Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 22 din 71

1. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

   Exemplul 9: problemă de grupare

   O florărie are $30$ de trandafiri și $42$ de garoafe. Vrea să facă buchete identice, fiecare cu același număr de trandafiri și același număr de garoafe, fără flori rămase, folosind numărul maxim de buchete. Câte buchete se pot face?

   Arată rezolvarea

   $$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \qquad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$$

   $$\text{CMMDC}(30,42) = 2 \cdot 3 = 6$$

   Se pot face $6$ buchete identice, fiecare cu $30:6=5$ trandafiri și $42:6=7$ garoafe.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

   Exemplul 10: verificare completă

   Verifică faptul că $\text{CMMDC}(36,48)=12$.

   Arată rezolvarea

   $36 : 12 = 3$

   $48 : 12 = 4$

   Ambele împărțiri sunt exacte, deci $12$ este divizor comun. Câturile $3$ și $4$ sunt prime între ele ($\text{CMMDC}(3,4)=1$), deci $12$ este cel mai mare divizor comun: rezultatul este confirmat.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 1: CMMMC prin enumerarea multiplilor

   Determină $\text{CMMMC}(6,8)$ enumerând multiplii.

   Arată rezolvarea

   Multiplii lui $6$: $0,6,12,18,24,30,36,\ldots$. Multiplii lui $8$: $0,8,16,24,32,40,\ldots$.

   Multiplii comuni pozitivi: $24, 48, \ldots$. Cel mai mic este $24$.

   $$\text{CMMMC}(6,8) = 24$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 2: CMMMC(12,18)

   Determină $\text{CMMMC}(12,18)$ prin descompunere în factori primi.

   Arată rezolvarea

   $$12 = 2^2 \cdot 3 \qquad 18 = 2 \cdot 3^2$$

   $\text{CMMMC}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2$

   $\text{CMMMC}(12,18) = 36$

   Verificare: $36:12=3$ și $36:18=2$, ambele exacte.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 3: CMMMC(24,30)

   Determină $\text{CMMMC}(24,30)$ prin descompunere în factori primi.

   Arată rezolvarea

   $$24 = 2^3 \cdot 3 \qquad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$

   $\text{CMMMC}(24,30) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

   $\text{CMMMC}(24,30) = 120$

   $5$ apare doar la $30$, dar tot intră în calcul: CMMMC ia toți factorii care apar, nu doar cei comuni.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 4: alt caz cu trei factori primi

   Determină $\text{CMMMC}(20,45)$.

   Arată rezolvarea

   $$20 = 2^2 \cdot 5 \qquad 45 = 3^2 \cdot 5$$

   Factorii care apar: $2$ (exponent maxim $2$), $3$ (exponent maxim $2$), $5$ (exponent maxim $1$, apare la ambele cu exponent $1$).

   $\text{CMMMC}(20,45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

   $\text{CMMMC}(20,45) = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 5: un număr divide pe celălalt

   Determină $\text{CMMMC}(8,24)$.

   Arată rezolvarea

   $8$ divide exact $24$ ($24:8=3$), deci $24$ este el însuși multiplu comun, și cel mai mic posibil.

   $$\text{CMMMC}(8,24) = 24$$

   Verificare prin descompunere: $8=2^3$, $24=2^3\cdot3$; exponentul maxim al lui $2$ este $3$, al lui $3$ este $1$; $2^3\cdot3=24$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 6: numere prime între ele (8 și 15)

   Determină $\text{CMMMC}(8,15)$, știind că $8$ și $15$ sunt prime între ele.

   Arată rezolvarea

   $$8 = 2^3 \qquad 15 = 3 \cdot 5$$

   Niciun factor comun, deci toți factorii intră direct în calcul: rezultatul este chiar produsul $8\cdot15$.

   $$\text{CMMMC}(8,15) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$$

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

   Exemplul 7: contrast cu regula CMMDC

   Pentru $12=2^2\cdot3$ și $18=2\cdot3^2$, spune atât $\text{CMMDC}(12,18)$, cât și $\text{CMMMC}(12,18)$, și explică diferența de regulă.

   Arată rezolvarea

   $\text{CMMDC}(12,18)$ ia doar factorii comuni ($2$ și $3$), la exponentul minim, adică $2^1\cdot3^1=6$.

   $\text{CMMMC}(12,18)$ ia toți factorii care apar ($2$ și $3$), la exponentul maxim, adică $2^2\cdot3^2=36$.

   $$\text{CMMDC}(12,18) = 6$$

   $$\text{CMMMC}(12,18) = 36$$

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

    Exemplul 8: găsește greșeala în alegerea exponenților

    Un elev calculează $\text{CMMMC}(12,18)$ și scrie $\text{CMMMC}(12,18)=2^1\cdot3^1=6$. Ce a greșit?

    Arată rezolvarea

    A ales exponentul minim al fiecărui factor, nu exponentul maxim. Aceea este regula pentru CMMDC, nu pentru CMMMC

    În plus, $6$ nu poate fi CMMMC al lui $12$ și $18$: $6$ este mai mic decât $12$ și decât $18$, iar un multiplu comun nu poate fi mai mic decât oricare dintre numerele inițiale.

    $$\text{CMMMC}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

    Exemplul 9: problemă de periodicitate

    Doi alergători pornesc împreună pe o pistă circulară. Primul face un tur complet în $9$ minute, al doilea în $12$ minute. Peste câte minute se vor întâlni din nou în punctul de start, amândoi în același timp?

    Arată rezolvarea

    $$9 = 3^2 \qquad 12 = 2^2 \cdot 3$$

    $$\text{CMMMC}(9,12) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

    Se vor întâlni din nou în punctul de start peste $36$ de minute.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

    Exemplul 10: verificare completă

    Verifică faptul că $\text{CMMMC}(24,30)=120$.

    Arată rezolvarea

    $120 : 24 = 5$

    $120 : 30 = 4$

    Ambele împărțiri sunt exacte, deci $120$ este multiplu comun. Câturile $5$ și $4$ sunt prime între ele, deci nu există un multiplu comun mai mic: rezultatul este confirmat.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 1: reflexivitate

    Arată că $9\mid9$.

    Arată rezolvarea

    Orice număr se divide pe sine: $9=9\cdot1$, deci împărțirea $9:9$ este exactă.

    $$9\mid9$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 2: tranzitivitate simplă

    Știind că $3\mid9$ și $9\mid45$, arată că $3\mid45$.

    Arată rezolvarea

    $$9 = 3\cdot3 \qquad 45 = 9\cdot5$$

    $45 = (3\cdot3)\cdot5 = 3\cdot15$

    $45=3\cdot15$, deci $3\mid45$, confirmat prin tranzitivitate.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 3: încă o tranzitivitate

    Știind că $4\mid8$ și $8\mid40$, arată că $4\mid40$.

    Arată rezolvarea

    $$8 = 4\cdot2 \qquad 40 = 8\cdot5$$

    $40 = (4\cdot2)\cdot5 = 4\cdot10$

    $40=4\cdot10$, deci $4\mid40$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 4: divizibilitatea sumei

    Știind că $6\mid18$ și $6\mid30$, arată că $6\mid48$.

    Arată rezolvarea

    $18+30=48$, iar $6$ divide fiecare termen.

    $18=6\cdot3$

    $30=6\cdot5$

    $18+30=6\cdot3+6\cdot5=6\cdot8=48$

    Confirmat: $6\mid48$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 5: divizibilitatea diferenței

    Știind că $8\mid56$ și $8\mid24$, arată că $8\mid32$.

    Arată rezolvarea

    $56-24=32$, iar $8$ divide fiecare termen, cu $56\geq24$.

    $56=8\cdot7$

    $24=8\cdot3$

    $56-24=8\cdot7-8\cdot3=8\cdot4=32$

    Confirmat: $8\mid32$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 6: divizibilitatea unui produs

    Știind că $5\mid15$, arată că $5\mid(15\cdot4)$.

    Arată rezolvarea

    $$15 = 5\cdot3$$

    $15\cdot4 = (5\cdot3)\cdot4 = 5\cdot12 = 60$

    $60=5\cdot12$, deci $5\mid60$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 7: combinarea a două proprietăți

    Știind că $4\mid8$ și $4\mid12$, arată că $4\mid(3\cdot8+12)$.

    Arată rezolvarea

    $3\cdot8 = 24 = 4\cdot6$Produs: $4\mid8 \Rightarrow 4\mid24$.

    $24+12 = 36 = 4\cdot9$Sumă: $4\mid24$ și $4\mid12 \Rightarrow 4\mid36$.

    $3\cdot8+12=36$, iar $36=4\cdot9$, deci $4\mid(3\cdot8+12)$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 8: identifică proprietatea folosită

    Un elev scrie: „$7\mid21$, deci $7\mid(21\cdot6)$”. Ce proprietate a folosit?

    Arată rezolvarea

    A folosit divizibilitatea unui produs: dacă $a\mid b$, atunci $a\mid(b\cdot k)$ pentru orice $k$ natural, aici cu $a=7$, $b=21$, $k=6$.

    $$21\cdot6=126=7\cdot18$$

    Vezi lecția