Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Triunghiul $ABC$ $\angle A=90°$ are $AB=9$ $AC=12$ $BC=15$ Scrie $\sin B$ $\cos B$ $\text{tg}\,B$

Arată răspunsul

Răspuns: $\sin B=\dfrac{4}{5}$ $\cos B=\dfrac{3}{5}$ $\text{tg}\,B=\dfrac{4}{3}$

Arată rezolvarea

$\sin B=12/15=4/5$ $\cos B=9/15=3/5$ $\text{tg}\,B=12/9=4/3$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Cu același triunghi, scrie $\sin C$ $\cos C$ $\text{ctg}\,C$

Arată răspunsul

Răspuns: $\sin C=\dfrac{3}{5}$ $\cos C=\dfrac{4}{5}$ $\text{ctg}\,C=\dfrac{4}{3}$

Arată rezolvarea

$\sin C=9/15=3/5$ $\cos C=12/15=4/5$ $\text{ctg}\,C=12/9=4/3$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un unghi ascuțit $B$ dintr-un triunghi dreptunghic are $\cos B=\dfrac{7}{25}$ (alăturată $7$ ipotenuză $25$ Află $\sin B$

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{24}{25}$

Arată rezolvarea

Opusă $=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ $\sin B=24/25$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Cu datele exercițiului anterior, află $\text{tg}\,B$ și $\text{ctg}\,B$

Arată răspunsul

Răspuns: $\text{tg}\,B=\dfrac{24}{7}$ $\text{ctg}\,B=\dfrac{7}{24}$

Arată rezolvarea

$\text{tg}\,B=\text{opusă}/\text{alăturată}=24/7$ $\text{ctg}\,B$ este inversul, $7/24$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Calculează $\sin 45° \cdot \cos 45°$

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{1}{2}$

Arată rezolvarea

$\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Calculează $\text{tg}\,30° \cdot \text{tg}\,60°$

Arată răspunsul

Răspuns: $1$

Arată rezolvarea

$\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=\dfrac{3}{3}=1$ $30°$ și $60°$ sunt complementare, deci tangentele lor sunt inverse una alteia).

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Calculează $\cos 30° - \sin 30°$ sub formă exactă.

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

Arată rezolvarea

$\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $C=45°$ și cateta $AC=7$ cm. Află cateta $AB$ și ipotenuza $BC$

Arată răspunsul

Răspuns: $AB=7$ cm, $BC=7\sqrt2$ cm.

Arată rezolvarea

Unghi de $45°$ triunghi isoscel: $AB=AC=7$ $BC=AC/\cos45°=7/(\sqrt2/2)=7\sqrt2$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=5$ cm. Află cateta opusă $AC$

Arată răspunsul

Răspuns: $5\sqrt3$ cm.

Arată rezolvarea

$\text{tg}\,60°=AC/AB \Rightarrow AC=AB\cdot\sqrt3=5\sqrt3$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un elev scrie, pentru un triunghi cu $\angle A=90°$ $\text{tg}\,B=\dfrac{BC}{AB}$ (ipotenuza la numărător). Explică eroarea.

Arată răspunsul

Răspuns: Greșit: tangenta nu folosește niciodată ipotenuza.

Arată rezolvarea

$\text{tg}\,B=\text{opusă}/\text{alăturată}=AC/AB$ nu $BC/AB$ ipotenuza $BC$ apare doar la $\sin$ și $\cos$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Explică, într-o frază, de ce $\sin B = \cos C$ într-un triunghi dreptunghic cu $\angle A=90°$

Arată răspunsul

Răspuns: Pentru că $B$ și $C$ sunt complementare, iar cateta opusă lui $B$ este chiar cateta alăturată lui $C$ (și invers), peste aceeași ipotenuză.

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un triunghi dreptunghic are $\text{tg}\,B=1$ Ce poți spune despre cele două catete?

Arată răspunsul

Răspuns: Sunt egale (triunghiul este dreptunghic isoscel), iar $B=45°$

Arată rezolvarea

$\text{tg}\,B=\text{opusă}/\text{alăturată}=1 \Rightarrow \text{opusă}=\text{alăturată}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are $\sin B = \dfrac{3}{5}$ Calculează $\text{tg}\,B+\text{ctg}\,B$ sub formă de fracție.

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{25}{12}$

Arată rezolvarea

Opusă $3k$ alăturată $4k$ (din $3$ - $4$ - $5$ cu $\cos B=4/5$ $\text{tg}\,B=3/4$ $\text{ctg}\,B=4/3$ suma $=9/12+16/12=25/12$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Arată, folosind definițiile cu $o$ $a$ $i$ că $\dfrac{\sin\alpha}{\text{tg}\,\alpha}=\cos\alpha$ pentru orice unghi ascuțit $\alpha$

Arată răspunsul

Răspuns: Adevărat, se verifică direct din definiții.

Arată rezolvarea

$\dfrac{\sin\alpha}{\text{tg}\,\alpha}=\dfrac{o/i}{o/a}=\dfrac{o}{i}\cdot\dfrac{a}{o}=\dfrac{a}{i}=\cos\alpha$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un triunghi dreptunghic isoscel are ipotenuza $10$ cm. Calculează catetele, folosind $\sin 45°$

Arată răspunsul

Răspuns: $5\sqrt2$ cm fiecare.

Arată rezolvarea

Catetă $=$ ipotenuză $\cdot \sin 45° = 10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă un unghi ascuțit crește de la $30°$ spre $60°$ sinusul lui crește, iar cosinusul lui scade.”

Arată răspunsul

Răspuns: Adevărat.

Arată rezolvarea

$\sin 30°=\tfrac12 < \sin 60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$ iar $\cos 30°=\tfrac{\sqrt3}{2} > \cos 60°=\tfrac12$ cateta opusă crește relativ la ipotenuză, cea alăturată scade.

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are catetele în raportul $AB:AC=1:\sqrt3$ Arată că unghiul $B$ este $60°$ fără să calculezi ipotenuza.

Arată răspunsul

Răspuns: $\text{tg}\,B=\sqrt3=\text{tg}\,60°$ deci $B=60°$

Arată rezolvarea

Cu $AB=k$ $AC=k\sqrt3$ $\text{tg}\,B=AC/AB=k\sqrt3/k=\sqrt3$ valoare care corespunde exact tabelului pentru $60°$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

Enumeră, în ordine, pașii procesului de decizie pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic.

Arată răspunsul

Răspuns: Identifici unghiul cunoscut, rolul laturii cunoscute, rolul laturii cerute, apoi alegi raportul care conține exact aceste două laturi.

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și ipotenuza $BC=6$ cm. Ce raport folosești ca să afli cateta opusă lui $B$

Arată răspunsul

Răspuns: Sinusul.

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Trigonometrie în triunghiul dreptunghicRezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

Cu aceleași date, calculează cateta opusă lui $B$

Arată răspunsul

Răspuns: $3$ cm.

Arată rezolvarea

$AC=6\cdot\sin30°=6\cdot\tfrac12=3$

Vezi lecția