Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 19 din 71

1. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Centimetri cubi în decimetri cubi

   Transformă $4500$ cm³ în dm³.

   Arată rezolvarea

   ← : 1000dm³cm³×1000 →

   dm³			cm³
   		4	5	0	0

   $4500$ cm³ $=$ $4{,}5$ dm³

   $4500 \text{ cm}^3 = (4500 : 1000) \text{ dm}^3 = 4{,}5 \text{ dm}^3$

   Verificare: dm³ este unitatea mai mare, deci numărul a ieșit mai mic.

   Vezi lecția
2. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Doi pași: metri cubi în centimetri cubi

   Transformă $7$ m³ în cm³.

   Arată rezolvarea

   ← : 1000← : 1000m³dm³cm³×1000 →×1000 →

   m³			dm³			cm³
   		7	0	0	0	0	0	0

   $7$ m³ $=$ $7000$ dm³ $=$ $7\,000\,000$ cm³

   $7 \text{ m}^3 = 7000 \text{ dm}^3$primul pas: $\cdot 1000$

   $7000 \text{ dm}^3 = 7\,000\,000 \text{ cm}^3$al doilea pas: încă $\cdot 1000$

   Vezi lecția
3. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Decimetri cubi în litri

   O cutie are volumul interior de $2$ dm³. Câți litri de apă încap în ea?

   Arată rezolvarea

   Fiecare decimetru cub este un litru

   Volum	Capacitate
   $1$ dm³	$1$ L
   $2$ dm³	$2$ L

   Fiecare decimetru cub este exact un litru. Două cuburi cu muchia de $1$ dm înseamnă doi litri: $2$ dm³ $= 2$ L.

   Vezi lecția
4. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Centimetri cubi în mililitri

   Un pahar are capacitatea de $750$ cm³. Câți mililitri de suc încap în el? Dar câți litri?

   Arată rezolvarea

   ← : 10← : 10← : 10← : 10← : 10hLdaLLdLcLmL×10 →×10 →×10 →×10 →×10 →

   Fiecare centimetru cub este exact un mililitru, deci $750$ cm³ $= 750$ mL.

   $750 \text{ mL} = (750 : 1000) \text{ L} = 0{,}75 \text{ L}$de la mL la L sunt $3$ pași de $10$

   Vezi lecția
5. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Metri cubi în litri

   O piscină mică are volumul interior de $1{,}5$ m³. Câți litri de apă încap în ea?

   Arată rezolvarea

   Metri cubi în litri, în doi pași

   Pasul	De ce
   $1{,}5$ m³ $= 1500$ dm³	de la m³ la dm³: $\cdot 1000$
   $1500$ dm³ $= 1500$ L	fiecare dm³ este un litru

   $1{,}5 \text{ m}^3 = 1500 \text{ dm}^3 = 1500 \text{ L}$

   Atenție: un metru cub nu este un litru, ci o mie de litri. De aceea numărul de litri iese de o mie de ori mai mare.

   Vezi lecția
6. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Volumul unei cutii

   O cutie are lungimea de $6$ cm, lățimea de $4$ cm și înălțimea de $5$ cm. Află volumul ei.

   Arată rezolvarea

   Cuburi-unitate: pe lungime 6 cuburi, pe lățime 4 cuburi, pe înălțime 5 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

   Un strat are $6 \cdot 4 = 24$ de cuburi de $1$ cm, iar straturile sunt $5$.

   $V = L \cdot l \cdot h = 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^3$

   Vezi lecția
7. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   O ladă, în decimetri cubi și în litri

   O ladă are $8$ dm pe $5$ dm pe $4$ dm. Care este volumul ei? Câți litri de grâu încap în ea?

   Arată rezolvarea

   Cuburi-unitate: pe lungime 8 cuburi, pe lățime 5 cuburi, pe înălțime 4 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 dm.

   $V = 8 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm} = 160 \text{ dm}^3 = 160 \text{ L}$

   Pentru că dimensiunile sunt în decimetri, volumul iese în dm³, adică direct în litri.

   Vezi lecția
8. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Volumul cubului

   Află volumul cubului cu muchia de $5$ cm.

   Arată rezolvarea

   Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 5 cuburi, pe înălțime 5 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

   $V = l^3 = 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$

   $5^3$ înseamnă $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, nu $5 \cdot 3 = 15$.

   Vezi lecția
9. Clasa a V-a

   Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

   Un recipient în formă de cub

   Un recipient în formă de cub are muchia interioară de $2$ dm. Câți litri încap în el?

   Arată rezolvarea

   Cuburi-unitate: pe lungime 2 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 dm.

   $V = (2 \text{ dm})^3 = 8 \text{ dm}^3 = 8 \text{ L}$

   Dublarea muchiei nu dublează volumul: cubul cu muchia de $2$ dm are $8$ cuburi de $1$ dm, nu $2$.

   Vezi lecția
10. Clasa a V-a

    Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

    Câți litri încap în acvariu

    Un acvariu are lungimea de $60$ cm, lățimea de $30$ cm și înălțimea de $40$ cm. Câți litri de apă încap în el?

    Arată rezolvarea

    Cuburi-unitate: pe lungime 6 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 4 straturi. Un cub-unitate are muchia de 10 cm.

    Vrem litri, deci lucrăm în decimetri: $60$ cm $= 6$ dm, $30$ cm $= 3$ dm, $40$ cm $= 4$ dm.

    $V = 6 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm} = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}$

    Verificare în centimetri: $60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000$, adică $72\,000$ cm³, iar $72\,000$ cm³ $= 72$ dm³.

    Vezi lecția
11. Clasa a V-a

    Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

    Dimensiuni în unități diferite

    Un rezervor dreptunghiular are $2$ m lungime, $50$ cm lățime și $30$ cm înălțime. Câți litri de apă încap în el?

    Arată rezolvarea

    Dimensiunile rezervorului, aduse la aceeași unitate

    Dimensiunea	Dată	În decimetri
    lungimea	$2$ m	$20$ dm
    lățimea	$50$ cm	$5$ dm
    înălțimea	$30$ cm	$3$ dm

    $V = 20 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} = 300 \text{ dm}^3 = 300 \text{ L}$

    Greșit ar fi să înmulțim $2$, $50$ și $30$ direct: am amesteca metri cu centimetri.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 1: scrie prin enumerare

    Scrie prin enumerare mulțimea numerelor naturale mai mari decât $2$ și mai mici sau egale cu $7$.

    Arată rezolvarea

    Caut numerele naturale strict mai mari decât $2$: încep de la $3$. Merg până la $7$, care este acceptat pentru că este „mai mic sau egal cu $7$”.

    $$A = \{3, 4, 5, 6, 7\}$$

    Atenție la capete: $2$ nu intră (nu este mai mare decât el însuși), $7$ intră.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 2: de la proprietate la listă

    Scrie prin enumerare mulțimea $B = \{\,x \mid x \text{ divizor al lui } 18\,\}$.

    Arată rezolvarea

    Caut toate numerele care împart exact $18$. Le iau pe rând: $1$ și $18$, $2$ și $9$, $3$ și $6$.

    $$B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$$

    Le-am scris în ordine crescătoare ca să nu îmi scape niciunul, dar ordinea nu schimbă mulțimea.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 3: de la listă la proprietate

    Găsește o proprietate caracteristică pentru $C = \{5, 10, 15, 20, 25\}$.

    Arată rezolvarea

    Ce au în comun toate elementele? Sunt toate multipli de $5$. Se opresc la $25$.

    O descriere prin proprietate: mulțimea multiplilor lui $5$ de la $5$ până la $25$. Sau: $C = \{\,5 \cdot k \mid k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\,\}$.

    Pot exista mai multe formulări corecte. Contează ca proprietatea să prindă exact aceste elemente, nici mai multe, nici mai puține.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 4: reprezintă prin diagramă

    Desenează diagrama mulțimii $D = \{1, 3, 5, 7\}$ și arată unde stă numărul $4$.

    Arată rezolvarea

    $D$$1$$3$$5$$7$

    în afară$4$

    $3 \in D$$4 \notin D$

    Cele patru elemente se scriu în oval. Numărul $4$ nu este element al lui $D$, deci se scrie în afara ovalului.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 5: folosește $\in$

    Fie $E = \{0, 2, 4, 6, 8\}$. Completează cu $\in$ acolo unde este adevărat: $0 \;\square\; E$, $8 \;\square\; E$.

    Arată rezolvarea

    $0$ este scris în mulțime, deci $0 \in E$. $8$ este scris în mulțime, deci $8 \in E$.

    Verificarea este mereu aceeași: caut elementul în lista dintre acolade. Dacă îl găsesc, folosesc $\in$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 6: folosește $\notin$

    Fie $E = \{0, 2, 4, 6, 8\}$. Este adevărat că $5 \in E$? Dar $10 \in E$?

    Arată rezolvarea

    $5$ nu apare în listă, deci $5 \in E$ este fals. Scrierea corectă este $5 \notin E$.

    $10$ ar continua tiparul numerelor pare, dar mulțimea se oprește la $8$. Deci $10 \notin E$.

    Nu completa singur tiparul

    O mulțime scrisă prin enumerare are exact elementele scrise. Nu adăuga elemente doar pentru că ar respecta o regulă.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 7: mulțime numerică

    Mulțimea numerelor naturale de o cifră este numerică sau nenumerică? Scrie-o prin enumerare.

    Arată rezolvarea

    Elementele sunt numere, deci mulțimea este numerică. Numerele naturale de o cifră sunt de la $0$ la $9$.

    $$F = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

    Exemplul 8: mulțime nenumerică

    Fie $G$ mulțimea literelor distincte din cuvântul „matematica”. Scrie $G$ prin enumerare și spune dacă este numerică. Este adevărat că $k \in G$?

    Arată rezolvarea

    Iau literele pe rând și o scriu o singură dată pe fiecare: m, a, t, e, i, c.

    $$G = \{m, a, t, e, i, c\}$$

    Elementele sunt litere, deci $G$ este o mulțime nenumerică. Litera k nu apare în cuvânt, deci $k \notin G$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Mulțimi›Relații între mulțimi

    Exemplul 1: verifică o incluziune

    Fie $A = \{3, 5\}$ și $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$. Este adevărat că $A \subset B$?

    Arată rezolvarea

    Iau pe rând elementele lui $A$. $3 \in B$? Da. $5 \in B$? Da.

    Toate elementele lui $A$ sunt în $B$, deci $A \subset B$ este adevărat.

    Vezi lecția