Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 98 din 130

1. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $x$ și $2x$, iar ipotenuza este $10$ cm. Calculează $x$ (rezultatul poate fi sub radical).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 2\sqrt{5}$ cm.

   Arată rezolvarea

   $x^2+4x^2=100 \Rightarrow 5x^2=100 \Rightarrow x^2=20 \Rightarrow x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Explică, într-o frază, de ce reciproca cere ca $c$ să fie cea mai mare latură.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Pentru că, într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza (latura opusă unghiului drept) este mereu cea mai lungă latură; testul are sens doar comparând cu ea.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un triunghi are laturile $2{,}1$ cm, $2{,}8$ cm, $3{,}5$ cm. Este dreptunghic?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $2{,}1^2+2{,}8^2=4{,}41+7{,}84=12{,}25=3{,}5^2$ (același triunghi 3-4-5, scalat cu $0{,}7$).

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un triunghi dreptunghic isoscel are ipotenuza $10\sqrt2$ cm. Calculează lungimea unei catete.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $10$ cm.

   Arată rezolvarea

   Cu catetele egale, $x^2+x^2=(10\sqrt2)^2 \Rightarrow 2x^2=200 \Rightarrow x^2=100 \Rightarrow x=10$. Verificare: $10^2+10^2=200=(10\sqrt2)^2$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un teren are forma unui triunghi cu laturile $50$ m, $120$ m, $130$ m. Este dreptunghic? Dacă da, calculează aria lui.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da; aria este $3000$ m².

   Arată rezolvarea

   $50^2+120^2=2500+14400=16900=130^2$. Fiind dreptunghic, catetele ($50$ și $120$) sunt perpendiculare, deci aria $=\dfrac{50\cdot120}{2}=3000$ m².

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un triunghi are laturile $3k$, $4k$ și $5k$, unde $k>0$. Aplică reciproca teoremei lui Pitagora cu literele în locul numerelor și justifică de ce triunghiul este dreptunghic oricare ar fi $k$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da, pentru orice $k>0$.

   Arată rezolvarea

   $(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$, adevărat pentru orice $k$, deci reciproca se verifică indiferent de scalare.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un romb are diagonalele $16$ cm și $12$ cm. Calculează latura rombului (diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se înjumătățesc).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $10$ cm.

   Arată rezolvarea

   Jumătățile diagonalelor, $8$ și $6$, sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu latura rombului ipotenuză: $\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă într-un triunghi $a^2+b^2 < c^2$ (cu $c$ cea mai mare latură), triunghiul tot mai poate fi dreptunghic, doar rotunjit greșit.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals.

   Arată rezolvarea

   Reciproca cere EGALITATE exactă, $a^2+b^2=c^2$. O inegalitate strictă arată clar că triunghiul nu este dreptunghic (indiferent de rotunjire, dacă numerele sunt date exact); nu este o chestiune de aproximare.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un triunghi dreptunghic are perimetrul $60$ cm și catetele în raportul $3:4$. Calculează toate laturile (folosește faptul că laturile unui triunghi dreptunghic cu catete în raport $3:4$ formează un triplet asemenea cu $3$-$4$-$5$).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $15$ cm, $20$ cm, $25$ cm.

   Arată rezolvarea

   Laturile sunt $3k,4k,5k$; perimetrul $12k=60 \Rightarrow k=5$, deci laturile sunt $15$, $20$, $25$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Definește, în cuvinte, sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Definește cosinusul unui unghi ascuțit.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Raportul dintre cateta alăturată unghiului și ipotenuză.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Definește tangenta unui unghi ascuțit.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Definește cotangenta unui unghi ascuțit.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Raportul dintre cateta alăturată și cateta opusă.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    În triunghiul $ABC$ ($\angle A=90°$, $AB=9$, $AC=12$), care este cateta opusă unghiului $C$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AB=9$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Cu același triunghi, care este cateta alăturată unghiului $C$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AC=12$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Adevărat sau fals: „Ipotenuza își schimbă rolul între unghiul $B$ și unghiul $C$.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals; ipotenuza este mereu ipotenuza.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Scrie valoarea lui $\sin 30°$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\dfrac{1}{2}$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Scrie valoarea lui $\cos 45°$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\dfrac{\sqrt2}{2}$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Scrie valoarea lui $\text{tg}\,60°$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\sqrt3$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aUșor

    Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

    Scrie valoarea lui $\text{ctg}\,45°$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $1$.

    Vezi lecția