Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 29 din 71

1. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

   Exemplul 5: comparație a două fracții pozitive

   Compară $\dfrac{5}{6}$ și $\dfrac{7}{9}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$numitor comun 18

   $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$

   $\dfrac{15}{18} > \dfrac{14}{18}$

   $$\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

   Exemplul 6: comparație a două numere negative

   Compară $-\dfrac{5}{4}$ și $-\dfrac{3}{4}$.

   Arată rezolvarea

   Numitorii sunt deja egali. Comparăm numărătorii: $5 > 3$, deci $\dfrac{5}{4} > \dfrac{3}{4}$.

   La negative, ordinea se inversează: cel cu modulul mai mare e mai mic.

   $$-\dfrac{5}{4} < -\dfrac{3}{4}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

   Exemplul 7: fracție versus zecimal

   Compară $\dfrac{7}{8}$ și $0{,}9$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{7}{8} = 0{,}875$transformi fracția în zecimal

   $0{,}875 < 0{,}9$

   $$\dfrac{7}{8} < 0{,}9$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

   Exemplul 8: ordonare mixtă

   Ordonează crescător: $-1$, $\dfrac{3}{4}$, $-0{,}5$, $1{,}2$, $0$.

   Arată rezolvarea

   • $-1$ este singurul negativ mai departe de $0$ decât $-0{,}5$.
   • $-0{,}5$ urmează.
   • $0$ vine după negative.
   • $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$.
   • $1{,}2$ este cel mai mare.

   $$-1 < -0{,}5 < 0 < \dfrac{3}{4} < 1{,}2$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

   Exemplul 1: adunare de fracții cu numitori diferiți

   Calculează $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}$

   $= \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6}$numitor comun 6

   $= \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

   Exemplul 2: scăderea unui număr negativ

   Calculează $\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

   Arată rezolvarea

   Scăderea unui număr negativ devine adunare.

   $\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)$

   $= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}$

   $= \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}$

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

   Exemplul 3: scădere cu ambele numere negative

   Calculează $-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}$.

   Arată rezolvarea

   $-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}$

   $= -\dfrac{4}{10} - \dfrac{3}{10}$numitor comun 10

   $= -\dfrac{7}{10}$

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

   Exemplul 4: înmulțirea a doi factori negativi

   Calculează $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{4}$.

   Arată rezolvarea

   $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{4}$

   $= -\dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

   $= -\dfrac{6}{12} = -\dfrac{1}{2}$

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

   Exemplul 5: împărțirea a două numere raționale negative/pozitive

   Calculează $\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{2}{5}$.

   Arată rezolvarea

   $\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{2}{5}$

   $= \left(-\dfrac{3}{4}\right) \cdot \dfrac{5}{2}$inversezi împărțitorul

   $= -\dfrac{15}{8}$

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

    Exemplul 6: zecimale negative

    Calculează $-2{,}4 - 1{,}6$.

    Arată rezolvarea

    $-2{,}4 - 1{,}6$

    $= -(2{,}4 + 1{,}6)$

    $= -4$

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

    Exemplul 7: putere cu bază rațională negativă

    Calculează $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3$.

    Arată rezolvarea

    Exponentul $3$ este impar, deci rezultatul are semnul bazei, adică este negativ.

    $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3$

    $= \dfrac{(-2)^3}{3^3}$

    $= -\dfrac{8}{27}$

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

    Exemplul 8: expresie mixtă cu ordinea operațiilor

    Calculează $\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot 2$.

    Arată rezolvarea

    Calculezi întâi puterea, apoi înmulțirea, apoi adunarea.

    $\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot 2$

    $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} \cdot 2$

    $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{8}$

    $= \dfrac{4}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{13}{8}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

    Exemplul 9: exponent negativ cu bază număr întreg

    Calculează $2^{-3}$ și $(-2)^{-3}$. Ce diferă între cele două rezultate?

    Arată rezolvarea

    $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

    $(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$

    Ambele au valoarea absolută $\dfrac{1}{8}$. Doar al doilea este negativ, pentru că baza $-2$ este negativă și exponentul $3$ este impar. Minusul din exponent nu schimbă semnul.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

    Exemplul 10: exponent negativ cu bază fracție

    Calculează $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$.

    Arată rezolvarea

    $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$răstorni fracția

    $= \dfrac{3^2}{2^2} = \dfrac{9}{4}$

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

    Exemplul 11: reguli de calcul cu exponenți întregi

    Calculează $5^{-4} \cdot 5^{6}$ și $\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\right)^{3}$.

    Arată rezolvarea

    $5^{-4} \cdot 5^{6} = 5^{-4+6} = 5^2 = 25$aduni exponenții

    $\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\right)^{3} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$înmulțești exponenții

    $= (-2)^{3} = -8$răstorni fracția; exponent impar

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

    Exemplul 1: ecuație cu adunare de fracții

    Rezolvă ecuația $x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$.

    Arată rezolvarea

    Scazi $\dfrac{1}{3}$ din ambele părți, operația inversă adunării.

    $x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

    $x = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}$

    $x = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

    Exemplul 2: ecuație cu scădere

    Rezolvă ecuația $x - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$.

    Arată rezolvarea

    Aduni $\dfrac{3}{4}$ în ambele părți, operația inversă scăderii.

    $x - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$

    $x = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4}$

    $x = \dfrac{5}{4}$

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

    Exemplul 3: coeficient fracționar

    Rezolvă ecuația $\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{8}$.

    Arată rezolvarea

    Împarți ambele părți la $\dfrac{3}{4}$, adică înmulțești cu inversul $\dfrac{4}{3}$.

    $\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{8}$

    $x = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{4}{3}$

    $x = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2}$

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

    Exemplul 4: coeficient negativ

    Rezolvă ecuația $-\dfrac{3}{5}x = 6$.

    Arată rezolvarea

    Împarți ambele părți la $-\dfrac{3}{5}$, adică înmulțești cu inversul $-\dfrac{5}{3}$.

    $-\dfrac{3}{5}x = 6$

    $x = 6 \cdot \left(-\dfrac{5}{3}\right)$

    $x = -10$

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

    Exemplul 5: coeficient zecimal, cu verificare

    Rezolvă ecuația $1{,}5x = 4{,}5$ și verifică soluția.

    Arată rezolvarea

    Împarți ambele părți la $1{,}5$.

    $1{,}5x = 4{,}5$

    $x = 4{,}5 : 1{,}5$

    $x = 3$

    Verific: $1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5$, egalitate adevărată, deci $x=3$ este soluția.

    Vezi lecția