Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 28 din 71

1. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 3: $ax=b$

   Rezolvă ecuația $6x = 18$.

   Arată rezolvarea

   Împarți ambele părți la coeficientul 6.

   $6x = 18$

   $x = 18 : 6$

   $x = 3$

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 4: coeficient negativ

   Rezolvă ecuația $-7x = 21$.

   Arată rezolvarea

   Împarți ambele părți la $-7$. Coeficient negativ, deîmpărțit pozitiv, câtul este negativ.

   $-7x = 21$

   $x = 21 : (-7)$

   $x = -3$

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 5: soluție negativă

   Rezolvă ecuația $x + 10 = 3$.

   Arată rezolvarea

   Scazi 10 din ambele părți. Soluția poate fi negativă, e un rezultat perfect valabil.

   $x + 10 = 3$

   $x = 3 - 10$

   $x = -7$

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 6: verificare prin înlocuire

   Verifică dacă $x=-2$ este soluția ecuației $3x + 1 = -5$.

   Arată rezolvarea

   Înlocuiești $x$ cu $-2$ și calculezi partea stângă.

   $3 \cdot (-2) + 1$înlocuiești x cu -2

   $= -6 + 1$

   $= -5$

   $-5 = -5$, egalitate adevărată, deci $x=-2$ este soluția ecuației.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 7: ecuație cu două operații

   Rezolvă ecuația $4x - 3 = 9$.

   Arată rezolvarea

   Întâi elimini termenul $-3$, apoi împarți la coeficientul 4.

   $4x - 3 = 9$

   $4x = 9 + 3$aduni 3 în ambele părți

   $4x = 12$

   $x = 12 : 4$împarți la 4

   $x = 3$

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 8: capcană de semn

   Rezolvă ecuația $-x + 5 = 8$.

   Arată rezolvarea

   $-x$ înseamnă $-1 \cdot x$. Elimini întâi termenul $5$, apoi împarți la $-1$.

   $-x + 5 = 8$

   $-x = 8 - 5$scazi 5 din ambele părți

   $-x = 3$

   $x = 3 : (-1)$împarți la -1

   $x = -3$

   Nu uita coeficientul de la $-x$

   $-x=3$ nu înseamnă $x=3$. Coeficientul lui $x$ este $-1$, deci $x = 3 : (-1) = -3$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 9: problemă cu temperatura

   Dimineața, termometrul arăta o anumită temperatură. Până la prânz, temperatura a crescut cu $7$ grade și a ajuns la $3$ grade. Câte grade erau dimineața?

   Arată rezolvarea

   1. Necunoscuta: $x$ = temperatura de dimineață, în grade.

   2. Ecuația: „a crescut cu $7$ grade” înseamnă $x + 7$, iar „a ajuns la $3$ grade” înseamnă $= 3$.

   $x + 7 = 3$

   $x = 3 - 7$3. scazi 7 din ambele părți

   $x = -4$

   4. Verificare în context: de la $-4$ grade, o creștere de $7$ grade duce la $-4 + 7 = 3$ grade. Se potrivește.

   Răspuns: dimineața erau $-4$ grade, adică $4$ grade sub zero.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

   Exemplul 10: problemă cu adâncimea, ecuație cu doi pași

   Un scafandru se află la $4$ m sub nivelul apei, adică la $-4$ m. Coboară de $3$ ori, de fiecare dată cu aceeași distanță, și ajunge la $-22$ m. Cu câți metri coboară de fiecare dată?

   Arată rezolvarea

   Necunoscuta: $x$ = schimbarea de poziție la o coborâre, în metri. O coborâre este o schimbare negativă, deci ne așteptăm ca $x$ să fie negativ.

   Ecuația: pornește de la $-4$ și adaugă de $3$ ori aceeași schimbare $x$.

   $-4 + 3x = -22$

   $3x = -22 + 4$aduni 4 în ambele părți

   $3x = -18$

   $x = -18 : 3$împarți la 3

   $x = -6$

   Verificare: $-4 + 3 \cdot (-6) = -4 - 18 = -22$. Se potrivește.

   Răspuns: $x = -6$ înseamnă că scafandrul coboară de fiecare dată $6$ m. Semnul minus arată sensul (în jos), iar răspunsul în cuvinte folosește distanța, $6$ m.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

   Exemplul 1: recunoașterea unei inecuații

   Care dintre următoarele scrieri este o inecuație: $x+4=9$ sau $x+4<9$?

   Arată rezolvarea

   $x+4=9$ este o ecuație, are semnul „$=$” și o singură soluție, $x=5$. $x+4<9$ este o inecuație, are semnul $<$ și mai multe soluții: $x=4, 3, 2, \ldots$

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 2: $x+a<b$

    Rezolvă inecuația $x+6<10$.

    Arată rezolvarea

    Scazi 6 din ambele părți, operația inversă adunării.

    $x + 6 < 10$

    $x < 10 - 6$

    $x < 4$

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 3: $x-a\ge b$

    Rezolvă inecuația $x-4\ge 3$.

    Arată rezolvarea

    Aduni 4 în ambele părți, operația inversă scăderii.

    $x - 4 \ge 3$

    $x \ge 3 + 4$

    $x \ge 7$

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 4: coeficient pozitiv

    Rezolvă inecuația $5x\le 20$.

    Arată rezolvarea

    Împarți ambele părți la 5, un număr pozitiv. Sensul rămâne neschimbat.

    $5x \le 20$

    $x \le 20 : 5$

    $x \le 4$

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 5: coeficient negativ

    Rezolvă inecuația $-4x>12$.

    Arată rezolvarea

    Împarți ambele părți la $-4$, un număr negativ. Sensul se inversează: $>$ devine $<$.

    $-4x > 12$

    $x < 12 : (-4)$

    $x < -3$

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 6: verificarea unei valori

    Este $x=3$ soluția inecuației $2x-1<4$?

    Arată rezolvarea

    Înlocuiești $x$ cu $3$ și calculezi.

    $2\cdot 3 - 1$

    $= 6 - 1$

    $= 5$

    $5<4$ este fals, deci $x=3$ nu este soluția inecuației.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 7: reprezentarea soluțiilor pe axă

    Rezolvă inecuația $x-5\ge 2$ și reprezintă soluțiile pe axa numerelor.

    Arată rezolvarea

    $x - 5 \ge 2$

    $x \ge 2 + 5$

    $x \ge 7$

    $7$$8$$9$$10$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$…

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Numere întregi›Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

    Exemplul 8: problemă formulată în text

    O firmă de transport nu poate încărca un camion cu mai mult de 40 de lăzi. Camionul are deja încărcate 25 de lăzi. Câte lăzi mai poate încărca?

    Arată rezolvarea

    Notezi cu $x$ numărul de lăzi pe care le mai poate încărca. „Nu mai mult de 40” înseamnă $\le 40$.

    $25 + x \le 40$

    $x \le 40 - 25$

    $x \le 15$

    Camionul mai poate fi încărcat cu cel mult 15 lăzi.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

    Exemplul 1: recunoașterea unui număr rațional

    Este $-2{,}5$ un număr rațional? Scrie-l ca fracție.

    Arată rezolvarea

    Da. $-2{,}5 = -\dfrac{25}{10} = -\dfrac{5}{2}$, iar $-5$ și $2$ sunt numere întregi, cu $2 \ne 0$.

    $$-2{,}5 = -\dfrac{5}{2}$$

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

    Exemplul 2: opusul

    Care este opusul lui $\dfrac{4}{7}$? Dar opusul lui $-3{,}6$?

    Arată rezolvarea

    $$\text{opusul lui } \dfrac{4}{7} \text{ este } -\dfrac{4}{7}$$

    $$\text{opusul lui } -3{,}6 \text{ este } 3{,}6$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

    Exemplul 3: modulul

    Cât este $\left\lvert -\dfrac{5}{6}\right\rvert$?

    Arată rezolvarea

    $-\dfrac{5}{6}$ este la $\dfrac{5}{6}$ unități de $0$ pe axă.

    $$\left\lvert -\dfrac{5}{6}\right\rvert = \dfrac{5}{6}$$

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Numere raționale›Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

    Exemplul 4: comparație cu semne diferite

    Compară $-\dfrac{7}{2}$ și $\dfrac{1}{5}$.

    Arată rezolvarea

    Unul e negativ, celălalt pozitiv. Orice pozitiv e mai mare decât orice negativ.

    $$-\dfrac{7}{2} < \dfrac{1}{5}$$

    Vezi lecția