Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $AB=6$ cm, $DE=15$ cm și $\text{Aria}(\triangle ABC)=12$ cm². Calculează $\text{Aria}(\triangle DEF)$

Arată răspunsul

Răspuns: $75$ cm².

Arată rezolvarea

$k=15/6=2{,}5$ $2{,}5^2\cdot12=6{,}25\cdot12=75$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $\dfrac{49}{25}$ Calculează raportul de asemănare.

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{7}{5}$

Arată rezolvarea

$\sqrt{49/25}=7/5$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Un băț de $1{,}5$ m are umbra de $2$ m. Un stâlp are umbra de $6$ m, măsurată în același moment. Calculează înălțimea stâlpului.

Arată răspunsul

Răspuns: $4{,}5$ m.

Arată rezolvarea

$k=6/2=3$ $1{,}5\cdot3=4{,}5$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Într-un trapez $ABCD$ $AB\parallel DC$ $AB=18$ cm, $DC=6$ cm. Calculează raportul $\dfrac{OA}{OC}$ unde $O$ este intersecția diagonalelor.

Arată răspunsul

Răspuns: $3$

Arată rezolvarea

$\triangle AOB \sim \triangle COD$ cu raportul $AB/DC=18/6=3$ deci $OA/OC=3$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Două terenuri triunghiulare asemenea au raportul laturilor $k=4$ Terenul mic costă (la achiziție, proporțional cu suprafața) $50\,000$ lei. Calculează costul terenului mare.

Arată răspunsul

Răspuns: $800\,000$ lei.

Arată rezolvarea

$4^2\cdot50\,000=16\cdot50\,000=800\,000$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $\text{Aria}(\triangle DEF) = 4 \cdot \text{Aria}(\triangle ABC)$ Cu cât la sută este mai mare fiecare latură a lui $DEF$ față de latura corespunzătoare din $ABC$

Arată răspunsul

Răspuns: Cu $100\%$ (adică de două ori mai mare).

Arată rezolvarea

$k^2=4\Rightarrow k=2$ laturile sunt duble.

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Explică, într-o frază, de ce aria scalează cu $k^2$ și nu cu $k$

Arată răspunsul

Răspuns: Aria este produsul a două lungimi (bază și înălțime), iar fiecare dintre ele scalează cu $k$ deci produsul scalează cu $k\cdot k=k^2$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

$\triangle MNP \sim \triangle RST$ cu $P_{MNP}=20$ cm, $\text{Aria}(\triangle MNP)=16$ cm², $\text{Aria}(\triangle RST)=144$ cm². Calculează $P_{RST}$

Arată răspunsul

Răspuns: $60$ cm.

Arată rezolvarea

$k^2=144/16=9\Rightarrow k=3$ $P_{RST}=3\cdot20=60$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Un elev spune: „umbrele au fost măsurate dimineața pentru băț și la prânz pentru copac, dar am aplicat oricum metoda umbrei”. Este corect rezultatul?

Arată răspunsul

Răspuns: Nu.

Arată rezolvarea

Unghiul de elevație al soarelui se schimbă în timpul zilei; fără aceeași oră de măsurare, triunghiurile nu mai sunt garantat asemenea (UU nu se mai confirmă).

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Un triunghi $ABC$ este împărțit de o paralelă $DE \parallel BC$ $D\in AB$ $E \in AC$ în triunghiul $ADE$ și trapezul $DBCE$ Dacă $AD:DB=1:2$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=27$ cm², calculează ariile celor două părți.

Arată răspunsul

Răspuns: $\text{Aria}(\triangle ADE)=3$ cm², $\text{Aria}(DBCE)=24$ cm².

Arată rezolvarea

$AD:AB=1:3\Rightarrow k=1/3$ $\text{Aria}(\triangle ADE)=(1/3)^2\cdot27=27/9=3$ trapezul $=27-3=24$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Două triunghiuri asemenea au perimetrele $P_1$ și $P_2$ cu $P_2 = 2{,}5\, P_1$ Dacă $\text{Aria}_1 = 16$ cm², calculează $\text{Aria}_2$

Arată răspunsul

Răspuns: $100$ cm².

Arată rezolvarea

$k=2{,}5$ $\text{Aria}_2=2{,}5^2\cdot16=6{,}25\cdot16=100$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Într-un trapez $ABCD$ $AB\parallel DC$ $\triangle AOB$ și $\triangle COD$ (formate de diagonale, $O$ = intersecția) au ariile $50$ cm², respectiv $8$ cm². Calculează raportul $DC:AB$

Arată răspunsul

Răspuns: $2:5$

Arată rezolvarea

$k^2=8/50=4/25\Rightarrow k=2/5$ adică $DC:AB=2:5$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Un fotograf mărește o fotografie triunghiulară (mărire uniformă, deci o asemănare) astfel încât aria crește de $6{,}25$ ori. Calculează de câte ori s-a mărit fiecare latură.

Arată răspunsul

Răspuns: De $2{,}5$ ori.

Arată rezolvarea

$k=\sqrt{6{,}25}=2{,}5$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Un elev ține un baston vertical de $0{,}3$ m la $0{,}6$ m de ochi, astfel încât bastonul „acoperă” exact o clădire aflată la $40$ m de ochi. Presupunând că privirea este orizontală, calculează înălțimea clădirii și explică de ce se folosește tot asemănarea triunghiurilor.

Arată răspunsul

Răspuns: $20$ m.

Arată rezolvarea

Triunghiul ochi-baston și triunghiul ochi-clădire au unghiul din ochi comun și bazele paralele (bastonul și clădirea sunt verticale), deci sunt asemenea. Raportul de asemănare este $\dfrac{40}{0{,}6} = \dfrac{200}{3}$ deci înălțimea este $0{,}3 \cdot \dfrac{200}{3} = 20$ m.

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

Asemănarea triunghiurilorRaportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

În trapezul $ABCD$ $AB\parallel DC$ diagonalele se taie în $O$ a) Explică de ce triunghiurile $ABD$ și $ABC$ au arii egale (au aceeași bază $AB$ ce poți spune despre înălțimi?). b) Scăzând din fiecare aria triunghiului $AOB$ justifică faptul că triunghiurile laterale $AOD$ și $BOC$ au arii egale, deși nu sunt neapărat asemenea.

Arată răspunsul

Răspuns: $\text{Aria}(\triangle AOD) = \text{Aria}(\triangle BOC)$

Arată rezolvarea

$\triangle ABD$ și $\triangle ABC$ au aceeași bază $AB$ și aceeași înălțime (distanța dintre $AB$ și $DC$ ambele vârfuri $D$ $C$ fiind pe paralela $DC$ deci arii egale. Scăzând aria comună $\triangle AOB$ din fiecare: $\text{Aria}(\triangle AOD) = \text{Aria}(\triangle ABD)-\text{Aria}(\triangle AOB) = \text{Aria}(\triangle ABC)-\text{Aria}(\triangle AOB) = \text{Aria}(\triangle BOC)$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Relații metrice în triunghiul dreptunghicProiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Ce este proiecția ortogonală a unui punct $P$ pe o dreaptă $d$

Arată răspunsul

Răspuns: Piciorul perpendicularei duse din $P$ pe $d$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Relații metrice în triunghiul dreptunghicProiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

În configurația standard cu $AH\perp BC$ pe ce segment se află proiecțiile ambelor catete pe ipotenuză?

Arată răspunsul

Răspuns: Pe ipotenuza $BC$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Relații metrice în triunghiul dreptunghicProiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Care segment este proiecția catetei $AC$ pe $BC$

Arată răspunsul

Răspuns: $HC$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Relații metrice în triunghiul dreptunghicProiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Scrie formula teoremei înălțimii.

Arată răspunsul

Răspuns: $AH^2 = BH \cdot HC$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Relații metrice în triunghiul dreptunghicProiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Scrie cele două formule ale teoremei catetei.

Arată răspunsul

Răspuns: $AB^2 = BC \cdot BH$ și $AC^2 = BC \cdot HC$

Vezi lecția