $m(\angle AOB) = 54°$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 4: măsură lipsă

    $OC$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$. Se știe că $m(\angle AOC) = 34°$. Calculează $m(\angle AOB)$.

    Arată rezolvarea

    Unghiul total este dublul unei jumătăți formate de bisectoare.

    $m(\angle AOB) = 2 \cdot m(\angle AOC) = 2 \cdot 34° = 68°$

    $m(\angle AOB) = 68°$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 5: recunoaștere din diagramă (nu este bisectoare)

    În figura de mai jos, este $OD$ bisectoarea unghiului $\angle AOB$?

    Arată rezolvarea

    $m(\angle AOD) = 20°$ și $m(\angle DOB) = 70°$. Măsurile nu sunt egale.

    Nu, $OD$ nu este bisectoarea unghiului $\angle AOB$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 6: informație insuficientă

    Semidreapta $OC$ este desenată în interiorul unghiului $\angle AOB$, fără nicio măsură dată. Poți spune dacă $OC$ este bisectoare?

    Arată rezolvarea

    Nu. Fără măsuri sau marcaje care să arate că $m(\angle AOC) = m(\angle COB)$, nu poți decide doar din poziția aparentă a semidreptei pe desen.

    Ai nevoie fie de măsurile celor două unghiuri, fie de un marcaj explicit (arce identice) care să arate egalitatea.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 7: problemă cu necunoscută

    $OC$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$. $m(\angle AOC) = x + 5°$ și $m(\angle COB) = 2x - 10°$. Calculează $x$ și măsura unghiului $\angle AOB$.

    Arată rezolvarea

    Pentru că $OC$ este bisectoare, cele două unghiuri sunt egale.

    $x + 5° = 2x - 10°$

    $5° + 10° = 2x - x$

    $x = 15°$

    $m(\angle AOC) = x + 5° = 15° + 5° = 20°$

    $m(\angle AOB) = 2 \cdot 20° = 40°$

    $x = 15°$, iar $m(\angle AOB) = 40°$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

    Exemplul 8: construcția bisectoarei

    Cum construiești bisectoarea unghiului $\angle AOB$ folosind doar rigla și compasul?

    Arată rezolvarea

    1. Cu vârful compasului în $O$, tai laturile $OA$ și $OB$ în punctele $M$, respectiv $N$, cu același arc de cerc.
    2. Cu aceeași rază, trasezi câte un arc din $M$ și din $N$, în interiorul unghiului. Arcele se intersectează în punctul $P$.
    3. Semidreapta $OP$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$.

    Construcția este exactă: $OM = ON$ și $PM = PN$, deci $OP$ împarte unghiul în două unghiuri egale, fără măsurare cu raportorul.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

    Exemplul 1: recunoaștere din figură

    În figura de mai jos, ce drepte sunt date ca paralele? Ce poți spune despre dreapta $c$?

    Arată rezolvarea

    Dreptele $a$ și $b$ au același marcaj, deci $a \parallel b$.

    Dreapta $c$ are un punct comun cu $a$ (punctul $A$) și intersectează și dreapta $b$. Deci $c$ este concurentă cu $a$ și cu $b$ și nu este paralelă cu niciuna dintre ele.

    Vezi lecția