Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 100 din 130

1. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un triunghi dreptunghic are unghiul $B=45°$ și o catetă de $5$ cm. Cât este cealaltă catetă?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $5$ cm (catetele sunt egale la $45°$).

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un triunghi echilateral are latura $8$ cm. Ce formulă folosești pentru înălțime?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $h = a \cdot \sin 60° = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Calculează înălțimea triunghiului echilateral cu latura $8$ cm.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $4\sqrt3$ cm.

   Arată rezolvarea

   $8\cdot\sqrt3/2=4\sqrt3$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un pătrat are latura $6$ cm. Calculează diagonala.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $6\sqrt2$ cm.

   Arată rezolvarea

   $d=a\sqrt2=6\sqrt2$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un hexagon regulat are latura $5$ cm. Cât este raza cercului circumscris?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $5$ cm (egală cu latura).

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Calculează apotema hexagonului regulat cu latura $6$ cm.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $3\sqrt3$ cm.

   Arată rezolvarea

   $m=\ell\sqrt3/2=6\sqrt3/2=3\sqrt3$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aUșor

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Adevărat sau fals: „Se poate rezolva un triunghi dreptunghic cu unghiul $40°$, folosind doar tabelul valorilor speciale din lecția anterioară.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals; tabelul acoperă doar $30°$, $45°$, $60°$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aMediu

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un triunghi dreptunghic ($\angle A=90°$) are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=4$ cm. Află $AC$ și $BC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AC=4\sqrt3$ cm, $BC=8$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AC=AB\cdot\text{tg}\,60°=4\sqrt3$; $BC=AB/\cos60°=4/(1/2)=8$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aMediu

   Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

   Un triunghi dreptunghic ($\angle A=90°$) are unghiul $C=30°$ și ipotenuza $BC=14$ cm. Află $AB$ (opusă lui $C$) și $AC$ (alăturată lui $C$).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AB=7$ cm, $AC=7\sqrt3$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AB=14\cdot\sin30°=7$; $AC=14\cdot\cos30°=7\sqrt3$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un triunghi dreptunghic ($\angle A=90°$) are unghiul $B=45°$ și ipotenuza $BC=9\sqrt2$ cm. Află catetele.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $9$ cm fiecare.

    Arată rezolvarea

    $AB=BC\cdot\cos45°=9\sqrt2\cdot\sqrt2/2=9$; la $45°$, catetele sunt egale.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un triunghi echilateral are înălțimea $6\sqrt3$ cm. Află latura triunghiului (inversează formula $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$).

    Arată răspunsul

    Răspuns: $12$ cm.

    Arată rezolvarea

    $a=\dfrac{2h}{\sqrt3}=\dfrac{12\sqrt3}{\sqrt3}=12$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un pătrat are diagonala $10\sqrt2$ cm. Află latura pătratului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $10$ cm.

    Arată rezolvarea

    $d=a\sqrt2 \Rightarrow a=d/\sqrt2=10\sqrt2/\sqrt2=10$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un hexagon regulat are apotema $4\sqrt3$ cm. Află latura hexagonului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $8$ cm.

    Arată rezolvarea

    $m=\ell\sqrt3/2 \Rightarrow \ell=2m/\sqrt3=8\sqrt3/\sqrt3=8$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un elev, pentru un triunghi cu $\angle A=90°$, $B=30°$, $BC=10$, calculează $AB=10\cdot\sin30°=5$. Ce a greșit?

    Arată răspunsul

    Răspuns: A folosit sinusul pentru cateta alăturată; a calculat de fapt $AC$ (opusă), nu $AB$ (alăturată).

    Arată rezolvarea

    Corect: $AB=10\cdot\cos30°=5\sqrt3$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un triunghi dreptunghic ($\angle A=90°$) are unghiul $B=60°$ și cateta opusă $AC=9$ cm. Află ipotenuza $BC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $6\sqrt3$ cm.

    Arată rezolvarea

    $BC=AC/\sin60°=9/(\sqrt3/2)=18/\sqrt3=6\sqrt3$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Compară înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $6$ cm cu apotema unui hexagon regulat cu aceeași latură. Ce observi?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Sunt egale, ambele $3\sqrt3$ cm.

    Arată rezolvarea

    $h=6\sqrt3/2=3\sqrt3$; $m=6\sqrt3/2=3\sqrt3$: aceeași formulă.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un triunghi dreptunghic ($\angle A=90°$) are unghiul $C=45°$ și cateta $AC=11$ cm. Află perimetrul triunghiului, sub formă exactă.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $22+11\sqrt2$ cm.

    Arată rezolvarea

    $AB=AC=11$ (unghi de $45°$); $BC=11\sqrt2$; perimetru $=11+11+11\sqrt2=22+11\sqrt2$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aMediu

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Explică, într-o frază, de ce nu poți rezolva un triunghi dreptunghic cunoscând DOAR un unghi ascuțit, fără nicio latură.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Pentru că unghiul determină doar FORMA triunghiului (rapoartele laturilor), nu și mărimea lui; ai nevoie de cel puțin o lungime, ca să afli laturile efective.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aProvocare

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un triunghi dreptunghic ($\angle A=90°$) are unghiul $B=30°$ și perimetrul $12+4\sqrt3$ cm. Află toate laturile (folosește raportul laturilor pentru $30°$: opusă $:$ alăturată $:$ ipotenuză $= 1 : \sqrt3 : 2$).

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AC=4$ cm, $AB=4\sqrt3$ cm, $BC=8$ cm.

    Arată rezolvarea

    Cu $AC=k$, $AB=k\sqrt3$, $BC=2k$: perimetrul $k+k\sqrt3+2k=k(3+\sqrt3)$. Din $12+4\sqrt3=4(3+\sqrt3)$, rezultă $k=4$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aProvocare

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

    Un teren are forma unui hexagon regulat cu apotema $9\sqrt3$ m. Află perimetrul terenului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $108$ m.

    Arată rezolvarea

    $\ell=2m/\sqrt3=18\sqrt3/\sqrt3=18$ m; perimetru $=6\cdot18=108$ m.

    Vezi lecția