Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 101 din 130

1. Clasa a VII-aProvocare

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un pătrat și un triunghi echilateral au aceeași latură $a$. Arată, în formă exactă, cu cât este mai mare diagonala pătratului decât înălțimea triunghiului (răspunsul rămâne în funcție de $a$).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $a\sqrt2 - \dfrac{a\sqrt3}{2} = a\left(\sqrt2-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$.

   Arată rezolvarea

   Diagonala pătratului $=a\sqrt2$; înălțimea triunghiului $=\dfrac{a\sqrt3}{2}$; diferența se scrie direct, fără o valoare numerică (depinde de $a$).

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aProvocare

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $\angle B=60°$ și ipotenuza $BC=2k$ ($k>0$). Calculează catetele în funcție de $k$, cu $\sin$ și $\cos$, și verifică faptul că ele sunt $k$ și $k\sqrt3$, oricare ar fi $k$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AB=k$, $AC=k\sqrt3$, pentru orice $k>0$.

   Arată rezolvarea

   Alăturată $=2k\cdot\cos60°=2k\cdot\tfrac12=k$; opusă $=2k\cdot\sin60°=2k\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=k\sqrt3$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aProvocare

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $6$ cm, iar un pătrat are aceeași diagonală cât dublul apotemei hexagonului. Află latura pătratului.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $3\sqrt6$ cm.

   Arată rezolvarea

   Apotema hexagonului: $m=6\cdot\cos30°=3\sqrt3$ cm; dublul ei, $d=6\sqrt3$ cm, este diagonala pătratului. Latura pătratului: $a=\dfrac{d}{\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt3\cdot\sqrt2}{2}=\dfrac{6\sqrt6}{2}=3\sqrt6$ cm.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aUșor

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Scrie ca interval mulțimea $\{\, x \in \mathbb{R} \mid 1 \le x \le 8 \,\}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $[1, 8]$.

   Arată rezolvarea

   Amândouă capetele au semnul $\le$, deci sunt incluse.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aUșor

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Ce tip de interval este $(-2, 6)$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Mărginit, deschis (amândouă capetele excluse).

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aUșor

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Scrie sub formă de inegalitate intervalul $[0, 4]$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $0 \le x \le 4$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aUșor

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Este adevărat că $6 \in [2, 6]$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   Capătul $6$ are paranteză dreaptă, deci este inclus: $2 \le 6 \le 6$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aUșor

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Scrie ca interval mulțimea numerelor reale $x$ cu $x \ge 5$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $[5, \infty)$.

   Arată rezolvarea

   Capătul $5$ este inclus ($\ge$); spre dreapta, paranteză rotundă la $\infty$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

   Scrie ca interval mulțimea $\{\, x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \le 2 \,\}$ și spune ce tip este.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $(-3, 2]$, interval semiînchis.

   Arată rezolvarea

   Capătul $-3$ exclus ($<$), capătul $2$ inclus ($\le$).

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Scrie sub formă de inegalitate intervalul $(-\infty, -1)$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x < -1$.

    Arată rezolvarea

    Un singur capăt real, $-1$, exclus; spre stânga nemărginit.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Precizează dacă $-1 \in (-1, 4]$ și dacă $4 \in (-1, 4]$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $-1 \notin (-1, 4]$; $4 \in (-1, 4]$.

    Arată rezolvarea

    Capătul $-1$ are paranteză rotundă (exclus), capătul $4$ are paranteză dreaptă (inclus).

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Pe o axă, un segment îngroșat merge de la $-2$ (paranteză rotundă) la $3$ (paranteză dreaptă). Ce interval este reprezentat?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $(-2, 3]$.

    Arată rezolvarea

    Paranteză rotundă la $-2$ = exclus; paranteză dreaptă la $3$ = inclus.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Verifică dacă $\sqrt{5} \in (2, 3)$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, iar $2 < 2{,}24 < 3$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aProvocare

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Scrie ca interval mulțimea numerelor reale care sunt în același timp mai mari sau egale cu $-1$ și strict mai mici decât $\sqrt{9}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $[-1, 3)$.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{9} = 3$. Condiția este $-1 \le x < 3$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aProvocare

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Un elev scrie mulțimea $\{\, x \in \mathbb{R} \mid x \le 4 \,\}$ ca $[-\infty, 4]$. Ce este greșit și cum se scrie corect?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Greșit: $-\infty$ nu poate avea paranteză dreaptă. Corect: $(-\infty, 4]$.

    Arată rezolvarea

    $-\infty$ nu este număr real, deci nu este capăt inclus; lângă el se pune mereu paranteză rotundă.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aProvocare

    Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

    Câte numere întregi sunt în intervalul $(-2, 3]$? Dar câte numere reale?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $5$ numere întregi ($-1, 0, 1, 2, 3$); numere reale, infinit de multe.

    Arată rezolvarea

    Capătul $-2$ este exclus, deci $-2$ nu se numără; capătul $3$ este inclus. Un interval conține infinit de multe numere reale.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Determină $A \cap B$ pentru $A = [2, 5]$ și $B = [4, 8]$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $[4, 5]$.

    Arată rezolvarea

    Suprapunerea celor două intervale este de la $4$ la $5$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Determină $A \cup B$ pentru $A = [2, 5]$ și $B = [4, 8]$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $[2, 8]$.

    Arată rezolvarea

    Reuniunea acoperă tot, de la $2$ la $8$, fără gol.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Determină $A \cap B$ pentru $A = [1, 2]$ și $B = [5, 6]$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\varnothing$.

    Arată rezolvarea

    Cele două intervale nu au niciun număr comun.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Determină $A \cup B$ pentru $A = [1, 2]$ și $B = [5, 6]$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $[1, 2] \cup [5, 6]$.

    Arată rezolvarea

    Fiind disjuncte, reuniunea rămâne scrisă ca două intervale.

    Vezi lecția