Sinteză · Calcul algebric

Formule de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat sunt egalități adevărate pentru orice numere reale aa și bb, pe care le folosești ca să desfaci rapid paranteze sau, citite invers, ca să descompui expresii în factori.

Formulele esențiale de clasa a VIII-a

Pătratul sumei

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Pătratul primului termen, plus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea. De exemplu, (2x+3)2=4x2+12x+9(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.

Pătratul diferenței

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Singura diferență față de pătratul sumei este semnul termenului din mijloc: (5x−6)2=25x2−60x+36(5x - 6)^2 = 25x^2 - 60x + 36.

Produsul sumei cu diferența

(a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Termenii din mijloc se reduc și rămâne diferența pătratelor: (2x−1)(2x+1)=4x2−1(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1.

Lecția completă

Derivarea fiecărei formule, cum o recunoști pe cea potrivită, scurtături de calcul numeric, exerciții și mini-test găsești în lecția Formule de calcul prescurtat.

Extensii

Formulele de mai jos nu fac parte din materia obligatorie de clasa a VIII-a, dar apar în culegeri și la concursuri. Toate se obțin desfăcând parantezele, deci le poți verifica oricând.

Pătratul sumei a trei termeni

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac\begin{aligned}(a + b + c)^2 &= a^2 + b^2 + c^2 \\ &\quad + 2ab + 2bc + 2ac\end{aligned}

Pătratele celor trei termeni, plus dublul fiecărui produs de câte doi termeni.

(x−2y+1)2(x - 2y + 1)^2
=x2+(−2y)2+12+2⋅x⋅(−2y)+2⋅x⋅1+2⋅(−2y)⋅1= x^2 + (-2y)^2 + 1^2 + 2 \cdot x \cdot (-2y) + 2 \cdot x \cdot 1 + 2 \cdot (-2y) \cdot 1termenul cu minus intră cu semnul lui
=x2+4y2+1−4xy+2x−4y= x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y

Citită invers, formula descompune expresii cu șase termeni: 4x2+y2+36−4xy+24x−12y=(2x−y+6)24x^2 + y^2 + 36 - 4xy + 24x - 12y = (2x - y + 6)^2.

Cubul sumei și cubul diferenței

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
(x+2)3(x + 2)^3
=x3+3⋅x2⋅2+3⋅x⋅22+23= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3
=x3+6x2+12x+8= x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Suma și diferența cuburilor

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Acestea sunt utile la descompunere: de exemplu, x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).

Mai departe

Formulele sunt instrumentul principal la descompunerea în factori. Vezi pe scurt toate metodele pe pagina Descompunerea în factori.

Lecții conexe

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.