Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 24 din 71

1. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 2: verificarea egalității rapoartelor

   Verifică dacă $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{12}$ este un șir de rapoarte egale.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

   $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

   $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$

   Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\dfrac{2}{3}$, deci egalitatea este confirmată.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 3: completarea unui termen necunoscut

   Completează: $\dfrac{x}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$valoarea comună

   $\dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{4}$

   $x = 3$

   Verificare: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 4: completarea a doi termeni necunoscuți

   Completează: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{9}{3}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{9}{3} = 3$valoarea comună, dintr-un raport complet cunoscut

   $x = 3 \times 2 = 6$

   $y = 3 \times 6 = 18$

   Verificare: $\dfrac{6}{2} = 3$, $\dfrac{18}{6} = 3$ și $\dfrac{9}{3} = 3$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 5: valoarea comună și un al patrulea raport

   Calculează valoarea comună a șirului $\dfrac{10}{4} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{20}{8}$, apoi găsește raportul cu numărătorul $30$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$

   $\dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}$

   $\dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}$

   Valoarea comună este $\dfrac{5}{2}$. Dacă numărătorul este $30$, numitorul $n$ verifică $\dfrac{30}{n} = \dfrac{5}{2}$, deci $5n = 60$ și $n = 12$.

   Al patrulea raport este $\dfrac{30}{12}$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 6: o schimbare care strică șirul

   Din $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}$, un elev schimbă doar ultimul numitor și scrie $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{10}$. Rămâne un șir de rapoarte egale?

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

   $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{5}$, deci nu mai este un șir de rapoarte egale. Schimbarea unui singur număr strică egalitatea; după orice modificare, verifici din nou.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 7: proprietatea sumei termenilor

   Rezolvă $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$, știind că $x + y = 20$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{x+y}{2+3}$proprietatea sumei termenilor

   $\dfrac{20}{5} = 4$valoarea comună

   $x = 4 \times 2 = 8$

   $y = 4 \times 3 = 12$

   Verificare: $8 + 12 = 20$, iar $\dfrac{8}{2} = \dfrac{12}{3} = 4$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 8: împărțirea unei sume între doi frați

   O sumă de $350$ de lei se împarte între doi frați, direct proporțional cu numerele $3$ și $4$. Câți lei primește fiecare?

   Arată rezolvarea

   Notezi sumele cu $x$ și $y$. Atunci $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ și $x + y = 350$ lei.

   $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{x+y}{3+4} = \dfrac{350}{7} = 50$valoarea comună

   $x = 50 \times 3 = 150$

   $y = 50 \times 4 = 200$

   Primul frate primește $150$ de lei, al doilea $200$ de lei. Verificare: $150 + 200 = 350$ lei, iar al doilea frate, cu numărul mai mare, primește suma mai mare.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Exemplul 9: trei părți direct proporționale

   Se împart $60$ kg de mere în trei lădițe, direct proporțional cu numerele $2$, $3$ și $5$. Câte kilograme conține fiecare lădiță?

   Arată rezolvarea

   Notezi cantitățile cu $x$, $y$, $z$. Atunci $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}$ și $x + y + z = 60$ kg.

   $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{2+3+5} = \dfrac{60}{10} = 6$valoarea comună

   $x = 12, \quad y = 18, \quad z = 30$

   Lădițele conțin $12$ kg, $18$ kg și $30$ kg. Verificare: $12 + 18 + 30 = 60$ kg.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

   Exemplul 1: identificarea proporționalității directe

   Sunt mărimile din tabel direct proporționale? $x$: $2$, $5$, $8$ $y$: $6$, $15$, $24$

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{6}{2} = 3$

   $\dfrac{15}{5} = 3$

   $\dfrac{24}{8} = 3$

   Raportul $\dfrac{y}{x}$ este constant, $3$, deci $x$ și $y$ sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $3$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 2: completarea unui tabel direct proporțional

    Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $7$. Completează tabelul pentru $x=1$, $x=3$, $x=5$.

    Arată rezolvarea

    Din $\dfrac{y}{x}=7$ rezultă $y = 7 \times x$.

    Tabel completat, cu $y = 7 \times x$

    $x$	$y$
    $1$	$7$
    $3$	$21$
    $5$	$35$

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 3: verificare prin rapoarte

    Sunt mărimile din tabel direct proporționale? $x$: $3$, $6$, $9$ $y$: $5$, $10$, $16$

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{5}{3}$

    $\dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$simplificat prin 2

    $\dfrac{16}{9} \neq \dfrac{5}{3}$$16 \times 3 = 48$, iar $9 \times 5 = 45$

    Ultimul raport nu este egal cu primele două, deci mărimile nu sunt direct proporționale.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 4: problemă cu mărimi direct proporționale

    $3$ kg de mere costă $12$ lei. Cât costă $7$ kg de mere identice, la același preț unitar?

    Arată rezolvarea

    Cantitatea și costul sunt direct proporționale, la preț unitar constant.

    $\dfrac{12}{3} = 4$coeficientul de proporționalitate, adică prețul unui kg, în lei

    $7 \times 4 = 28$

    $7$ kg de mere costă $28$ de lei.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 5: identificarea proporționalității inverse

    Sunt mărimile din tabel invers proporționale? $x$: $2$, $4$, $8$ $y$: $20$, $10$, $5$

    Arată rezolvarea

    $2 \times 20 = 40$

    $4 \times 10 = 40$

    $8 \times 5 = 40$

    Produsul $x \times y$ este constant, $40$, deci $x$ și $y$ sunt invers proporționale.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 6: completarea unui tabel invers proporțional

    Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale, cu produsul constant $60$. Completează tabelul pentru $x=2$, $x=5$, $x=10$.

    Arată rezolvarea

    Din $x \times y = 60$ rezultă $y = 60 : x$.

    Tabel completat, cu $x \times y = 60$

    $x$	$y$
    $2$	$30$
    $5$	$12$
    $10$	$6$

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 7: verificare prin produse

    Sunt mărimile din tabel invers proporționale? $x$: $3$, $6$, $9$ $y$: $12$, $6$, $5$

    Arată rezolvarea

    $3 \times 12 = 36$

    $6 \times 6 = 36$

    $9 \times 5 = 45$

    Ultimul produs nu este egal cu primele două, deci mărimile nu sunt invers proporționale.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 8: direct, invers sau niciuna

    Pentru fiecare pereche de mărimi, stabilește dacă sunt direct proporționale, invers proporționale sau niciuna. a) $x$: $2$, $4$, $6$ și $y$: $3$, $6$, $9$ b) $x$: $2$, $4$, $6$ și $y$: $12$, $6$, $4$ c) $x$: $2$, $4$, $6$ și $y$: $5$, $9$, $11$

    Arată rezolvarea

    a) $\dfrac{3}{2}=1{,}5$, $\dfrac{6}{4}=1{,}5$, $\dfrac{9}{6}=1{,}5$. Raportul este constant, deci mărimile sunt direct proporționale.

    b) $2\times12=24$, $4\times6=24$, $6\times4=24$. Produsul este constant, deci mărimile sunt invers proporționale.

    c) $\dfrac{5}{2}=2{,}5$, dar $\dfrac{9}{4}=2{,}25$, deci rapoartele nu sunt egale. Produsele sunt $2\times5=10$ și $4\times9=36$, deci nici ele nu sunt egale. Mărimile nu sunt nici direct, nici invers proporționale.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 9: problemă cu mărimi invers proporționale

    $4$ muncitori termină o lucrare în $9$ zile, lucrând în același ritm. În câte zile ar termina aceeași lucrare $6$ muncitori, la fel de eficienți?

    Arată rezolvarea

    Numărul de muncitori și numărul de zile sunt invers proporționale: mai mulți muncitori termină lucrarea mai repede.

    $4 \times 9 = 36$constanta de proporționalitate inversă

    $36 : 6 = 6$

    $6$ muncitori ar termina lucrarea în $6$ zile.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 10: care grafic arată proporționalitate directă

    Care dintre cele două grafice arată două mărimi direct proporționale?

    Arată rezolvarea

    Ambele grafice sunt drepte, dar doar dreapta din graficul 2 trece prin originea axelor.

    Verificare prin rapoarte. Graficul 1: $\dfrac{2}{1} = 2$, dar $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$, deci raportul nu este constant. Graficul 2: $\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = 2$.

    Graficul 2 arată mărimi direct proporționale, cu coeficientul $2$. Graficul 1 nu.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

    Exemplul 11: din tabel pe grafic, apoi o valoare nouă

    Un robinet curge uniform: în $2$ minute dă $3$ litri, în $4$ minute dă $6$ litri. Reprezintă datele pe un grafic și află câți litri dă robinetul într-un minut.

    Arată rezolvarea

    Pe axa orizontală pui minutele, pe cea verticală litrii. Pentru $0$ minute ai $0$ litri, deci graficul pornește din origine.

    Pentru $1$ minut, graficul ajunge la jumătatea distanței dintre $1$ și $2$ litri. Prin calcul: coeficientul este $\dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$, deci într-un minut robinetul dă $1{,}5$ litri.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

    Exemplul 1: regula de trei directă

    $4$ caiete costă $20$ lei. Cât costă $7$ caiete identice, la același preț unitar?

    Arată rezolvarea

    Numărul de caiete și costul sunt direct proporționale.

    Datele problemei

    Număr de caiete	Cost (lei)
    $4$	$20$
    $7$	$x$

    $\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{x}$

    $4x = 140$

    $x = 35$

    $7$ caiete costă $35$ de lei.

    Vezi lecția