Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 20 din 71

1. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 2: un contraexemplu

   Fie $C = \{2, 6\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Este $C$ submulțime a lui $B$?

   Arată rezolvarea

   Verific elementele lui $C$. $2 \in B$? Da. $6 \in B$? Nu, $6$ nu apare în $B$.

   Am găsit un element al lui $C$ care nu este în $B$, deci $C$ nu este submulțime a lui $B$. Scriem $C \not\subset B$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 3: citește o diagramă de incluziune

   Ce relații poți scrie din diagrama de mai jos?

   Arată rezolvarea

   $N$$1$$5$$7$

   $M$$3$$9$

   $M \subset N$$3 \in M$$7 \in N$$7 \notin M$

   Ovalul lui $M$ este în interiorul ovalului lui $N$, deci $M \subset N$. Pentru elemente: $3 \in M$ și $9 \in M$; $1$, $5$, $7$ sunt în $N$, dar nu în $M$, deci $7 \notin M$ și $7 \in N$.

   Scrise ca liste, $M = \{3, 9\}$ și $N = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 4: mulțimi egale

   Sunt egale mulțimile $A = \{5, 1, 5, 3\}$ și $B = \{1, 3, 5\}$?

   Arată rezolvarea

   Rescriu $A$ fără repetări și fără să conteze ordinea: $A = \{1, 3, 5\}$.

   Acum $A$ și $B$ au exact aceleași elemente, deci $A = B$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 5: $\in$ sau $\subset$

   Fie $A = \{1, 2\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4\}$. Care dintre scrierile $2 \in A$, $2 \subset A$, $A \subset B$, $A \in B$ sunt corecte?

   Arată rezolvarea

   • $2 \in A$: corect, $2$ este element al lui $A$.
   • $2 \subset A$: greșit, $2$ este un element, nu o mulțime.
   • $A \subset B$: corect, $1$ și $2$ sunt amândouă în $B$.
   • $A \in B$: greșit, elementele lui $B$ sunt numere, nu mulțimea $A$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 6: toate submulțimile

   Scrie toate submulțimile mulțimii $\{p, q, r\}$.

   Arată rezolvarea

   Le grupez după câte elemente au.

   • Cu $0$ elemente: $\varnothing$.
   • Cu $1$ element: $\{p\}$, $\{q\}$, $\{r\}$.
   • Cu $2$ elemente: $\{p, q\}$, $\{p, r\}$, $\{q, r\}$.
   • Cu $3$ elemente: $\{p, q, r\}$.

   În total $8$ submulțimi, adică $2^3$. Printre ele sunt și $\varnothing$, și mulțimea întreagă.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 7: mulțimi date printr-o proprietate

   Fie $A = \{\,x \mid x \text{ natural},\ x < 4\,\}$ și $B = \{\,x \mid x \text{ natural},\ x < 10\,\}$. Este $A \subset B$?

   Arată rezolvarea

   Scriu fiecare mulțime prin enumerare. $A = \{0, 1, 2, 3\}$ și $B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

   Fiecare element al lui $A$ este mai mic decât $4$, deci este și mai mic decât $10$. Toate elementele lui $A$ sunt în $B$, deci $A \subset B$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Relații între mulțimi

   Exemplul 8: mulțimea părților

   Scrie mulțimea părților $P(A)$ pentru $A = \{5, 7\}$.

   Arată rezolvarea

   Submulțimile lui $A$ sunt: $\varnothing$, $\{5\}$, $\{7\}$ și $\{5, 7\}$.

   $$P(A) = \{\varnothing,\ \{5\},\ \{7\},\ \{5, 7\}\}$$

   Sunt $4$ submulțimi, adică $2^2$. Fiecare element al lui $P(A)$ este ea însăși o mulțime.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

   Exemplul 1: mulțime finită

   Este mulțimea lunilor anului finită sau infinită? Dacă este finită, care este cardinalul ei?

   Arată rezolvarea

   Pot număra lunile: ianuarie, februarie, martie, ..., decembrie. Numărătoarea se termină la decembrie.

   Mulțimea este finită. Sunt $12$ luni, deci cardinalul ei este $12$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

   Exemplul 2: mulțime infinită

   Este mulțimea multiplilor lui $3$ finită sau infinită?

   Arată rezolvarea

   Scriu primele elemente: $0, 3, 6, 9, 12, 15, \ldots$

   După fiecare multiplu de $3$ vine altul, cu $3$ mai mare. Lista nu se poate termina, deci mulțimea este infinită.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 3: cardinal simplu

    Calculează $\operatorname{card}(A)$ și $\operatorname{card}(B)$ pentru $A = \{10, 20, 30, 40, 50\}$ și $B = \{p, q, r\}$.

    Arată rezolvarea

    Număr elementele scrise în fiecare mulțime.

    $A$ are cinci elemente, deci $\operatorname{card}(A) = 5$. $B$ are trei elemente, deci $\operatorname{card}(B) = 3$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 4: elemente repetate în scriere

    Care este cardinalul mulțimii $C = \{4, 4, 7, 9, 9, 9\}$?

    Arată rezolvarea

    Rescriu mulțimea fără repetări: $C = \{4, 7, 9\}$.

    Elementele distincte sunt $4$, $7$ și $9$, deci $\operatorname{card}(C) = 3$. Un element repetat în scriere nu se numără de mai multe ori.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 5: cardinalul mulțimii vide

    Fie $D$ mulțimea numerelor naturale mai mari decât $8$ și mai mici decât $9$. Cât este $\operatorname{card}(D)$?

    Arată rezolvarea

    Între $8$ și $9$ nu există niciun număr natural. După $8$ urmează direct $9$.

    Mulțimea $D$ nu are niciun element, deci $D = \varnothing$ și $\operatorname{card}(D) = 0$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 6: mulțimea numerelor naturale

    Este $\mathbb{N}$ finită sau infinită? Are un cel mai mare element?

    Arată rezolvarea

    Fie $n$ un număr natural oarecare. Atunci $n + 1$ este tot număr natural și este mai mare decât $n$.

    Oricare număr aș alege, există mereu unul mai mare. Deci $\mathbb{N}$ nu are un cel mai mare element și este infinită.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 7: mulțime infinită dată printr-o proprietate

    Fie $E = \{\,x \mid x \text{ natural},\ x > 100\,\}$. Este $E$ finită sau infinită?

    Arată rezolvarea

    Elementele lui $E$ sunt $101, 102, 103, 104, \ldots$

    Nu există un cel mai mare număr natural, deci nici lista numerelor mai mari decât $100$ nu se termină. Mulțimea $E$ este infinită.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

    Exemplul 8: citește o semiaxă

    Ce mulțime este marcată pe semiaxa de mai jos și cât este cardinalul ei?

    Arată rezolvarea

    $0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$…

    Marcajele cu valoare sunt $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Mulțimea marcată este $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, o mulțime finită cu cardinalul $7$.

    Săgeata și cele trei puncte arată că semiaxa continuă. Numerele marcate sunt doar o parte din $\mathbb{N}$, care este infinită.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

    Exemplul 1: reuniune simplă

    Fie $A = \{2, 4, 6\}$ și $B = \{1, 3, 5\}$. Determină $A \cup B$.

    Arată rezolvarea

    Scriu într-o singură mulțime toate elementele din $A$ și din $B$. Nu au niciun element comun, deci le iau pe toate.

    $$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

    Le-am ordonat crescător ca să se citească ușor, dar ordinea nu schimbă mulțimea.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

    Exemplul 2: reuniune cu element comun

    Fie $A = \{1, 2, 3, 4\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$. Determină $A \cup B$.

    Arată rezolvarea

    Din $A$ iau $1$, $2$, $3$, $4$. Din $B$ mai am nevoie doar de $5$, pentru că $3$ și $4$ sunt deja scrise.

    $$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$

    Elementele comune $3$ și $4$ apar o singură dată în rezultat.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

    Exemplul 3: intersecție simplă

    Fie $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ și $B = \{2, 4, 6, 8\}$. Determină $A \cap B$.

    Arată rezolvarea

    Verific ce elemente sunt în amândouă mulțimile. $2$ este în $A$ și în $B$. $4$ este în $A$ și în $B$. $6$ și $8$ nu sunt în $A$.

    $$A \cap B = \{2, 4\}$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

    Exemplul 4: intersecție vidă

    Fie $A = \{1, 3, 5\}$ și $B = \{2, 4\}$. Determină $A \cap B$. Sunt $A$ și $B$ disjuncte?

    Arată rezolvarea

    Caut elemente comune. $A$ are numere impare, $B$ are numere pare, deci nu au niciun element comun.

    $$A \cap B = \varnothing$$

    Intersecția este mulțimea vidă, deci $A$ și $B$ sunt disjuncte.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

    Exemplul 5: diferența $A \setminus B$

    Fie $A = \{1, 2, 3, 4\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$. Determină $A \setminus B$.

    Arată rezolvarea

    Pornesc de la elementele lui $A$ și scot ce se află și în $B$. Scot $3$ și $4$. Rămân $1$ și $2$.

    $$A \setminus B = \{1, 2\}$$

    Vezi lecția