Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 93 din 130

1. Clasa a VII-aProvocare

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$. Se știe $AD = 2x + 1$, $DB = x + 2$, $AE = 15$, $EC = 9$ (cm). Calculează $x$ și lungimea $AB$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 7$; $AB = 24$ cm.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$; $\dfrac{2x+1}{x+2} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3(2x+1) = 5(x+2) \Rightarrow 6x+3 = 5x+10 \Rightarrow x = 7$. Atunci $AD = 15$, $DB = 9$, $AB = 24$ cm; verificare: $\dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aProvocare

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Segmentul $AB = 63$ cm se împarte proporțional cu $2$, $3$ și $4$ folosind construcția din lecție. Câte segmente egale se marchează pe semidreapta auxiliară, prin ce puncte se duc paralelele și cât măsoară fiecare parte?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $9$ segmente egale, paralele prin al doilea și al cincilea punct; părțile sunt $14$ cm, $21$ cm, $28$ cm.

   Arată rezolvarea

   $2+3+4=9$; o unitate $= 63:9=7$ cm; $2\cdot7=14$, $3\cdot7=21$, $4\cdot7=28$; $14+21+28=63$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aProvocare

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, cu $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{7}$ și $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{3}{7}$. Este $DE \parallel BC$? Dacă $BC = 28$ cm, calculează $DE$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da, $DE \parallel BC$; $DE = 12$ cm.

   Arată rezolvarea

   Rapoartele parte la întreg sunt egale, deci reciproca teoremei lui Thales dă $DE \parallel BC$; $DE = \dfrac{3}{7}\cdot 28 = 12$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aProvocare

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Demonstrează, folosind reciproca teoremei lui Thales, că, dacă $M$ este mijlocul lui $AB$ și $N$ este mijlocul lui $AC$ într-un triunghi $ABC$, atunci $MN \parallel BC$ (teorema liniei mijlocii, deja cunoscută, dedusă acum din reciprocă).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $MN \parallel BC$.

   Arată rezolvarea

   Date: $M$ mijlocul lui $AB$, deci $AM = MB$, adică $\dfrac{AM}{MB} = 1$; $N$ mijlocul lui $AC$, deci $AN = NC$, adică $\dfrac{AN}{NC} = 1$. Rapoartele parte la parte sunt egale ($1 = 1$), deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN \parallel BC$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aProvocare

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Un teren triunghiular $ABC$ are $AB = 90$ m și $AC = 75$ m. Se dorește trasarea unui gard $DE \parallel BC$, cu $D$ pe $AB$, astfel încât $AD$ să fie $60$ m. Calculează $AE$ și explică, folosind teorema lui Thales, de ce gardul chiar este paralel cu $BC$ dacă respectă acest calcul.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AE = 50$ m.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$; pentru ca $DE \parallel BC$, trebuie $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{2}{3}$, deci $AE = \dfrac{2}{3} \cdot 75 = 50$ m. Invers, dacă respectăm acest calcul, rapoartele parte la întreg devin egale, iar reciproca teoremei lui Thales garantează paralelismul.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aProvocare

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $D \in AB$ și $E \in AC$, cu $AD = AE$, atunci $DE \parallel BC$.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals, în general.

   Arată rezolvarea

   Egalitatea $AD = AE$ nu spune nimic despre rapoartele $\dfrac{AD}{DB}$ și $\dfrac{AE}{EC}$ (sau $\dfrac{AD}{AB}$ și $\dfrac{AE}{AC}$) decât dacă și $AB = AC$. Reciproca teoremei lui Thales cere egalitatea RAPOARTELOR, nu egalitatea segmentelor $AD$ și $AE$ luate separat.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aUșor

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Ce înseamnă că două triunghiuri sunt asemenea?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale (același raport $k$).

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aUșor

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Câte criterii de asemănare a triunghiurilor ai învățat în această lecție? Numește-le.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Trei: UU, LUL, LLL.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aUșor

   Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

   Scrie forma completă a prescurtării UU.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Unghi – Unghi.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, cu $AB=4$ cm, $DE=8$ cm. Cât este raportul de asemănare (de la $ABC$ la $DEF$)?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $k=2$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Triunghiul $MNP$ are $\angle M = 40°$, $\angle N = 80°$. Triunghiul $XYZ$ are $\angle X = 40°$, $\angle Y = 80°$. Sunt asemenea?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da, prin criteriul UU.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Ce criteriu se aplică atunci când ai două laturi proporționale și unghiul cuprins între ele congruent?

    Arată răspunsul

    Răspuns: LUL.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ are perimetrul lui $ABC$ egal cu $18$ cm și raportul de asemănare $k=2$. Calculează perimetrul lui $DEF$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $36$ cm.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aUșor

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Adevărat sau fals: „Orice două triunghiuri congruente sunt și asemenea.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Adevărat (cu $k=1$).

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, cu $AB=5$, $BC=6$, $CA=9$ (cm), $DE=15$ cm. Calculează $EF$ și $FD$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $EF=18$ cm, $FD=27$ cm.

    Arată rezolvarea

    $k = 15/5 = 3$; $EF = 3\cdot6=18$; $FD=3\cdot9=27$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, $AD=9$, $AB=15$, $BC=20$. Calculează raportul de asemănare $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ și lungimea $DE$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $k = \dfrac{3}{5}$, $DE = 12$ cm.

    Arată rezolvarea

    $k = AD/AB = 9/15 = 3/5$; $DE = (3/5)\cdot 20 = 12$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Triunghiul $PQR$ are $\angle P=48°$, $\angle Q=72°$. Triunghiul $STU$ are $\angle S=60°$, $\angle T=72°$. Sunt asemenea? Justifică.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da, prin UU, cu corespondența $Q \leftrightarrow T$, $P \leftrightarrow U$, $R \leftrightarrow S$.

    Arată rezolvarea

    $\angle R = 180-48-72=60°$; unghiurile lui $STU$: $S=60°$, $T=72°$, $U=48°$; perechile egale sunt $P(48°)\leftrightarrow U(48°)$, $Q(72°)\leftrightarrow T(72°)$, $R(60°)\leftrightarrow S(60°)$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Triunghiul $ABC$ are $AB=6$, $AC=9$ (cm), $\angle A = 70°$. Triunghiul $DEF$ are $DE=10$, $DF=15$ (cm), $\angle D = 70°$. Sunt asemenea? Cu ce criteriu?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da, prin LUL.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$, $\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}$, egale; unghiul cuprins ($\angle A$, $\angle D$) congruent.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    Triunghiul $ABC$ are $AB=6$, $BC=8$, $CA=10$ (cm). Triunghiul $DEF$ are $DE=15$, $EF=20$, $FD=24$ (cm). Sunt asemenea? Cu ce criteriu?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{DE}{AB}=2{,}5$, $\dfrac{EF}{BC}=2{,}5$, $\dfrac{FD}{CA}=2{,}4$: al treilea raport diferă, deci LLL nu se confirmă.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aMediu

    Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$ și $DE \parallel BC$, cu $AB=18$, $AD=12$, $AC=21$ (cm). Cu teorema fundamentală a asemănării, calculează raportul de asemănare $k = \dfrac{AD}{AB}$, apoi $AE$ și $EC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $k=\dfrac{2}{3}$, $AE=14$ cm, $EC=7$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, cu $k = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$; $AE = k \cdot AC = \dfrac{2}{3}\cdot 21 = 14$; $EC = 21-14=7$.

    Vezi lecția