Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 25 din 71

1. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 2: regula de trei directă cu transformare de unități

   $5$ kg de mere costă $15$ lei. Cât costă $500$ g de mere, la același preț unitar?

   Arată rezolvarea

   Masa din primul rând este în kilograme, deci transformi și $500$ g în kilograme: $500$ g $= 0{,}5$ kg.

   Datele problemei, ambele mase în kilograme

   Masă (kg)	Cost (lei)
   $5$	$15$
   $0{,}5$	$x$

   $\dfrac{5}{0{,}5} = \dfrac{15}{x}$

   $5x = 0{,}5 \times 15$

   $5x = 7{,}5$

   $x = 1{,}5$

   $500$ g de mere costă $1{,}5$ lei.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 3: regula de trei directă, consum de benzină

   O mașină parcurge $180$ km cu $20$ de litri de benzină. Câți litri sunt necesari pentru $270$ km, la același consum?

   Arată rezolvarea

   Distanța și cantitatea de benzină sunt direct proporționale, la consum constant.

   Datele problemei

   Distanță (km)	Benzină (litri)
   $180$	$20$
   $270$	$x$

   $\dfrac{180}{270} = \dfrac{20}{x}$

   $180x = 270 \times 20$

   $180x = 5400$

   $x = 30$

   Sunt necesari $30$ de litri de benzină.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 4: regula de trei inversă

   $3$ robinete identice umplu un bazin în $12$ ore. În câte ore ar umple același bazin $6$ robinete identice?

   Arată rezolvarea

   Mai multe robinete umplu bazinul în mai puține ore, deci numărul de robinete și timpul sunt invers proporționale.

   Datele problemei

   Număr de robinete	Timp (ore)
   $3$	$12$
   $6$	$x$

   $3 \times 12 = 6 \times x$

   $36 = 6x$

   $x = 6$

   $6$ robinete ar umple bazinul în $6$ ore.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 5: regula de trei inversă, viteză și timp

   O mașină parcurge o distanță fixă cu viteza de $50$ km/h în $4$ ore. În câte ore ar parcurge aceeași distanță cu viteza de $80$ km/h?

   Arată rezolvarea

   Pentru aceeași distanță, viteza și timpul sunt invers proporționale.

   Datele problemei

   Viteză (km/h)	Timp (ore)
   $50$	$4$
   $80$	$x$

   $50 \times 4 = 80 \times x$produsul este distanța, $200$ km

   $200 = 80x$

   $x = 2{,}5$

   Mașina ar parcurge distanța în $2{,}5$ ore.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 6: alegerea relației directe sau inverse

   Pentru fiecare situație, stabilește dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale. a) Numărul de bilete cumpărate și suma plătită, la preț unitar constant. b) Numărul de zidari (la fel de eficienți) și numărul de zile necesare pentru aceeași lucrare.

   Arată rezolvarea

   a) Când numărul de bilete se dublează, suma plătită se dublează. Raportul $\dfrac{\text{sumă}}{\text{număr de bilete}}$ este constant, adică prețul unui bilet. Mărimile sunt direct proporționale.

   b) Când numărul de zidari se dublează, numărul de zile se înjumătățește. Produsul $\text{zidari} \times \text{zile}$ este constant. Mărimile sunt invers proporționale.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 7: procent dintr-un număr

   Cât este $15\%$ din $200$?

   Arată rezolvarea

   Întreg și procent

   Procent	Valoare
   $100\%$	$200$
   $15\%$	$x$

   $\dfrac{100}{15} = \dfrac{200}{x}$

   $100x = 15 \times 200$

   $100x = 3000$

   $x = 30$

   $15\%$ din $200$ este $30$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 8: aflarea procentului

   $18$ din $90$ reprezintă cât la sută?

   Arată rezolvarea

   Valoare și procent

   Valoare	Procent
   $90$	$100\%$
   $18$	$x\%$

   $\dfrac{90}{18} = \dfrac{100}{x}$

   $90x = 1800$

   $x = 20$

   $18$ din $90$ reprezintă $20\%$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 9: aflarea întregului

   $40\%$ dintr-un număr este $32$. Care este numărul?

   Arată rezolvarea

   Procent și valoare

   Procent	Valoare
   $40\%$	$32$
   $100\%$	$x$

   $\dfrac{40}{100} = \dfrac{32}{x}$

   $40x = 3200$

   $x = 80$

   Numărul este $80$. Verificare: $10\%$ din $80$ este $8$, deci $40\%$ este $4 \times 8 = 32$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-a

   Proporționalitate›Regula de trei simplă. Procente

   Exemplul 10: problemă de sinteză

   Într-o clasă sunt $25$ de elevi. $40\%$ dintre ei sunt fete. Câți băieți sunt în clasă?

   Arată rezolvarea

   Afli mai întâi câte fete sunt, prin regula de trei.

   Procent și număr de elevi

   Procent	Număr de elevi
   $100\%$	$25$
   $40\%$	$x$

   $\dfrac{100}{40} = \dfrac{25}{x}$

   $100x = 1000$

   $x = 10$numărul de fete

   Sunt $10$ fete, deci băieți sunt $25 - 10 = 15$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 1: organizează un set brut de date

    Numărul de goluri marcate de o echipă în $12$ meciuri a fost $2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 4$. Organizează datele într-un tabel de frecvențe și verifică totalul.

    Arată rezolvarea

    Valorile distincte, în ordine crescătoare, sunt $0, 1, 2, 3, 4$. Numeri aparițiile fiecăreia, bifând pe măsură ce parcurgi șirul.

    Goluri marcate în $12$ meciuri

    Goluri într-un meci	Frecvență (meciuri)
    $0$	$2$
    $1$	$3$
    $2$	$5$
    $3$	$1$
    $4$	$1$

    $2 + 3 + 5 + 1 + 1 = 12$Suma frecvențelor este egală cu numărul de meciuri.

    Interpretare: cel mai des echipa a marcat $2$ goluri într-un meci ($5$ meciuri din $12$).

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 2: adaugă procentul din total

    În clasa a VI-a C, cei $40$ de elevi vin la școală astfel: $14$ pe jos, $12$ cu autobuzul, $6$ cu bicicleta, $8$ cu mașina părinților. Calculează procentul pentru fiecare categorie.

    Arată rezolvarea

    Totalul este $N = 40$. Pentru fiecare categorie calculezi $\dfrac{f}{N} \cdot 100\%$.

    $\dfrac{14}{40} \cdot 100\% = 35\%$Pe jos.

    $\dfrac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%$Autobuz.

    $\dfrac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%$Bicicletă.

    $\dfrac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%$Mașina părinților.

    $35\% + 30\% + 15\% + 20\% = 100\%$Verificare: suma procentelor este $100\%$.

    Interpretare: mai mult de o treime din clasă ($35\%$) vine pe jos, iar doar $15\%$ vin cu bicicleta.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 3: completează un tabel cu o valoare lipsă

    La un sondaj, $50$ de elevi și-au ales activitatea preferată: fotbal $18$, dans $?$, șah $9$, desen $11$. Află frecvența lipsă și completează procentele.

    Arată rezolvarea

    Suma frecvențelor trebuie să fie $50$. Scazi din total frecvențele cunoscute.

    $18 + 9 + 11 = 38$Frecvențele cunoscute.

    $50 - 38 = 12$Dansul a fost ales de $12$ elevi.

    Activitatea preferată, la un sondaj cu $50$ de elevi

    Activitate	Frecvență (elevi)	Procent din total
    fotbal	$18$	$36\%$
    dans	$12$	$24\%$
    șah	$9$	$18\%$
    desen	$11$	$22\%$

    $36\% + 24\% + 18\% + 22\% = 100\%$Verificare: procentele au suma $100\%$.

    Interpretare: fotbalul este alegerea cea mai frecventă, dar nici măcar $4$ elevi din $10$ nu l-au ales.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 4: citește informația dintr-un tabel

    Într-o clasă de $25$ de elevi, într-o lună, $3$ elevi nu au citit nicio carte, $9$ au citit o carte, $8$ au citit $2$ cărți și $5$ au citit $3$ cărți. Organizează datele într-un tabel și răspunde: (a) care este cea mai frecventă valoare? (b) câți elevi au citit cel puțin $2$ cărți? (c) ce procent din clasă a citit cel puțin o carte?

    Arată rezolvarea

    Cărți citite într-o lună de cei $25$ de elevi

    Cărți citite	Frecvență (elevi)
    $0$	$3$
    $1$	$9$
    $2$	$8$
    $3$	$5$

    $3 + 9 + 8 + 5 = 25$Totalul se potrivește cu numărul de elevi.

    (a) Cea mai mare frecvență este $9$, deci cea mai frecventă valoare este $1$ carte.

    $8 + 5 = 13$(b) Elevii cu $2$ sau $3$ cărți: $13$ elevi.

    $9 + 8 + 5 = 22$(c) Elevii care au citit cel puțin o carte.

    $\dfrac{22}{25} \cdot 100\% = 88\%$

    Interpretare: aproape toată clasa a citit cel puțin o carte, dar doar $5$ elevi din $25$ au citit $3$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 5: construiește un grafic cu bare

    Construiește graficul cu bare pentru tabelul mijloacelor de transport din clasa a VI-a C: pe jos $14$, autobuz $12$, bicicletă $6$, mașina părinților $8$.

    Arată rezolvarea

    Cea mai mare valoare este $14$. Alegi o scală care începe de la $0$, cu pasul $4$ și care ajunge până la $16$, prima gradație mai mare decât $14$.

    pe jos14

    autobuz12

    bicicletă6

    mașina părinților8

    0481216

    număr de elevi

    Verificare: bara pentru $12$ se oprește pe gradația $12$, iar bara pentru $6$ se oprește la jumătatea distanței dintre $4$ și $8$. Bara pentru $14$, la jumătatea distanței dintre $12$ și $16$, este cea mai lungă, ca în tabel.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 6: citește valorile dintr-un grafic

    Graficul cu kilometrii parcurși într-o săptămână de patru bicicliști (cel din secțiunea „Cum citești scala unui grafic”) nu are valorile scrise. Află valorile și răspunde: (a) cu cât a parcurs Dana mai mult decât Cezar? (b) cine a parcurs dublul distanței lui Cezar?

    Arată rezolvarea

    Andrei

    Bianca

    Cezar

    Dana

    020406080

    kilometri parcurși

    Gradațiile sunt din $20$ în $20$. Bara lui Andrei se oprește pe a treia gradație, deci $60$ km. Bara Biancăi se oprește pe a doua, deci $40$ km. Bara lui Cezar se oprește la jumătatea distanței dintre $20$ și $40$, adică $30$ km, iar bara Danei la jumătatea distanței dintre $60$ și $80$, adică $70$ km.

    Kilometrii citiți din grafic

    Biciclist	Kilometri
    Andrei	$60$
    Bianca	$40$
    Cezar	$30$
    Dana	$70$

    $70 - 30 = 40$(a) Dana a parcurs cu $40$ km mai mult decât Cezar.

    $2 \cdot 30 = 60$(b) Andrei a parcurs de două ori distanța lui Cezar.

    Interpretare: bara lui Andrei este de două ori mai lungă decât a lui Cezar, tocmai pentru că $60 = 2 \cdot 30$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 7: compară două grupuri cu procente

    La un club de șah sunt înscriși $9$ elevi dintr-o clasă cu $30$ de elevi și $12$ elevi dintr-o clasă cu $60$ de elevi. În care clasă este mai răspândit șahul?

    Arată rezolvarea

    Clasele au mărimi diferite, deci compari procentele, nu numărul de elevi.

    $\dfrac{9}{30} \cdot 100\% = 30\%$Prima clasă.

    $\dfrac{12}{60} \cdot 100\% = 20\%$A doua clasă.

    Interpretare: a doua clasă are mai mulți elevi înscriși ($12 > 9$), dar în prima clasă șahul este ales de o parte mai mare a elevilor ($30\% > 20\%$).

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 8: ce arată datele și ce nu arată

    Folosind tabelul mijloacelor de transport din clasa a VI-a C ($40$ de elevi: pe jos $14$, autobuz $12$, bicicletă $6$, mașina părinților $8$), decide pentru fiecare afirmație dacă este susținută de date.

    Arată rezolvarea

    • „Cei mai mulți elevi vin pe jos.” Susținută: $14$ este cea mai mare frecvență.
    • „Cu $2$ elevi mai mulți vin pe jos decât cu autobuzul.” Susținută: $14 - 12 = 2$.
    • „Aproape jumătate dintre elevi folosesc transportul în comun.” Nesusținută: autobuzul este ales de $30\%$ dintre elevi.
    • „Elevii vin pe jos pentru că le place mersul pe jos.” Nesusținută: datele nu spun nimic despre motiv.
    • „În toată școala cei mai mulți elevi vin pe jos.” Nesusținută: datele privesc o singură clasă.

    Interpretare: primele două afirmații pot fi verificate în tabel. Celelalte cer informații pe care tabelul nu le conține.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Organizarea și reprezentarea datelor

    Exemplul 9: problemă cu procente și frecvențe

    Într-o clasă, $30\%$ dintre elevi preferă șahul, adică $6$ elevi. Alți $8$ elevi preferă fotbalul, $4$ preferă desenul, iar ceilalți alte activități. Completează tabelul cu frecvențe și procente.

    Arată rezolvarea

    Mai întâi află numărul total de elevi: $6$ elevi corespund lui $30\%$, iar totalul corespunde lui $100\%$.

    $N = \dfrac{6 \cdot 100}{30}$

    $N = 20$În clasă sunt $20$ de elevi.

    $6 + 8 + 4 = 18$Elevii cu preferințele cunoscute.

    $20 - 18 = 2$Ceilalți elevi.

    Activitățile preferate într-o clasă de $20$ de elevi

    Activitate	Frecvență (elevi)	Procent din total
    șah	$6$	$30\%$
    fotbal	$8$	$40\%$
    desen	$4$	$20\%$
    alte activități	$2$	$10\%$

    $30\% + 40\% + 20\% + 10\% = 100\%$Verificare.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Probabilitate elementară

    Exemplul 1: eveniment cu mai multe cazuri favorabile

    La aruncarea unui zar, calculează probabilitatea evenimentului „apare un divizor al lui $6$”.

    Arată rezolvarea

    Cazurile posibile sunt $1, 2, 3, 4, 5, 6$, deci $6$ cazuri posibile. Divizorii lui $6$ dintre aceste numere sunt $1, 2, 3, 6$.

    $P = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$$4$ cazuri favorabile din $6$ posibile, simplificat.

    Interpretare: probabilitatea este $\dfrac{2}{3}$, adică aproximativ $66,7\%$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-a

    Organizarea datelor și probabilități›Probabilitate elementară

    Exemplul 2: monedă

    Arunci o monedă corectă o singură dată. Calculează probabilitatea evenimentului „apare cap”.

    Arată rezolvarea

    Cazurile posibile sunt cap și pajură, deci $2$ cazuri posibile, egal probabile. Cazul favorabil este unul singur: cap.

    $P(\text{cap}) = \dfrac{1}{2} = 50\%$

    Vezi lecția