Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 23 din 71

1. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

   Exemplul 9: detectează o reciprocă falsă

   Un elev afirmă: „$4\mid(10+6)$, deci $4\mid10$ și $4\mid6$”. Este corect raționamentul?

   Arată rezolvarea

   $10+6=16$ și $4\mid16$, deci prima parte e adevărată. Dar concluzia „deci $4\mid10$ și $4\mid6$” e greșită: reciproca proprietății sumei nu este validă.

   $$4\nmid10 \qquad 4\nmid6$$

   Din faptul că $4$ divide suma nu rezultă că $4$ divide fiecare termen.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Divizibilitatea numerelor naturale›Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

   Exemplul 10: produs și diferență într-un singur raționament

   Știind că $3\mid12$ și $3\mid21$, arată, justificând fiecare pas, că $3\mid(12\cdot7-21)$.

   Arată rezolvarea

   Pasul 1 (produs): din $3\mid12$ rezultă $3\mid(12\cdot7)$.

   $$12\cdot7=84=3\cdot28$$

   Pasul 2 (diferență): $3\mid84$ și $3\mid21$, iar $84\geq21$, deci $3\mid(84-21)$.

   $$84-21=63=3\cdot21$$

   Concluzie: $3\mid(12\cdot7-21)$, adică $3\mid63$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 1: scrierea unui raport

   Într-o clasă sunt $15$ fete și $10$ băieți. Scrie raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților.

   Arată rezolvarea

   $$15 : 10 = \dfrac{15}{10}$$

   Raportul cerut este $\dfrac{15}{10}$, care se simplifică prin $5$ la $\dfrac{3}{2}$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 2: interpretarea unui raport

   Raportul dintre lungimea unui gard și lungimea unui stâlp este $\dfrac{20}{4}=5$. Ce înseamnă acest raport?

   Arată rezolvarea

   Gardul este de $5$ ori mai lung decât stâlpul.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 3: efectul schimbării ordinii termenilor

   Într-o livadă sunt $18$ meri și $6$ pruni. Scrie raportul meri : pruni și raportul pruni : meri. Sunt același raport?

   Arată rezolvarea

   $$\text{meri : pruni} = 18 : 6 = 3$$

   $$\text{pruni : meri} = 6 : 18 = \dfrac{1}{3}$$

   Nu sunt același raport: $3$ și $\dfrac{1}{3}$ sunt numere diferite. Ordinea termenilor schimbă raportul.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 4: simplificarea unui raport

   Simplifică raportul $\dfrac{24}{16}$.

   Arată rezolvarea

   $24$ și $16$ au divizorul comun $8$.

   $$\dfrac{24}{16} = \dfrac{24 \div 8}{16 \div 8} = \dfrac{3}{2}$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 5: recunoașterea unei proporții

   Formează $\dfrac{6}{9}$ și $\dfrac{8}{12}$ o proporție?

   Arată rezolvarea

   $6 \times 12 = 72$produsul extremilor

   $9 \times 8 = 72$produsul mezilor

   $72 = 72$, deci $\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{12}$ este o proporție.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 6: verificarea prin proprietatea fundamentală

   Verifică dacă $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$.

   Arată rezolvarea

   $5 \times 18 = 90$

   $6 \times 15 = 90$

   Produsele sunt egale, deci $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ este adevărat.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

   Exemplul 7: termen necunoscut (un mez)

   Rezolvă $\dfrac{7}{x} = \dfrac{21}{9}$.

   Arată rezolvarea

   $7 \times 9 = 21x$produsul extremilor egal cu produsul mezilor

   $63 = 21x$

   $x = 63 : 21$

   $x = 3$

   Verificare: $\dfrac{7}{3} = \dfrac{21}{9}$, iar $7 \times 9 = 63$ și $3 \times 21 = 63$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

    Exemplul 8: termen necunoscut (un extrem)

    Rezolvă $\dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{4}$.

    Arată rezolvarea

    $4x = 8 \times 9$produsul extremilor egal cu produsul mezilor

    $4x = 72$

    $x = 72 : 4$

    $x = 18$

    Verificare: $\dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4}$, iar $18 \times 4 = 72$ și $8 \times 9 = 72$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

    Exemplul 9: problemă contextuală

    Pentru a prepara o vopsea, se amestecă alb și albastru în raportul $3 : 2$. Câți litri de albastru sunt necesari pentru $12$ litri de alb, dacă raportul rămâne același?

    Arată rezolvarea

    Fie $x$ numărul de litri de albastru. Raportul dintre alb și albastru trebuie să rămână $\dfrac{3}{2}$, deci $\dfrac{12}{x} = \dfrac{3}{2}$, cu $x \neq 0$.

    $12 \times 2 = 3x$produsul extremilor egal cu produsul mezilor

    $24 = 3x$

    $x = 24 : 3$

    $x = 8$

    Sunt necesari $8$ litri de albastru. Verificare: $\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$, pentru că $12 \times 2 = 24$ și $8 \times 3 = 24$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 1: identificarea unei proporții derivate corecte

    Din $\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10}$, este $\dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{10}$ o proporție derivată corectă (prin schimbarea mezilor)?

    Arată rezolvarea

    Mezii proporției inițiale sunt $5$ și $8$. Schimbarea lor produce $\dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{10}$.

    $4 \times 10 = 40$produsul extremilor

    $8 \times 5 = 40$produsul mezilor

    $40 = 40$, deci este o proporție derivată corectă.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 2: inversarea unei proporții

    Scrie proporția obținută prin inversarea lui $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ și verifică-o.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{6}{5} = \dfrac{18}{15}$$

    $6 \times 15 = 90$produsul extremilor

    $5 \times 18 = 90$produsul mezilor

    $90 = 90$, proporția inversată este adevărată.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 3: schimbarea extremilor

    Din $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$, scrie proporția derivată prin schimbarea extremilor și verifică-o.

    Arată rezolvarea

    Extremii sunt $3$ și $12$. Schimbarea lor produce $\dfrac{12}{4} = \dfrac{9}{3}$.

    $12 \times 3 = 36$produsul extremilor

    $4 \times 9 = 36$produsul mezilor

    $36 = 36$, deci $\dfrac{12}{4} = \dfrac{9}{3}$ este o proporție (amândouă rapoartele sunt egale cu $3$).

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 4: proporție derivată prin adunarea termenilor

    Din $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$, scrie și verifică proporția derivată prin adunarea termenilor.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{3+5}{5} = \dfrac{6+10}{10} \;\Rightarrow\; \dfrac{8}{5} = \dfrac{16}{10}$$

    $8 \times 10 = 80$produsul extremilor

    $5 \times 16 = 80$produsul mezilor

    $80 = 80$, transformarea este corectă.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 5: mai multe proporții derivate din aceeași proporție

    Din $\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15}$, scrie proporția obținută prin inversare și proporția obținută prin schimbarea mezilor. Verifică-le.

    Arată rezolvarea

    Proporția inițială este adevărată: $4 \times 15 = 60$ și $6 \times 10 = 60$. Condițiile sunt îndeplinite, toți termenii sunt nenuli.

    Inversare:

    $$\dfrac{6}{4} = \dfrac{15}{10}$$

    $6 \times 10 = 60$produsul extremilor

    $4 \times 15 = 60$produsul mezilor

    Schimbarea mezilor ($6$ și $10$):

    $$\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15}$$

    $4 \times 15 = 60$produsul extremilor

    $10 \times 6 = 60$produsul mezilor

    Ambele sunt proporții adevărate.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 6: termen necunoscut cu ajutorul unei proporții derivate

    Rezolvă $\dfrac{x}{4} = \dfrac{15}{10}$ schimbând mai întâi mezii, apoi folosind proprietatea fundamentală.

    Arată rezolvarea

    Schimbi mezii ($4$ și $15$), cu $15 \neq 0$: $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{10}$.

    $10x = 15 \times 4$proprietatea fundamentală, pe proporția derivată

    $10x = 60$

    $x = 6$

    Aceeași ecuație $10x = 60$ se obține și direct din proporția inițială, pentru că proporția derivată are aceeași egalitate a produselor. Verificare în proporția inițială: $\dfrac{6}{4} = \dfrac{15}{10}$, iar $6 \times 10 = 60$ și $4 \times 15 = 60$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 7: transformare corectă versus transformare greșită

    Din $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$, un elev scrie $\dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{6}$, inversând doar al doilea raport. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Inversarea trebuie aplicată la ambele rapoarte deodată, nu doar la unul.

    $2 \times 6 = 12$produsul extremilor, în egalitatea greșită

    $5 \times 15 = 75$produsul mezilor

    $12 \neq 75$, deci $\dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{6}$ nu este o proporție. Transformarea corectă ar fi inversarea completă: $\dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{6}$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Rapoarte și proporții›Proporții derivate

    Exemplul 8: raport și suma a două numere

    Într-o clasă raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $\dfrac{4}{5}$, iar în total sunt $27$ de elevi. Câte fete și câți băieți sunt?

    Arată rezolvarea

    Fie $f$ numărul fetelor și $b$ numărul băieților, cu $\dfrac{f}{b} = \dfrac{4}{5}$ și $f + b = 27$. Folosești adunarea termenilor.

    $\dfrac{f+b}{b} = \dfrac{4+5}{5}$proporția derivată prin adunarea termenilor

    $\dfrac{27}{b} = \dfrac{9}{5}$

    $9b = 27 \times 5$

    $9b = 135$

    $b = 15$

    $f = 27 - 15 = 12$din $f + b = 27$

    Sunt $12$ fete și $15$ băieți. Verificare: $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$, pentru că $12 \times 5 = 60$ și $15 \times 4 = 60$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Exemplul 1: recunoașterea unui șir valid

    Este $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15}$ un șir de rapoarte egale?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{3}{5}$deja ireductibil

    $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$simplificat prin 2

    $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$simplificat prin 3

    Toate cele trei rapoarte au valoarea $\dfrac{3}{5}$, deci este un șir de rapoarte egale.

    Vezi lecția