Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 97 din 130

1. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   $AB : AC = 3 : 4$ și $BC = 15$ cm. Calculează $AB$, $AC$, $BH$ și $HC$ (poți folosi rezultatul exercițiului anterior, care leagă de teorema lui Pitagora).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AB=9$, $AC=12$, $BH=5{,}4$, $HC=9{,}6$ (toate în cm).

   Arată rezolvarea

   Cu $AB=3k$, $AC=4k$: din Pitagora, $9k^2+16k^2=225 \Rightarrow 25k^2=225\Rightarrow k=3$, deci $AB=9$, $AC=12$. Apoi $BH=81/15=5{,}4$, $HC=144/15=9{,}6$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aProvocare

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă înălțimea $AH$ dintr-un triunghi oarecare (nu neapărat dreptunghic) cade pe latura $BC$, atunci $AH^2 = BH \cdot HC$ este mereu adevărată.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals.

   Arată rezolvarea

   Teorema înălțimii este specifică triunghiului DREPTUNGHIC, cu înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză. Într-un triunghi oarecare, relația nu se mai verifică în general.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Scrie formula teoremei lui Pitagora.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $a^2+b^2=c^2$, unde $c$ este ipotenuza.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Scrie enunțul reciprocei teoremei lui Pitagora.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Dacă $a^2+b^2=c^2$ (cu $c$ cea mai mare latură), triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus lui $c$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Catetele sunt $10$ cm și $24$ cm. Calculează ipotenuza.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $26$ cm.

   Arată rezolvarea

   $\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Ipotenuza este $41$ cm, o catetă este $9$ cm. Calculează cealaltă catetă.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $40$ cm.

   Arată rezolvarea

   $\sqrt{1681-81}=\sqrt{1600}=40$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un triunghi are laturile $3$, $4$, $5$. Este dreptunghic?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $3^2+4^2=9+16=25=5^2$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Un triunghi are laturile $4$, $5$, $7$. Este dreptunghic?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   $4^2+5^2=16+25=41 \neq 49=7^2$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

   Care latură joacă rolul lui $c$ în reciprocă?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Întotdeauna cea mai mare dintre cele trei laturi.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aUșor

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Catetele sunt $5$ cm și $12$ cm. Calculează ipotenuza.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $13$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aUșor

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Adevărat sau fals: „Teorema lui Pitagora se aplică oricărui triunghi.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals; doar triunghiului dreptunghic.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aUșor

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Adevărat sau fals: „Dacă $a^2+b^2=c^2$ pentru cea mai mare latură $c$, triunghiul este dreptunghic.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Adevărat (aceasta e reciproca).

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Catetele sunt $8$ cm și $15$ cm. Calculează ipotenuza.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $17$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Ipotenuza este $25$ cm, o catetă este $7$ cm. Calculează cealaltă catetă.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $24$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Catetele sunt $5$ cm și $8$ cm. Calculează ipotenuza (rezultatul rămâne sub radical).

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\sqrt{89}$ cm.

    Arată rezolvarea

    $25+64=89$, nu e pătrat perfect.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Un triunghi are laturile $9$, $12$, $16$. Este dreptunghic?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    $9^2+12^2=81+144=225 \neq 256=16^2$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Un triunghi are laturile $10$, $24$, $26$. Este dreptunghic?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    $10^2+24^2=100+576=676=26^2$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Un elev testează triunghiul cu laturile $9$, $12$, $15$, alegând GREȘIT $12$ drept „$c$”. Arată eroarea și rezolvă corect.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Corect: cea mai mare latură este $15$; $9^2+12^2=81+144=225=15^2$, deci triunghiul este dreptunghic.

    Arată rezolvarea

    Testul greșit ($9^2+15^2$ vs. $12^2$) nu are sens, pentru că $12$ nu este cea mai mare latură.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    Un dreptunghi are laturile $20$ cm și $21$ cm. Calculează diagonala.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $29$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Teorema lui Pitagora și reciproca ei

    O scară de $10$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul la $6$ m de bază. La ce înălțime ajunge scara pe perete?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $8$ m.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$.

    Vezi lecția