Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 92 din 130

1. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Enunță teorema lui Thales.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Dacă într-un triunghi $ABC$ o dreaptă paralelă cu $BC$ taie $AB$ în $D$ și $AC$ în $E$, atunci $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $AD = 4$ cm, $DB = 6$ cm, $AE = 6$ cm. Calculează $EC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $EC = 9$ cm.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{EC} \Rightarrow EC = 9$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   În aceleași condiții, $AD = 10$ cm, $AB = 15$ cm, $AC = 12$ cm. Calculează $AE$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AE = 8$ cm.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{10}{15} = \dfrac{AE}{12} \Rightarrow AE = 8$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Enunță reciproca teoremei lui Thales.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Dacă $D \in AB$, $E \in AC$ și $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$, atunci $DE \parallel BC$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Care este diferența dintre teorema lui Thales și reciproca ei?

   Arată răspunsul

   Răspuns: La teoremă, paralelismul este dat și se demonstrează proporția; la reciprocă, proporția este dată și se demonstrează paralelismul.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   În triunghiul $MNP$, $F \in MN$, $G \in MP$, cu $\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{MG}{GP} = \dfrac{5}{3}$. Este $FG \parallel NP$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   Rapoartele parte la parte sunt egale, deci reciproca teoremei lui Thales se aplică.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Câte segmente egale se marchează pe semidreapta auxiliară pentru a împărți un segment în părți proporționale cu $2$ și $5$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $7$ segmente egale.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   Un segment de $40$ cm se împarte proporțional cu $3$ și $5$. Calculează cele două părți.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $15$ cm și $25$ cm.

   Arată rezolvarea

   $40 : 8 = 5$ cm o unitate; $3 \cdot 5 = 15$, $5 \cdot 5 = 25$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

   În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $DB = 5$ cm, $EC = 8$ cm, $AD = 10$ cm. Calculează $AE$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AE = 16$ cm.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{10}{5} = \dfrac{AE}{8} \Rightarrow AE = 16$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $AB = 18$ cm, $AC = 24$ cm, $AD = 12$ cm. Calculează $AE$, $DB$ și $EC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AE = 16$ cm, $DB = 6$ cm, $EC = 8$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{12}{18} = \dfrac{AE}{24} \Rightarrow AE = 16$; $DB = 18-12=6$; $EC = 24-16=8$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Cu datele figurii principale ($AD=8$, $DB=4$, $AE=6$, $EC=3$, $BC=15$), calculează $DE$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $DE = 10$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DE = \dfrac{2}{3} \cdot 15 = 10$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $AD = x$, $DB = 3$, $AE = 2x - 1$, $EC = 5$ (cm). Calculează $x$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x = 3$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2x-1}{5} \Rightarrow 5x = 3(2x-1) \Rightarrow 5x = 6x - 3 \Rightarrow x = 3$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    În triunghiul $MNP$, $F \in MN$, $G \in MP$, cu $MF = 12$ cm, $MN = 20$ cm, $MG = 9$ cm, $MP = 15$ cm. Este $FG \parallel NP$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ și $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$: rapoartele parte la întreg sunt egale.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    În triunghiul $MNP$, $F \in MN$, $G \in MP$, cu $MF = 6$ cm, $FN = 9$ cm, $MG = 8$ cm, $GP = 10$ cm. Este $FG \parallel NP$? Justifică.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$, iar $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$: rapoartele nu sunt egale, deci reciproca nu confirmă paralelismul.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Un segment de $54$ cm se împarte proporțional cu $4$ și $5$. Calculează cele două părți.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $24$ cm și $30$ cm.

    Arată rezolvarea

    $54 : 9 = 6$; $4 \cdot 6 = 24$, $5 \cdot 6 = 30$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Un segment de $72$ cm se împarte proporțional cu $2$, $3$ și $4$. Calculează cele trei părți.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $16$ cm, $24$ cm, $32$ cm.

    Arată rezolvarea

    $72 : 9 = 8$; $2\cdot8=16$, $3\cdot8=24$, $4\cdot8=32$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    În triunghiul $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$, cu $AD = 2x$, $AB = 5x$, $AE = 14$ cm. Calculează $AC$ (răspunsul nu trebuie să conțină $x$).

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AC = 35$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2x}{5x} = \dfrac{2}{5}$ (pentru orice $x \neq 0$); $\dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{AC} \Rightarrow AC = 35$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Explică de ce $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$ este, în general, o scriere greșită a teoremei lui Thales.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Amestecă un raport parte la parte ($AD/DB$) cu unul parte la întreg ($AE/AC$); formele corecte sunt $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ sau $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    În triunghiul $ABC$, $DE \parallel BC$ cu $D \in AB$, $E \in AC$. Se știe $AB = 27$ cm, $AD = 18$ cm, $BC = 24$ cm. Calculează $DE$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $DE = 16$ cm.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DE = \dfrac{2}{3}\cdot 24 = 16$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

    Câte paralele trebuie duse pentru a împărți un segment în părți proporționale cu trei numere date?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Două paralele.

    Vezi lecția