Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 96 din 130

1. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   $BH = 4$ cm, $HC = 9$ cm. Calculează $AH$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $6$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AH^2 = 4\cdot9=36$, $AH=6$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   $BC = 20$ cm, $BH = 5$ cm. Calculează $AB$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $10$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AB^2 = 20\cdot5=100$, $AB=10$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   $BC = 18$ cm, $HC = 8$ cm. Calculează $AC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $12$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AC^2 = 18\cdot8=144$, $AC=12$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Adevărat sau fals: „Teorema catetei folosește produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Adevărat.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aUșor

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Adevărat sau fals: „Proiecția lui $AC$ pe $BC$ este $BH$.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals; proiecția lui $AC$ pe $BC$ este $HC$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Un elev scrie, pentru un triunghi cu $BC=25$, $BH=9$, $HC=16$: „$AC^2 = BC \cdot BH = 225$”. Este corect? Justifică.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   $AC$ trebuie asociată cu $HC$ (proiecția ei), nu cu $BH$: $AC^2 = BC\cdot HC = 25\cdot16=400$, deci $AC=20$, nu $15$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   $AB = 9$ cm, $BC = 15$ cm. Calculează $BH$, apoi $HC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $BH = 5{,}4$ cm, $HC = 9{,}6$ cm.

   Arată rezolvarea

   $BH = 81/15 = 5{,}4$; $HC = 15-5{,}4=9{,}6$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   Cu datele exercițiului anterior, calculează $AH$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AH = 7{,}2$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AH^2 = 5{,}4 \cdot 9{,}6 = 51{,}84$; $AH = \sqrt{51{,}84}=7{,}2$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aMediu

   Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

   $BH = x$, $HC = 4x$ și $AH = 6$ cm. Calculează $x$, apoi $BC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 3$ cm, $BC = 15$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AH^2 = BH \cdot HC \Rightarrow 36 = x \cdot 4x = 4x^2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (o lungime este pozitivă). Atunci $BH=3$, $HC=12$, $BC=3+12=15$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    $AC = 15$ cm, $BC = 25$ cm. Calculează proiecția $HC$ a catetei $AC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $9$ cm.

    Arată rezolvarea

    $HC = AC^2/BC = 225/25=9$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    $AB=10$ cm, $AC=24$ cm, $BC=26$ cm (verifică singur, cu Pitagora din clasa a VI-a, că e triunghi dreptunghic). Calculează $BH$ și $HC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $BH \approx 3{,}85$ cm, $HC \approx 22{,}15$ cm.

    Arată rezolvarea

    $BH=100/26\approx3{,}85$; $HC=576/26\approx22{,}15$; suma $\approx26$ ✓.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Un elev calculează pentru $BC=13$, $BH=4$: $AB^2 = BH \cdot HC$ (cu $HC=9$). Ce a greșit?

    Arată răspunsul

    Răspuns: A aplicat teorema înălțimii pentru o catetă.

    Arată rezolvarea

    Teorema catetei folosește ipotenuza întreagă: $AB^2=BC\cdot BH=13\cdot4=52$, nu produsul proiecțiilor (acela e pentru $AH^2$).

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    $BH:HC = 1:3$ și $BC=20$ cm. Calculează $BH$, $HC$ și $AH$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $BH=5$, $HC=15$, $AH=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ cm.

    Arată rezolvarea

    $BH=20\cdot\tfrac14=5$, $HC=15$; $AH^2=5\cdot15=75$, $AH=5\sqrt3$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    $AB=7$ cm, $BH=3{,}5$ cm. Calculează $BC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $14$ cm.

    Arată rezolvarea

    $BC=AB^2/BH=49/3{,}5=14$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Explică, într-o frază, de ce $BH+HC=BC$ întotdeauna, în configurația standard.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Pentru că $H$ este un punct al segmentului $BC$ (piciorul înălțimii cade pe ipotenuză, între $B$ și $C$), deci $BH$ și $HC$ sunt cele două părți care alcătuiesc întregul $BC$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    $AH=8$ cm, $BH=4$ cm. Calculează $HC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $16$ cm.

    Arată rezolvarea

    $HC=AH^2/BH=64/4=16$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aProvocare

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Arată că, în configurația standard, $AH \cdot BC = AB \cdot AC$ (înălțimea înmulțită cu ipotenuza este egală cu produsul catetelor).

    Arată răspunsul

    Răspuns: Adevărat, se demonstrează prin arii.

    Arată rezolvarea

    Aria $\triangle ABC$ se poate calcula fie ca $\tfrac12 \cdot AB \cdot AC$ (catetele ca bază și înălțime unul față de altul), fie ca $\tfrac12 \cdot BC \cdot AH$ (ipotenuza ca bază, $AH$ înălțimea corespunzătoare). Egalând cele două arii: $AB\cdot AC = BC \cdot AH$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aProvocare

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    $BH = 9$ cm, $AH = 12$ cm. Calculează $HC$, apoi $AB$ și $BC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $HC=16$ cm, $AB=15$ cm, $BC=25$ cm.

    Arată rezolvarea

    $HC=AH^2/BH=144/9=16$; $BC=BH+HC=25$; $AB^2=BC\cdot BH=25\cdot9=225\Rightarrow AB=15$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aProvocare

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Un teren triunghiular, dreptunghic într-un colț, are înălțimea din unghiul drept pe „latura mare” (ipotenuza) de $24$ m, iar una dintre proiecții este $18$ m. Calculează cealaltă proiecție și lungimea catetei corespunzătoare acesteia.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Cealaltă proiecție este $32$ m; cateta corespunzătoare este $40$ m.

    Arată rezolvarea

    $HC = AH^2/BH = 576/18=32$; $BC=18+32=50$; cateta pe partea de $32$ m: $AC^2=BC\cdot HC=50\cdot32=1600\Rightarrow AC=40$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aProvocare

    Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

    Demonstrează, folosind teorema catetei de două ori, că $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (adică deduci teorema lui Pitagora din teorema catetei).

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AB^2+AC^2 = BC\cdot BH + BC \cdot HC = BC(BH+HC)=BC\cdot BC=BC^2$.

    Arată rezolvarea

    Se adună cele două relații ale teoremei catetei și se scoate $BC$ factor comun, folosind $BH+HC=BC$.

    Vezi lecția