Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 21 din 71

1. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

   Exemplul 6: diferența $B \setminus A$

   Pentru aceleași mulțimi $A = \{1, 2, 3, 4\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$, determină $B \setminus A$ și compară cu $A \setminus B$.

   Arată rezolvarea

   Acum pornesc de la $B$ și scot ce se află și în $A$. Scot $3$ și $4$. Rămâne $5$.

   $$B \setminus A = \{5\}$$

   La exemplul trecut $A \setminus B = \{1, 2\}$. Rezultatele sunt diferite, deci $A \setminus B \ne B \setminus A$. Ordinea contează.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

   Exemplul 7: citește o diagramă Venn

   Scrie $A$, $B$, $A \cup B$, $A \cap B$ și $A \setminus B$ din diagrama de mai jos.

   Arată rezolvarea

   $A$$B$$2$$6$$4$$5$$7$$9$

   $A$ este tot ce se află în ovalul din stânga: $A = \{2, 4, 6\}$. $B$ este tot ce se află în ovalul din dreapta: $B = \{4, 5, 7, 9\}$.

   $A \cup B = \{2, 4, 5, 6, 7, 9\}$ (toate elementele). $A \cap B = \{4\}$ (zona comună). $A \setminus B = \{2, 6\}$ (doar zona lui $A$).

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

   Exemplul 8: o problemă cu mulțimi

   La olimpiada de matematică merg elevii $M = \{\text{Ana}, \text{Dan}, \text{Ema}, \text{Ioana}\}$, iar la cea de fizică merg $F = \{\text{Dan}, \text{Ema}, \text{Radu}\}$. Cine merge la cel puțin una dintre olimpiade? Cine merge la amândouă? Cine merge doar la matematică?

   Arată rezolvarea

   „La cel puțin una” înseamnă reuniune: $M \cup F = \{\text{Ana}, \text{Dan}, \text{Ema}, \text{Ioana}, \text{Radu}\}$.

   „La amândouă” înseamnă intersecție: $M \cap F = \{\text{Dan}, \text{Ema}\}$.

   „Doar la matematică” înseamnă diferența $M \setminus F = \{\text{Ana}, \text{Ioana}\}$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

   Exemplul 9: o proprietate simplă

   Fie $A = \{1, 2, 3\}$. Determină $A \cup \varnothing$, $A \cap \varnothing$ și $A \cup A$.

   Arată rezolvarea

   Mulțimea vidă nu are elemente. La reuniune nu adaugă nimic, deci $A \cup \varnothing = A = \{1, 2, 3\}$. La intersecție nu există element comun, deci $A \cap \varnothing = \varnothing$.

   Reuniunea lui $A$ cu el însuși nu aduce elemente noi: $A \cup A = A = \{1, 2, 3\}$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

   Exemplul 1: doi factori primi, unul repetat

   Scrie descompunerea lui $12$ în produs de puteri de numere prime.

   Arată rezolvarea

   $12 : 2 = 6$

   $6 : 2 = 3$

   $3 : 3 = 1$

   $$12 = 2^2 \cdot 3$$

   Verificare: $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

   Exemplul 2: o putere a unui singur număr prim

   Scrie descompunerea lui $32$ în produs de puteri de numere prime.

   Arată rezolvarea

   $32 : 2 = 16$

   $16 : 2 = 8$

   $8 : 2 = 4$

   $4 : 2 = 2$

   $2 : 2 = 1$

   $$32 = 2^5$$

   Toate împărțirile s-au făcut la $2$, deci descompunerea are un singur factor prim. Rezultatul este o putere a lui $2$, nu un produs de numere prime diferite.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

   Exemplul 3: niciun factor prim mic

   Scrie descompunerea lui $77$ în produs de puteri de numere prime.

   Arată rezolvarea

   Încerci numerele prime în ordine: $77$ este impar, deci nu se divide cu $2$; suma cifrelor este $7+7=14$, deci nu se divide cu $3$; ultima cifră nu este $0$ sau $5$, deci nu se divide cu $5$.

   $77 : 7 = 11$

   $11 : 11 = 1$

   $$77 = 7 \cdot 11$$

   Când $2$, $3$ și $5$ nu merg, nu te oprești: continui cu următorul număr prim, $7$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

   Exemplul 4: trei factori primi diferiți

   Scrie descompunerea lui $60$ în produs de puteri de numere prime.

   Arată rezolvarea

   $60 : 2 = 30$

   $30 : 2 = 15$

   $15 : 3 = 5$

   $5 : 5 = 1$

   $$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

   Verificare: $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

   Exemplul 5: schimbi factorul prim pe parcurs

   Scrie descompunerea lui $90$ în produs de puteri de numere prime.

   Arată rezolvarea

   $90 : 2 = 45$

   $45 : 3 = 15$

   $15 : 3 = 5$

   $5 : 5 = 1$

   $$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

   După prima împărțire, câtul $45$ nu mai este par, dar suma cifrelor lui ($4+5=9$) se divide cu $3$, deci continui cu $3$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

    Exemplul 6: un număr mai mare, cu verificare

    Scrie descompunerea lui $120$ în produs de puteri de numere prime.

    Arată rezolvarea

    $120 : 2 = 60$

    $60 : 2 = 30$

    $30 : 2 = 15$

    $15 : 3 = 5$

    $5 : 5 = 1$

    $$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

    Verificare: $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

    Exemplul 7: descompune un număr prim

    Scrie descompunerea lui $13$ în produs de puteri de numere prime.

    Arată rezolvarea

    $13$ este el însuși număr prim: singurii lui divizori sunt $1$ și $13$.

    $$13 = 13$$

    Nu există nimic de descompus mai departe. Un număr prim nu se scrie ca produs de alte numere prime, rămâne el însuși.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Descompunerea în produs de puteri de numere prime

    Exemplul 8: găsește și corectează o descompunere neterminată

    Un coleg a scris $24 = 4 \cdot 6$ ca descompunere în factori primi a lui $24$. Este corectă? Dacă nu, corectează-o.

    Arată rezolvarea

    Nu este corectă. Nici $4$, nici $6$ nu sunt numere prime, deci descompunerea nu s-a încheiat.

    $4 = 2 \cdot 2$4 este compus, se mai descompune.

    $6 = 2 \cdot 3$6 este compus, se mai descompune.

    $$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$$

    Forma corectă, cu toți factorii primi, este $24 = 2^3 \cdot 3$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 1: CMMDC prin enumerarea divizorilor

    Determină $\text{CMMDC}(12,18)$ enumerând divizorii.

    Arată rezolvarea

    Divizorii lui $12$: $1,2,3,4,6,12$. Divizorii lui $18$: $1,2,3,6,9,18$.

    Divizorii comuni: $1,2,3,6$. Cel mai mare este $6$.

    $$\text{CMMDC}(12,18) = 6$$

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 2: CMMDC(18,24)

    Determină $\text{CMMDC}(18,24)$ prin descompunere în factori primi.

    Arată rezolvarea

    $$18 = 2 \cdot 3^2 \qquad 24 = 2^3 \cdot 3$$

    $\text{CMMDC}(18,24) = 2^1 \cdot 3^1$

    $\text{CMMDC}(18,24) = 6$

    Verificare: $18:6=3$ și $24:6=4$, ambele exacte.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 3: CMMDC(36,48)

    Determină $\text{CMMDC}(36,48)$ prin descompunere în factori primi.

    Arată rezolvarea

    $$36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 48 = 2^4 \cdot 3$$

    $\text{CMMDC}(36,48) = 2^2 \cdot 3^1$

    $\text{CMMDC}(36,48) = 12$

    Verificare: $36:12=3$ și $48:12=4$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 4: un factor prim care nu este comun

    Determină $\text{CMMDC}(28,42)$.

    Arată rezolvarea

    $$28 = 2^2 \cdot 7 \qquad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$$

    Factorii primi comuni sunt $2$ (exponent minim $1$) și $7$ (exponent minim $1$). Factorul $3$ apare doar la $42$, deci nu intră în CMMDC.

    $\text{CMMDC}(28,42) = 2 \cdot 7$

    $\text{CMMDC}(28,42) = 14$

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 5: un număr divide pe celălalt

    Determină $\text{CMMDC}(9,27)$.

    Arată rezolvarea

    $9$ divide exact $27$ ($27:9=3$), deci $9$ este el însuși CMMDC

    $$\text{CMMDC}(9,27) = 9$$

    Verificare prin descompunere: $9=3^2$, $27=3^3$, exponentul minim al lui $3$ este $2$, deci $3^2=9$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 6: numere prime între ele (8 și 15)

    Arată că $8$ și $15$ sunt prime între ele.

    Arată rezolvarea

    $$8 = 2^3 \qquad 15 = 3 \cdot 5$$

    Niciun factor prim nu se repetă la amândouă, deci $\text{CMMDC}(8,15)=1$.

    $8$ și $15$ sunt prime între ele, deși niciunul dintre ele nu este un număr prim.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 7: numere care nu sunt prime între ele (12 și 18)

    Arată că $12$ și $18$ nu sunt prime între ele.

    Arată rezolvarea

    $$12 = 2^2 \cdot 3 \qquad 18 = 2 \cdot 3^2$$

    Factorii comuni sunt $2$ și $3$.

    $$\text{CMMDC}(12,18) = 2 \cdot 3 = 6 \neq 1$$

    Cum CMMDC nu este $1$, $12$ și $18$ nu sunt prime între ele.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

    Exemplul 8: găsește greșeala în alegerea exponenților

    Un elev calculează $\text{CMMDC}(18,24)$ și scrie $\text{CMMDC}(18,24)=2^3\cdot3^2=72$. Ce a greșit?

    Arată rezolvarea

    A ales exponentul maxim al fiecărui factor, nu exponentul minim. Aceea ar fi regula pentru CMMMC, nu pentru CMMDC

    În plus, $72$ nu poate fi CMMDC al lui $18$ și $24$: $72$ este mai mare decât $18$ și decât $24$, deci nu poate fi divizor comun al lor.

    $$\text{CMMDC}(18,24) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$$

    Vezi lecția