Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 94 din 130

1. Clasa a VII-aMediu

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Triunghiul $ABC$ are $AB=x$, $BC=10$ (cm), iar triunghiul $DEF$ are $DE=18$, $EF=15$ (cm). Se știe $\angle B \equiv \angle E$. Pentru ce valoare a lui $x$ sunt triunghiurile asemenea prin LUL, în corespondența $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x=12$ cm.

   Arată rezolvarea

   Unghiul cuprins este $B$, respectiv $E$, deci trebuie $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$: $\dfrac{18}{x}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}$, de unde $3x=36$ și $x=12$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aMediu

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Explică, într-o frază, diferența dintre un criteriu de asemănare și o consecință a asemănării.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Criteriul este o condiție suficientă, verificată ÎNAINTE, ca să demonstrezi asemănarea; consecința (de exemplu, proporționalitatea tuturor laturilor) rezultă DUPĂ ce asemănarea este deja stabilită.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aMediu

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Triunghiul $ABC$ are perimetrul $40$ cm. Triunghiul $DEF \sim \triangle ABC$ are $DE = \dfrac{5}{4} \cdot AB$. Calculează perimetrul lui $DEF$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $50$ cm.

   Arată rezolvarea

   $k=5/4$; $P_{DEF} = (5/4)\cdot 40 = 50$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aMediu

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă două triunghiuri au un unghi congruent și două perechi de laturi proporționale, dar unghiul NU este cuprins între laturile respective, atunci sunt asemenea.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals.

   Arată rezolvarea

   Criteriul LUL cere ca unghiul congruent să fie cuprins între cele două laturi proporționale. Fără această condiție, datele nu formează niciun criteriu (nici UU, nici LUL, nici LLL) și asemănarea nu este garantată.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aProvocare

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   În triunghiul $ABC$, $D$ este pe $AB$ astfel încât $\angle ACD \equiv \angle ABC$. Arată că $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ și scrie relația dintre laturi.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\triangle ACD \sim \triangle ABC$, cu $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{CD}{BC}$, deci $AC^2 = AD \cdot AB$.

   Arată rezolvarea

   Unghiul din $A$ este comun; $\angle ACD \equiv \angle ABC$ este dat: criteriul UU dă $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ (corespondența $A\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$), de unde $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$, adică $AC^2 = AD\cdot AB$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aProvocare

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Triunghiul $ABC$ are $AB=x$, $BC=x+3$, $CA=x+6$ (cm). Triunghiul $DEF \sim \triangle ABC$ (aceeași corespondență a vârfurilor) are $DE=20$, $EF=32$, $FD=44$ (cm). Calculează $x$ și raportul de asemănare.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x=5$, $k=4$.

   Arată rezolvarea

   Din $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$ rezultă $\dfrac{20}{x}=\dfrac{32}{x+3} \Rightarrow 20(x+3)=32x \Rightarrow 20x+60=32x \Rightarrow 12x=60 \Rightarrow x=5$. Verificare: $BC=8$, $CA=11$; $\dfrac{20}{5}=\dfrac{32}{8}=\dfrac{44}{11}=4$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aProvocare

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Un teren triunghiular $ABC$ se împarte printr-un gard $DE \parallel BC$ ($D \in AB$, $E \in AC$) în două părți: triunghiul $ADE$ (spre $A$) și patrulaterul $DBCE$. Dacă $AD:DB = 2:3$, calculează raportul $\dfrac{P_{ADE}}{P_{ABC}}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\dfrac{2}{5}$.

   Arată rezolvarea

   $AD:AB = 2:(2+3)=2:5$; $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (UU, teorema fundamentală a asemănării) cu $k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{5}$, iar raportul perimetrelor este tot $k=\dfrac{2}{5}$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aProvocare

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Demonstrează că orice două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da, întotdeauna, prin UU.

   Arată rezolvarea

   Toate unghiurile unui triunghi echilateral măsoară $60°$; oricare două unghiuri ale unui triunghi echilateral coincid cu oricare două unghiuri ale altuia ($60°=60°$), deci UU se aplică mereu, indiferent de mărimea laturilor.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aProvocare

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Triunghiul $ABC$ este isoscel ($AB=AC$). Triunghiul $DEF$ este isoscel ($DE=DF$), cu $\angle A \equiv \angle D$ (unghiurile de la vârf). Arată că $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, prin UU.

   Arată rezolvarea

   În triunghiul isoscel, unghiurile de la bază sunt egale: $\angle B = \angle C = \dfrac{180°-\angle A}{2}$, la fel $\angle E=\angle F=\dfrac{180°-\angle D}{2}$. Cu $\angle A \equiv \angle D$, rezultă $\angle B \equiv \angle E$, deci UU (unghiul din vârf + unghiul de la bază) dă asemănarea.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aProvocare

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=1$, atunci triunghiurile sunt neapărat identic poziționate pe desen.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals.

    Arată rezolvarea

    $k=1$ înseamnă congruență (laturi egale), dar congruența nu cere aceeași poziție: triunghiurile pot fi rotite, translatate sau simetrice, rămânând congruente (deci și asemenea).

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Ce relație este între raportul de asemănare $k$ și raportul ariilor a două triunghiuri asemenea?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Raportul ariilor este $k^2$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=3$. Cât este raportul ariilor?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $9$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=5$ și $P_{ABC}=8$ cm. Calculează $P_{DEF}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $40$ cm.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=2$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=7$ cm². Calculează $\text{Aria}(\triangle DEF)$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $28$ cm².

    Arată rezolvarea

    $2^2\cdot7=28$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $25$. Calculează raportul de asemănare.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $5$.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{25}=5$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Adevărat sau fals: „Dacă laturile unui triunghi se triplează, aria se triplează.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals: aria se înmulțește cu $9$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Într-un trapez, diagonalele se taie în $O$. Ce tip de unghiuri sunt $\angle AOB$ și $\angle COD$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Unghiuri opuse la vârf, congruente.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Ce condiție trebuie respectată la metoda umbrei, ca să funcționeze corect?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Umbrele trebuie măsurate în același moment al zilei.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $\text{Aria}(\triangle ABC)=6$ cm² și $\text{Aria}(\triangle DEF)=54$ cm². Calculează raportul de asemănare.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $k=3$.

    Arată rezolvarea

    $54/6=9=3^2$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

    Un triunghi cu aria $18$ cm² este micșorat cu raportul $k=\dfrac{1}{3}$. Calculează noua arie.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $2$ cm².

    Arată rezolvarea

    $18\cdot(1/3)^2=18/9=2$.

    Vezi lecția