Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 102 din 130

1. Clasa a VIII-aUșor

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Pentru $A = (1, 4]$ și $B = [4, 7]$, este $4 \in A \cap B$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $4$ este inclus în $A$ (paranteză dreaptă) și în $B$ (paranteză dreaptă), deci aparține la amândouă.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = [0, 6]$ și $B = [3, 10]$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A \cap B = [3, 6]$; $A \cup B = [0, 10]$.

   Arată rezolvarea

   Suprapunerea este $[3,6]$; reuniunea acoperă de la $0$ la $10$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = [-3, -1]$ și $B = [-1, 2]$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A \cap B = \{-1\}$; $A \cup B = [-3, 2]$.

   Arată rezolvarea

   Amândouă includ $-1$ (paranteze drepte); se ating exact acolo, fără gol.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = [-3, -1)$ și $B = [-1, 2]$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A \cap B = \varnothing$; $A \cup B = [-3, 2]$.

   Arată rezolvarea

   $A$ exclude $-1$, deci intersecția e vidă. Dar $B$ include $-1$, deci reuniunea rămâne fără gol.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = (-3, 2)$ și $B = (2, 6)$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A \cap B = \varnothing$; $A \cup B = (-3, 2) \cup (2, 6)$.

   Arată rezolvarea

   Capătul $2$ este exclus din ambele intervale, deci nu este în intersecție și nici în reuniune. Reuniunea nu se scrie $(-3, 6)$, fiindcă acesta ar conține $2$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ pentru $A = (-\infty, 2)$ și $B = (0, \infty)$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A \cap B = (0, 2)$; $A \cup B = \mathbb{R}$.

   Arată rezolvarea

   Comune sunt numerele cu $0 < x < 2$. Orice număr real este $< 2$ sau $> 0$, deci reuniunea e $\mathbb{R}$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aMediu

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Pe axă, rândul $A$ merge de la $-4$ (paranteză dreaptă) la $-1$ (paranteză dreaptă), iar rândul $B$ de la $-3$ (paranteză dreaptă) la $2$ (paranteză dreaptă). Determină $A \cap B$ și $A \cup B$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A \cap B = [-3, -1]$; $A \cup B = [-4, 2]$.

   Arată rezolvarea

   $A = [-4,-1]$, $B = [-3,2]$; suprapunerea e $[-3,-1]$, acoperirea totală e $[-4,2]$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aProvocare

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Un coleg spune: „reuniunea a două intervale este mereu tot un interval”. Găsește un contraexemplu și explică de ce afirmația e greșită.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals. De exemplu $A = [1, 2]$ și $B = [4, 5]$: $A \cup B = [1, 2] \cup [4, 5]$, care nu este un singur interval, fiindcă între $2$ și $4$ sunt numere neacoperite de niciunul.

   Arată rezolvarea

   Afirmația e adevărată doar când intervalele se suprapun sau se ating. Când sunt disjuncte, reuniunea are două bucăți.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aProvocare

   Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

   Fie $A = [-5, -2] \cup [0, 3]$ și $B = [-3, 1]$. Determină $A \cap B$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $[-3, -2] \cup [0, 1]$.

   Arată rezolvarea

   Intersectezi $B$ separat cu fiecare bucată a lui $A$: $[-5,-2] \cap [-3,1] = [-3,-2]$ și $[0,3] \cap [-3,1] = [0,1]$. Rezultatul este reuniunea celor două.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aProvocare

    Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

    Fie $A = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ și $B = (-2, 5)$. Determină $A \cap B$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $(-2, -1] \cup [3, 5)$.

    Arată rezolvarea

    Intersectezi $B$ cu fiecare bucată: $(-\infty,-1] \cap (-2,5) = (-2,-1]$ și $[3,\infty) \cap (-2,5) = [3,5)$. Rezultatul este reuniunea celor două.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $x + 5 > 9$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x > 4$, adică $x \in (4, \infty)$.

    Arată rezolvarea

    Scazi $5$ din amândouă părțile: $x > 9 - 5 = 4$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $3x \le 15$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x \le 5$, adică $x \in (-\infty, 5]$.

    Arată rezolvarea

    Împarți la $3$ (pozitiv), sensul nu se schimbă: $x \le 15 : 3 = 5$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $-2x > 10$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x < -5$, adică $x \in (-\infty, -5)$.

    Arată rezolvarea

    Împarți la $-2$ (negativ), sensul se inversează: $x < 10 : (-2) = -5$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Scrie ca interval mulțimea soluțiilor inecuației $x \ge -2$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $[-2, \infty)$.

    Arată rezolvarea

    Capătul $-2$ este inclus, deci paranteză dreaptă; spre dreapta, nemărginit.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aUșor

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Verifică dacă $x = 3$ este soluție a inecuației $2x - 1 < 4$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    $2 \cdot 3 - 1 = 5$, iar $5 < 4$ este fals.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $5x - 3 \ge 2x + 9$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x \ge 4$, adică $x \in [4, \infty)$.

    Arată rezolvarea

    $5x - 2x \ge 9 + 3 \Rightarrow 3x \ge 12 \Rightarrow x \ge 4$ (împarți la $3$, pozitiv).

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $4(x + 2) < 3x + 10$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x < 2$, adică $x \in (-\infty, 2)$.

    Arată rezolvarea

    $4x + 8 < 3x + 10 \Rightarrow 4x - 3x < 10 - 8 \Rightarrow x < 2$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $\dfrac{2x}{3} \le 4$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x \le 6$, adică $x \in (-\infty, 6]$.

    Arată rezolvarea

    Înmulțești cu $3$ (pozitiv): $2x \le 12$; împarți la $2$ (pozitiv): $x \le 6$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Rezolvă inecuația $-3(x - 1) \le 12$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x \ge -3$, adică $x \in [-3, \infty)$.

    Arată rezolvarea

    $-3x + 3 \le 12 \Rightarrow -3x \le 9 \Rightarrow x \ge 9 : (-3) = -3$ (împarți la $-3$, negativ, sensul se inversează).

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aMediu

    Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

    Pe axă, soluția unei inecuații are paranteză rotundă la $1$ și semidreaptă spre stânga. Scrie inegalitatea și intervalul corespunzător.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x < 1$, adică $x \in (-\infty, 1)$.

    Arată rezolvarea

    Paranteză rotundă = capăt exclus; semidreapta spre stânga = numere mai mici decât $1$.

    Vezi lecția